Was ist KEINE reelle Zahl?

Es gibt viele Dinge, die keine reellen Zahlen sind. Die vielleicht interessanteste Frage ist: „Welche Zahlen gibt es, die keine reellen Zahlen sind?“

(1) Komplexe Zahlen.

Die einfachste und natürlichste Erweiterung der reellen Zahlen ist das Hinzufügen von #i = sqrt(-1) # und alles andere, was erforderlich ist, um es als sogenanntes Feld zu vervollständigen – geschlossen unter Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division durch Zahlen ungleich Null.

Tatsächlich ist #CC# in gewissem Sinne viel natürlicher als #RR#.

Einige Dinge wie Taylors Theorem verhalten sich viel besser.

(2) Quaternionen.

Wenn Sie die Anforderung, dass die Multiplikation kommutativ ist, fallen lassen, erhalten Sie anstelle von nur einem Paar #+-i# von Quadratwurzeln von #-1# 3 Paare mit den Namen #+-i#, #+-j# und #+-k#. Einige Eigenschaften davon sind: #ij = k #, #ji = -k #, #jk = i #, #kj = -i # usw.

(3) Einzelne komplexe Unendlichkeit.

Stellen Sie sich eine Kugel vor, die auf dem Ursprung der komplexen Ebene sitzt. Zeichnen Sie bei einem beliebigen Punkt #z # auf der komplexen Ebene eine Linie von der Oberseite der Kugel durch den Punkt #z #. Dies schneidet die Oberfläche der Kugel an einem anderen Punkt als der Oberseite. Wenn Sie diesen Punkt auf der Oberfläche der Kugel verwenden, um die Zahl #z # darzustellen, haben Sie eine Eins-Eins-Zuordnung zwischen allen Punkten der komplexen Ebene und allen Punkten auf der Oberfläche der Kugel definiert – mit Ausnahme der Oberseite. Rufen Sie oben #oo# auf und lassen Sie #CC_oo# für #CC uu {oo} # stehen.

Dies ist ein einfaches Beispiel für eine sogenannte Riemannsche Oberfläche. Funktionen wie #f(z) = (az+b) /(cz+d)# können dann so definiert werden, dass sie den Wert #oo# annehmen, wenn #cz + d = 0# und #f(oo)# als #a/ c# definiert werden können. Dann ist die resultierende #f (z) # Definition stetig und an allen Punkten in #CC_oo # unendlich differenzierbar. Es hat auch die Eigenschaft, dass es Kreise Kreisen zuordnet (einschließlich solcher, die durch #oo # ).

(4) Kreis im Unendlichen.

Projizieren Sie nicht von der Spitze der Kugel, sondern von der Mitte. Dies definiert eine Zuordnung zwischen #CC # und der offenen unteren Halbkugelfläche. Fügen Sie den Äquator hinzu und Sie haben einen Ring von Unendlichkeiten mit unterschiedlichen Polarwinkeln. Diejenigen, die der reellen Linie entsprechen, sind #+oo# und #-oo# , aber es gibt einen einzigartigen Komplex inifinity #oo(cos theta + i sin theta)# für alle #theta in [0, 2pi)# .

(5) Infinitesimale.

Was passiert am anderen Ende der Skala, wenn Sie versuchen, unendlich kleine Zahlen hinzuzufügen. Nun, du kannst. Es ist in der Regel ein bisschen chaotisch und neigt dazu, verschiedene Dinge zu brechen, aber es kann nützlich sein.

(6) Endliche Felder.

(7) Klingelt.

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