det finns många saker som inte är reella tal. Den kanske mest intressanta frågan är ”vilka siffror finns det som inte är reella tal?”
(1) komplexa tal.
den enklaste och mest naturliga förlängningen av de reella talen är att lägga till #i = sqrt(-1)# och allt annat som krävs för att slutföra det som det som kallas ett fält – stängt under addition, subtraktion, multiplikation och division med icke-nolltal.
i själva verket är # CC# på något sätt mycket mer naturligt än #RR#.
vissa saker som Taylors Sats beter sig mycket bättre.
(2) kvaternioner.
om du släpper kravet att multiplikation är kommutativ istället för bara ett par #+-i# av kvadratrötter av #-1# får du 3 par som heter #+-i#, #+-j# och #+-k#. Vissa egenskaper hos dessa är: #ij = k#, # ji = – k#, # jk = i#, # kj = -i#, etc.
(3) enkel komplex oändlighet.
Föreställ dig en sfär som sitter på det komplexa Planets ursprung. Med tanke på någon punkt # z # på det komplexa planet, rita en linje från toppen av sfären genom punkten #z#. Detta kommer att korsa sfärens yta vid en annan punkt än toppen. Om du använder den punkten på sfärens yta för att representera numret #z# så har du definierat en enmappning mellan alla punkter i det komplexa planet och alla punkter på sfärens yta-utom toppen. Ring toppen #oo # och låt #CC_oo # stå för # CC uu {oo}#.
Detta är ett enkelt exempel på vad som kallas en Riemann yta. Funktioner som #f (z) = (az+b)/(cz+d)# kan sedan definieras som att ta värdet #oo# när #cz + d = 0# och #f(oo)# kan definieras som #a/c#. Då är den resulterande #f(z)# definitionen kontinuerlig och oändligt differentierbar vid alla punkter i #CC_oo#. Det har också egenskapen att det kartlägger cirklar till cirklar (inklusive de som passerar #oo#).
(4) cirkel vid oändlighet.
snarare än projekt från toppen av sfären, projekt från centrum. Detta definierar en kartläggning mellan # CC # och den öppna nedre halvsfäriska ytan. Lägg till ekvatorn och du har en ring av oändligheter med olika polära vinklar. De som motsvarar den verkliga linjen är # + oo # och # – oo#, men det finns en unik komplex inifinity #oo(cos theta + i sin theta)# för alla #theta i [0, 2pi)#.
(5) oändliga.
i den andra änden av skalan, vad händer om du försöker lägga till oändligt små tal. Det kan du. Det är i allmänhet lite rörigt och tenderar att bryta olika saker, men det kan vara användbart.
(6) ändliga fält.
(7) ringar.