det er mange ting som ikke er reelle tall. Kanskje det mest interessante spørsmålet er «hvilke tall er det som ikke er reelle tall?»
(1) Komplekse tall.
den enkleste og mest naturlige utvidelsen av de reelle tallene er å legge til #i = sqrt(-1)# og alt annet som kreves for å fullføre det som det kalles et felt-lukket under tillegg, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon med ikke-null tall.
faktisk er # CC# på en måte mye mer naturlig enn # RR#.
noen ting som Taylors Teorem oppfører seg mye bedre.
(2) Kvaternioner.
hvis du slipper kravet om at multiplikasjon er kommutativ, så i stedet for bare ett par # + – i # av kvadratrøtter av # -1 # får du 3 par kalt # + – i#, # + – j # og # + – k#. Noen egenskaper av disse er: #ij = k#, #ji = -k#, #jk = i#, #kj = – i#, etc.
(3) Enkelt kompleks uendelig.
Tenk deg en sfære som sitter på opprinnelsen til det komplekse flyet. Gitt et punkt # z# på det komplekse planet, tegne en linje fra toppen av sfæren gjennom punktet # z#. Dette vil krysse overflaten av sfæren på et annet punkt enn toppen. Hvis du bruker det punktet på overflaten av sfæren til å representere tallet #z#, har du definert en en-kartlegging mellom alle punkter i det komplekse planet og alle punkter på overflaten av sfæren – unntatt toppen. Ring toppen #Oo# og la #CC_oo # stå for # CC uu {oo}#.
Dette er et enkelt eksempel på Det Som kalles En Riemann-overflate. Funksjoner som #f(z) = (az + b) / (cz+d) # kan da defineres som å ta verdien # oo# når # cz + d = 0 # og # f (oo) # kan defineres som # a / c#. Da er den resulterende #f(z)# definisjonen kontinuerlig og uendelig differensierbar på alle punkter i # CC_oo#. Den har også egenskapen at den kartlegger sirkler til sirkler(inkludert de som går gjennom #oo#).
(4) Sirkel ved uendelig.
snarere enn prosjekt fra toppen av sfæren, prosjekt fra sentrum. Dette definerer en tilordning mellom # CC # og den åpne nedre halvkuleformede overflaten. Legg til ekvator og du har en ring av uendeligheter med forskjellige polare vinkler. De som svarer til den virkelige linjen er # + oo # og # – oo#, men det er et unikt kompleks inifinity # oo (cos theta + i sin theta)# for alle # theta i [0, 2pi)#.
(5) Uendelige.
i den andre enden av skalaen, hva skjer hvis du prøver å legge til uendelig små tall. Vel du kan. Det er vanligvis litt rotete og har en tendens til å bryte forskjellige ting, men det kan være nyttig.
(6) Begrensede felt.
(7) Ringer.