ergodicita se vyskytuje v širokém prostředí ve fyzice a matematice. Všechna tato nastavení jsou sjednocena společným matematickým popisem dynamického systému zachovávajícího míru. Neformální popis a definice ergodicity s ohledem na to, je uveden ihned pod. Následuje popis ergodicity ve stochastických procesech. Jsou jedno a totéž, navzdory použití dramaticky odlišné notace a jazyka. Následuje přehled ergodicity ve fyzice a geometrii. Ve všech případech je pojem ergodicity přesně stejný jako u dynamických systémů; není žádný rozdíl, s výjimkou výhledu, notace, stylu myšlení a časopisů, kde jsou výsledky publikovány.
Dynamic systemsEdit
matematická definice ergodicity si klade za cíl zachytit běžné každodenní představy o náhodnosti. To zahrnuje představy o systémy, které se pohybují v tak, aby (nakonec) zaplní veškerý prostor, jako jsou difúze a Brownův pohyb, stejně jako zdravý rozum pojmy míchání, jako je míchání barev, pití, vaření ingredience, průmyslové proces míchání, kouře v zakouřené místnosti, prach v saturnových prstenců a tak dále. Poskytnout solidní matematický základ, popisy ergodických systémů začínají definicí dynamického systému zachovávajícího míru. Toto je psáno jako (X, A, μ, T). {\displaystyle (X, {\mathcal {a}},\mu, T).}
sada X {\displaystyle X}
se rozumí celkový prostor bude vyplněn: mísy, kouře-naplněné pokoje, atd. Opatření μ {\displaystyle \mu }
je zřejmé, definovat přirozený objem prostoru {X} \displaystyle X}
a jeho podprostory. Kolekce podprostorů je označován {\displaystyle {\mathcal {A}}}
, a velikosti dané podmnožiny A ⊂ X {\displaystyle\podmnožina X}
je μ ( A ) {\displaystyle \mu ()}
; rozměry je jeho objem. Naivně, jeden by mohl představit, {\displaystyle {\mathcal {A}}}
napájecí sada X {\displaystyle X}
; to není zcela fungovat, protože ne všechny podmnožiny prostoru, objemu (skvěle, na Banachových-Tarski paradox). Tak, konvenčně, {\displaystyle {\mathcal {A}}}
se skládá z měřitelných podmnožin—množiny, které mají objem. To je vždy být Borel set—kolekce podskupin, které mohou být postaveny tím, že křižovatkách, odbory a nastavit doplňuje; tyto mohou vždy být přijata, aby bylo měřitelné.
časový vývoj systému je popsán mapě T : X → X, {\displaystyle T:X\to X}
. Vzhledem k tomu, některé podmnožinu A ⊂ X {\displaystyle\podmnožina X}
, jeho mapa T () {\displaystyle T(A)}
bude obecně být deformované verze {\displaystyle A}
– to je zmáčknutý nebo natažené, složené nebo nakrájíme na kousky. Matematické příklady zahrnují pekařskou mapu a mapu podkovy, obě inspirované výrobou chleba. Sada T () {\displaystyle T(A)}
musí mít stejný objem jako {\displaystyle A}
; stlačování / protahování nemění objem prostoru, pouze jeho rozložení. Takový systém je „zachování opatření“ (zachování plochy, zachování objemu).
formální potíže vznikají, když se člověk snaží sladit objem množin s potřebou zachovat jejich velikost pod mapou. Problém nastává, protože obecně může několik různých bodů v doméně funkce mapovat do stejného bodu v jejím rozsahu; to znamená, že tam může být x ≠ y {\displaystyle x\neq y}
s T ( x ) = T ( y ) {\displaystyle T(x)=T(y)}
. Horší je, že jediný bod x ∈ X {\displaystyle x\in x}
nemá žádnou velikost. Tyto problémy se lze vyhnout tím, že pracuje s inverzní mapa T − 1 : A → {\displaystyle T^{-1}:{\mathcal {A}}\{\mathcal {A}}}
; to bude mapovat dané podmnožiny A ⊂ X {\displaystyle\podmnožina X}
části, které byly sestaveny, aby to: tyto díly jsou T − 1 ( A ) ∈ {\displaystyle T^{-1}(A)\in {\mathcal {A}}}
. Má důležitou vlastnost, že neztrácí přehled o tom, odkud věci pocházejí. Více důrazně, je to má důležitou vlastnost, že jakákoli (měření-ochrana) mapa → {\displaystyle {\mathcal {A}}\{\mathcal {A}}}
je inverzní mapa X → X, {\displaystyle X\, X}
. Správné definice svazku-zachování mapě je jedno, pro kterou μ ( A ) = μ ( T − 1 () ) {\displaystyle \mu (A)=\mu (T^{-1}())}
protože T − 1 ( A ) {\displaystyle T^{-1}()}
popisuje všechny kusy-části, že {\displaystyle A}
pochází.
