Wat is geen echt getal?

er zijn veel dingen die geen reële getallen zijn. Misschien is de meest interessante vraag: “welke getallen zijn er die geen echte getallen zijn?”

(1) complexe getallen.

de eenvoudigste en meest natuurlijke uitbreiding van de reële getallen is om #i = sqrt(-1)# en alles wat nodig is om het te voltooien als wat een veld wordt genoemd – gesloten onder optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen door niet-nul getallen.

in feite is # CC# in zekere zin veel natuurlijker dan #RR#.

sommige dingen zoals de Stelling van Taylor gedragen zich veel beter.

(2) Quaternions.

als je de eis dat vermenigvuldiging commutatief moet zijn laat vallen, dan krijg je in plaats van slechts één paar #+-i# van vierkantswortels van #-1# 3 paren genaamd #+-i#, #+- j# en #+-k#. Enkele eigenschappen hiervan zijn: # ij = k#, # ji = – k#, # jk = i#,# kj = -i#, etc.

(3) enkelvoudige complexe oneindigheid.

stel je een bol voor die op de oorsprong van het complexe vlak zit. Teken een lijn van de bovenkant van de bol door het punt #z#, gegeven elk punt #z#op het complexe vlak. Dit zal het oppervlak van de bol op een ander punt dan de top snijden. Als je dat punt op het oppervlak van de bol gebruikt om het getal #z# weer te geven, dan heb je een één-één afbeelding gedefinieerd tussen alle punten van het complexe vlak en alle punten op het oppervlak van de bol – behalve de bovenkant. Roep de top # oo # en laat # CC_oo # staan voor # CC uu {oo}#.

dit is een eenvoudig voorbeeld van wat een Riemann-oppervlak wordt genoemd. Functies als # f (z) = (az+b)/(cz+d)# kunnen dan worden gedefinieerd als het nemen van de waarde #oo# wanneer #cz + d = 0# en #f(oo)# kan worden gedefinieerd als #a/c#. Dan is de resulterende# f(z) # definitie continu en oneindig differentieerbaar op alle punten in #CC_oo#. Het heeft ook de eigenschap dat het cirkels op cirkels in kaart brengt (inclusief die die door #oo#gaan).

(4) cirkel op oneindig.

in plaats van project vanuit de top van de bol, project vanuit het centrum. Dit definieert een afbeelding tussen # CC# en het open onderste halfrond. Voeg de evenaar toe en je hebt een ring van oneindigheden met verschillende polaire hoeken. Degenen die overeenkomen met de echte lijn zijn # + oo # en # – oo#, maar er is een uniek complex inifinity # oo( cos theta + i sin theta) # voor alle # theta in [0, 2pi)#.

(5) infinitesimalen.

aan de andere kant van de schaal, wat gebeurt er als je probeert oneindig kleine getallen toe te voegen. Dat kun je wel. Het is over het algemeen een beetje rommelig en heeft de neiging om verschillende dingen te breken, maar het kan nuttig zijn.

(6) eindige velden.

(7) ringen.

Geef een antwoord

Het e-mailadres wordt niet gepubliceerd.