Hay muchas cosas que no son números reales. Tal vez la pregunta más interesante es «¿qué números hay que no son números reales?»
(1) Números complejos.
La extensión más simple y natural de los números reales es agregar # i = sqrt (-1)# y todo lo demás necesario para completarlo como lo que se llama un campo cerrado bajo suma, resta, multiplicación y división por números distintos de cero.
De hecho # CC # es en cierto sentido mucho más natural que #RR#.
Algunas cosas como el teorema de Taylor se comportan mucho mejor.
(2) Cuaterniones.
Si omites el requisito de que la multiplicación sea conmutativa, en lugar de un solo par #+-i# de raíces cuadradas de #-1# obtienes 3 pares llamados #+-i#, #+- j# y #+-k#. Algunas propiedades de estos son: #ij = k#, #ji = -k#, #jk = i#, #kj = -i#, etc.
(3) Infinito complejo único.
Imagine una esfera sentada en el origen del plano complejo. Dado cualquier punto #z # en el plano complejo, dibuja una línea desde la parte superior de la esfera a través del punto # z#. Esto intersectará la superficie de la esfera en un punto que no sea la parte superior. Si utiliza ese punto en la superficie de la esfera para representar el número #z#, habrá definido un mapeo uno a uno entre todos los puntos del plano complejo y todos los puntos de la superficie de la esfera, excepto la parte superior. Llama a la parte superior #oo# y deja que #CC_oo# sea #CC uu {oo}#.
Este es un ejemplo simple de lo que se llama una superficie de Riemann. Funciones como #f(z) = (az+b)/(cz+d)# puede ser definida como tomar el valor #oo# cuando #cz + d = 0# y #f(oo)# se puede definir como #a/c#. Entonces la definición #f(z)# resultante es continua e infinitamente diferenciable en todos los puntos de # CC_oo#. También tiene la propiedad de asignar círculos a círculos(incluidos los que pasan por #oo#).
(4) Círculo en el infinito.
En lugar de proyectar desde la parte superior de la esfera, proyectar desde el centro. Esto define un mapeo entre # CC# y la superficie hemisférica inferior abierta. Añade el ecuador y tendrás un anillo de infinitos con diferentes ángulos polares. Los que corresponden a la línea real son #+oo# y # – oo#, pero hay un complejo único de inifinity # oo (cos theta + i sin theta)# para todos los # theta en [0, 2pi)#.
(5) Infinitesimales.
En el otro extremo de la escala, qué sucede si intenta agregar números infinitamente pequeños. Bueno, puedes. Por lo general, es un poco desordenado y tiende a romper varias cosas, pero puede ser útil.
(6) Campos finitos.
(7) Anillos.