Ci sono molte cose che non sono numeri reali. Forse la domanda più interessante è ” quali numeri ci sono che non sono numeri reali?”
(1) Numeri complessi.
L’estensione più semplice e naturale dei numeri reali è aggiungere #i = sqrt(-1)# e tutto il resto necessario per completarlo come quello che viene chiamato un campo chiuso sotto addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione per numeri diversi da zero.
Infatti #CC # è in un certo senso molto più naturale di #RR#.
Alcune cose come il Teorema di Taylor si comportano molto meglio.
(2) Quaternioni.
Se si elimina il requisito che la moltiplicazione sia commutativa, invece di una sola coppia #+-i# di radici quadrate di #-1# si ottengono 3 coppie chiamate #+-i#, #+- j# e #+-k#. Alcune proprietà di questi sono: #ij = k#, # ji = – k#, # jk = i#, # kj = – i#, ecc.
(3) Infinito complesso singolo.
Immagina una sfera seduta sull’origine del piano complesso. Dato qualsiasi punto # z # sul piano complesso, traccia una linea dalla parte superiore della sfera attraverso il punto # z#. Questo intersecherà la superficie della sfera in un punto diverso dalla parte superiore. Se si utilizza quel punto sulla superficie della sfera per rappresentare il numero #z#, è stata definita una mappatura uno-uno tra tutti i punti del piano complesso e tutti i punti sulla superficie della sfera, tranne la parte superiore. Chiama la parte superiore #oo # e lascia che # CC_oo # stia per # CC uu {oo}#.
Questo è un semplice esempio di ciò che viene chiamata una superficie di Riemann. Funzioni come # f (z) = (az+b)/(cz+d)# possono quindi essere definite come prendendo il valore #oo# quando #cz + d = 0# e #f (oo)# possono essere definite come #a/c#. Quindi la definizione #f(z)# risultante è continua e infinitamente differenziabile in tutti i punti di #CC_oo#. Ha anche la proprietà che mappa i cerchi in cerchi (compresi quelli che passano attraverso #oo#).
(4) Cerchio all’infinito.
Piuttosto che proiettare dall’alto della sfera, proiettare dal centro. Questo definisce una mappatura tra # CC # e la superficie emisferica inferiore aperta. Aggiungi l’equatore e hai un anello di infiniti con diversi angoli polari. Quelli corrispondenti alla linea reale sono # + oo # e # – oo#, ma c’è un inifinity complesso unico # oo (cos theta + i sin theta) # per tutti # theta in [0, 2pi)#.
(5) Infinitesimi.
All’altra estremità della scala, cosa succede se si tenta di aggiungere numeri infinitamente piccoli. Beh, puoi. In genere è un po ‘ disordinato e tende a rompere varie cose, ma può essere utile.
(6) Campi finiti.
(7) Anelli.