jeden se nyní zajímá o studium časového vývoje systému. Jestliže množina A ∈ {\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}
nakonec dojde k vyplnění všech X {\displaystyle X}
po dlouhou dobu (to je, pokud T n () {\displaystyle T^{n}()}
všechny přístupy z X {\displaystyle X}
pro velké n {\displaystyle n}
), systém je řekl, aby být ergodické. Pokud každý soubor {\displaystyle A}
se chová tímto způsobem, systém je konzervativní systém, umístěna v kontrastu k disipativní systém, kde se některé podmnožiny {\displaystyle A}
bloudit pryč, nikdy být vrácena. Příkladem může být voda tekoucí z kopce – jakmile se stéká, už se nikdy nevrátí. Jezero, které se tvoří na dně této řeky, se však může dobře promíchat. Ergodická věta o rozkladu uvádí, že každý ergodický systém lze rozdělit na dvě části: konzervativní část a disipativní část.
míchání je silnější tvrzení než ergodicita. Míchání se ptá na to ergodické majetek držet mezi libovolné dvě množiny A , B {\displaystyle A,B}
, a ne jen mezi některými nastavit {\displaystyle A}
a {X} \displaystyle X}
. To je, vzhledem k tomu, nějaké dvě množiny A , B ∈ {\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}}
, systém je řekl, aby byl (topologicky), míchání, pokud existuje celé číslo N {\displaystyle N}
takové, že, pro všechny A , B {\displaystyle A,B}
a n > N {\displaystyle n>N}
jeden je, že T n ( A ) ∩ B ≠ ∅ {\displaystyle T^{n}(A)\cap B\neq \varnothing }
. Tady ∩ {\displaystyle \cap }
označuje nastavit křižovatku a ∅ {\displaystyle \varnothing }
je prázdná množina. Další pojmy míchání zahrnují silné a slabé míchání, které popisují představa, že smíšené látky prolínají všude, ve stejném poměru. To může být netriviální, jak ukazují praktické zkušenosti se snahou míchat lepkavé, lepkavé látky.
Ergodic processesEdit
výše uvedená diskuse apeluje na fyzický smysl svazku. Objem nemusí být doslova nějakou částí 3D prostoru; může to být nějaký abstraktní svazek. To je obecně případ statistických systémů, kde objem (míra) je dána pravděpodobností. Celkový objem odpovídá pravděpodobnosti jedna. Tato korespondence funguje, protože axiomy teorie pravděpodobnosti jsou totožné s axiomy teorie míry; to jsou kolmogorovovy axiomy.
myšlenka svazku může být velmi abstraktní. Zvažte například soubor všech možných mincí: soubor nekonečných sekvencí hlav a ocasů. Při přiřazení objemu 1 k tomuto prostoru je zřejmé, že polovina všech takových sekvencí začíná hlavami a polovina začíná ocasy. Lze nakrájet tento objem v jiných ohledech: člověk může říci, „je mi jedno, o prvních n − 1 {\displaystyle n-1}
mince-salta; ale chci, n {\displaystyle n}
‚th z nich hlavy, a pak jsem se nestarám o to, co přijde po tom“. Může to být zapsáno jako sada ( ∗ , ⋯ , ∗ , h , ∗ , ⋯ ) {\displaystyle (*,\cdots ,*,h*,\cdots )}
kde ∗ {\displaystyle *}
je „jedno“ a h {\displaystyle h}
je „hlavou“. Objem tohoto prostoru je opět (samozřejmě!) polovina.
výše uvedené stačí k vybudování dynamického systému zachovávajícího opatření v celém rozsahu. Sady h {\displaystyle h}
nebo t {\displaystyle t}
vyskytující se v n {\displaystyle n}
‚místo se nazývá válec sady. Sada všech možných křižovatkách, odbory a doplňuje válce sady pak tvoří Borel set {\displaystyle {\mathcal {A}}}
definované výše. Formálně tvoří sady válců základ pro topologii na prostoru X {\displaystyle X}
všech možných nekonečných hodů mincí. Opatření μ {\displaystyle \mu }
má všechny společné-smysl, vlastnosti, jeden by mohl doufat: opatření válce sada s h {\displaystyle h}
v m {\displaystyle m}
‚th pozici, a t {\displaystyle t}
v k {\displaystyle k}
‚tého pozice je samozřejmě 1/4, a tak dále. Tyto vlastnosti zdravého rozumu přetrvávají pro množinu-doplněk a množinu-spojení: vše kromě h {\displaystyle h}
a t {\displaystyle t}
v místech m {\displaystyle m}
a k {\displaystyle k}
samozřejmě má objem 3/4. Dohromady tvoří axiomy sigma-aditivní opatření; dynamické systémy zachovávající opatření vždy používají sigma-aditivní opatření. U mincí se toto opatření nazývá Bernoulliho opatření.
