Heinz syntyi yhtenä saksalaisten maahanmuuttajien kahdeksasta lapsesta. Hänen isänsä Johann Heinrich Heinz (*5. elokuuta 1811 Kallstadtissa; † 23. joulukuuta 1891 Pittsburghissa) oli kotoisin Pfalzista, hänen äitinsä Anna Margaretha Schmidt kruspisista Hessenistä. Myös kallstadtista Amerikkaan muuttanut yrittäjä Friedrich Trump, Yhdysvaltain 45. presidentin Donald Trumpin isoisä, oli Henry John Heinzin serkku.
vuonna 1869 Heinz perusti yhdessä ystävänsä L. Clarence Noble Sharpsburgissa (Pennsylvania) Heinz Noble & – yhtiö, jonka päätuote oli piparjuuri läpinäkyvissä purkissa tuotteen puhtauden todistamiseksi. Vuonna 1875 tämä yritys joutui hakeutumaan konkurssiin. Vuotta myöhemmin hän perusti yhdessä veljensä ja serkkunsa kanssa F. & J. Heinz Companyn, jonka tuotevalikoimaan tomaattiketsuppi ilmestyi muutamaa vuotta myöhemmin. Vuonna 1888 Heinz otti liikekumppaniensa osakkeet haltuunsa, saneerasi yhtiötä ja nimesi sen uudelleen H. J. Heinz Companyksi. Korkeat laatuvaatimukset ja mainonta olivat Heinzin menestysreseptejä.
Heinz oli vanhoilla päivillään useita kertoja Kallstadtissa ja vietti kylpylämajoituksia Bad Kissingenissä, Viimeksi 69-vuotiaana vuonna 1914, jolloin ensimmäinen maailmansota yllätti hänet eikä hän saanut poistua hotellista. Hän onnistui kuitenkin pakenemaan ja palaamaan Yhdysvaltoihin Hollannin kautta. Tämä oli hänen viimeinen vierailunsa Saksassa.
Heinz kuoli keuhkokuumeeseen 14. toukokuuta 1919. Tämän jälkeen hänen poikansa Howard Heinz johti yritystä vuoteen 1941 ja myöhemmin pojanpoikansa Henry John Heinz II vuoteen 1987 ja laajensi sitä. Hänen pojanpoikansa, poliitikko Henry John Heinz III, oli naimisissa hyväntekijä Teresa Heinzin kanssa ja kuoli yksityiskoneensa maahansyöksyssä vuonna 1991.