sok dolog van, ami nem valós szám. Talán a legérdekesebb kérdés az, hogy ” milyen számok vannak, amelyek nem valós számok?”
(1) komplex számok.
a legegyszerűbb és legtermészetesebb kiterjesztése a valós számok, hogy adjunk #i = sqrt(-1)# és minden mást szükséges befejezni, mint az úgynevezett mező – zárt alatt összeadás, kivonás, szorzás és osztás nem nulla számok.
valójában a #CC# bizonyos értelemben sokkal természetesebb, mint a #RR#.
néhány dolog, mint például Taylor tétele, sokkal jobban viselkedik.
(2) Kvaternionok.
ha elveted azt a követelményt, hogy a szorzás kommutatív legyen, akkor a #-1# négyzetgyökeinek #+- i# párja helyett 3 párot kapsz #+-I#, #+- j# és #+-k#néven. Ezek néhány tulajdonsága: #ij = k#, #ji = – k#, #jk = i#, #kj = -i# stb.
(3) egyetlen komplex végtelen.
Képzeljünk el egy gömböt, amely a komplex sík eredetén ül. Tekintettel a komplex sík bármely # z # pontjára, húzzon egy vonalat a gömb tetejétől a #z#ponton keresztül. Ez metszi a gömb felületét a tetejétől eltérő ponton. Ha a gömb felületén ezt a pontot használja a #z# szám ábrázolására, akkor egy-egy leképezést definiált a komplex sík minden pontja és a gömb felületének minden pontja között – kivéve a tetejét. Hívja a felső #oo# – t, és hagyja, hogy a #CC_oo# a #CC uu {oo}#rövidítése legyen.
ez egy egyszerű példa az úgynevezett Riemann-felületre. Az olyan függvények, mint az #f(z) = (az+b)/(cz+d)# meghatározhatók úgy, hogy az #oo# értéket veszik fel, amikor #cz + d = 0# és #f(oo)# meghatározható #a/c#. Ekkor a kapott# F(z) #definíció folytonos és végtelenül differenciálható a#CC_oo # minden pontján. Az a tulajdonsága is, hogy köröket körökre térképez (beleértve a #oo# – on áthaladókat is).
(4) kör a végtelenben.
ahelyett, hogy a gömb tetejéről tervezne, a központból tervezzen. Ez határozza meg a #CC# és a nyitott alsó félgömb felület közötti leképezést. Adja hozzá az egyenlítőt, és van egy végtelen gyűrűje, különböző sarki szögekkel. A valódi vonalnak megfelelő# + oo #és#- oo#, de van egy egyedülálló komplex inifinity # oo (cos theta + i sin theta)# for all #theta in [0, 2pi)#.
(5) végtelenül kicsi.
a skála másik végén mi történik, ha végtelenül kis számokat próbál hozzáadni. Nos, megteheted. Általában kissé rendetlen, és hajlamos különféle dolgokat megtörni, de hasznos lehet.
(6) véges mezők.
(7) Gyűrűk.