existuje mnoho věcí, které nejsou reálná čísla. Snad nejzajímavější otázkou je „jaká čísla existují, která nejsou reálná čísla?“
(1) Komplexní čísla.
nejjednodušší a nejpřirozenější rozšíření reálných čísel je přidat #i = sqrt(-1) * a vše ostatní potřebné k dokončení to jako to, co se nazývá pole – uzavřená vůči sčítání, odčítání, násobení a dělení nenulového čísla.
ve skutečnosti je #CC# v jistém smyslu mnohem přirozenější než #RR#.
některé věci jako Taylorova věta se chovají mnohem lépe.
(2) kvaterniony.
Pokud umístíte požadavek, aby násobení bylo komutativní, pak místo toho, aby jen jeden pár #+-jsem# odmocnina #-1# získáte 3 páry názvem #+-i#, #+-j# a #+-k#. Některé vlastnosti z nich jsou: #ij = k#, # ji = – k#, #jk = i#, #kj = – i# atd.
(3) jednokomplexní nekonečno.
Představte si kouli sedící na počátku komplexní roviny. Vzhledem k jakémukoli bodu #z# v komplexní rovině nakreslete čáru z horní části koule přes bod #z#. Tím se protne povrch koule V jednom bodě jiném než nahoře. Pokud použijete tento bod na povrchu koule k reprezentaci čísla #z#, pak jste definovali mapování one-one mezi všemi body komplexní roviny a všemi body na povrchu koule-kromě vrcholu. Zavolejte horní #oo# a nechte # CC_oo # stát #CC uu {oo}#.
Toto je jednoduchý příklad toho, čemu se říká Riemannova Plocha. Funkce jako #f (z) = (az+b) / (cz+d)# pak lze definovat jako převzetí hodnoty #oo# když #cz + d = 0 # a #f (oo)# lze definovat jako #a / c#. Výsledná definice #f (z) # je spojitá a nekonečně diferencovatelná ve všech bodech #CC_oo#. Má také tu vlastnost, že mapuje kruhy do kruhů (včetně těch, které procházejí #oo#).
(4) kružnice v nekonečnu.
spíše než projekt z vrcholu sféry, projekt z centra. Toto definuje mapování mezi # CC# a otevřeným spodním polokoulovým povrchem. Přidejte rovník a máte prsten nekonečna s různými polárními úhly. Ty odpovídají skutečné linie jsou #+oo# a #-oo#, ale tam je unikátní komplex inifinity #oo(protože theta + i sin theta)# pro všechny #theta v [0, 2pí)#.
(5) Nekonečno.
na druhém konci stupnice, co se stane, když se pokusíte přidat nekonečně malá čísla. No, můžeš. Je to obecně trochu chaotický a má tendenci rozbít různé věci, ale může to být užitečné.
(6) konečná pole.
(7) kroužky.