Pro coin-flip proces, čas-evoluční operátor T {\displaystyle T}
je posun subjekt, který říká, že „vyhodit první coin-flip, a udržet zbytek“. Formálně, je-li ( x 1 , x 2 , ⋯ ) {\displaystyle (x_{1},x_{2},\cdots )}
je posloupnost mince vyletí, pak T ( x 1 , x 2 , ⋯ ) = ( x 2 , x 3 , ⋯ ) {\displaystyle T(x_{1},x_{2},\cdots )=(x_{2},x_{3},\cdots )}
. Míra je zjevně invariantní: tak dlouho, jak jsme mluvili o některých nastavení ∈ {\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}
kde první coin-flip x 1 = ∗ {\displaystyle x_{1}=*}
je „jedno“ hodnotu, pak objem μ () {\displaystyle \mu ()}
nemění: μ ( A ) = μ ( T ( A ) ) {\displaystyle \mu (A)=\mu (T())}
. Aby se zabránilo mluvit o první coin-flip, je jednodušší definovat T − 1 {\displaystyle T^{-1}}
jako vložení „jedno“ hodnota do první polohy: T − 1 ( x 1 , x 2 , ⋯ ) = ( ∗ , x 1 , x 2 , ⋯ ) {\displaystyle T^{-1}(x_{1},x_{2},\cdots )=(*,x_{1},x_{2},\cdots )}
. S touto definicí, jedna má samozřejmě, že μ ( T − 1 ( A ) ) = μ ( A ) {\displaystyle \mu (T^{-1}(A))=\mu ()}
bez omezení na {\displaystyle A}
. Toto je opět příklad toho, proč T-1 {\displaystyle T^{-1}}
používá se ve formálních definicích.
výše uvedený vývoj má náhodný proces, Bernoulliho proces, a převádí jej na dynamický systém zachovávající míru ( X , A, μ, T). {\displaystyle (X, {\mathcal {a}},\mu, T).}
stejná konverze (ekvivalence, izomorfismus) může být použita pro jakýkoli stochastický proces. Tak, neformální definice ergodicity je, že sekvence je ergodický, pokud navštíví všechny X {\displaystyle X}
; tyto sekvence jsou „typické“ pro proces. Další je, že jeho statistické vlastnosti lze vyvodit z jedné, dostatečně dlouhé, náhodný vzorek z procesu (tedy jednotně odběru všech X {\displaystyle X}
), nebo že kolekce náhodných vzorků z procesu, musí představovat průměrné statistické vlastnosti celého procesu (to znamená, že vzorky odebrané rovnoměrně z X {\displaystyle X}
jsou reprezentativní pro X {\displaystyle X}
jako celek.) V tomto příkladu je sekvence hodů mincí, kde polovina jsou hlavy a polovina jsou ocasy, „typická“ sekvence.
o Bernoulliho procesu je třeba učinit několik důležitých bodů. Pokud člověk píše 0 pro ocasy a 1 pro hlavy, dostane sadu všech nekonečných řetězců binárních číslic. Ty odpovídají základu-dvě rozšíření reálných čísel. Výslovně, vzhledem k tomu, sekvence ( x 1 , x 2 , ⋯ ) {\displaystyle (x_{1},x_{2},\cdots )}
, odpovídající reálné číslo y = ∑ n = 1 ∞ x n 2 n {\displaystyle y=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x_{n}}{2^{n}}}}
prohlášení, že Bernoulliho proces je ergodický je ekvivalentní tvrzení, že reálná čísla jsou stejnoměrně distribuována. Sada všech takových řetězců může být napsána různými způsoby: { h, t } ∞ = { h, t } ω = { 0, 1 } ω = 2 ω = 2 n. {\displaystyle \{h,t\}^{\infty }=\{h,t\}^{\omega }=\{0,1\}^{\omega }=2^{\omega }=2^{\mathbb {N} }.}
nakonec jsou to všechno „totéž“.
Cantorova sada hraje klíčové role v mnoha oborech matematiky. V rekreační matematice, podporuje fraktály zdvojnásobující období; v analýze, objevuje se v široké škále vět. Klíčovým pro stochastické procesy je Niva rozklad, který uvádí, že každý stacionární proces lze rozložit do dvojice vzájemně nesouvisejících procesů, jeden deterministický, a druhá je klouzavý průměr proces.
Ornstein izomorfismus věta uvádí, že každý stacionární stochastický proces je ekvivalentní k Bernoulliho schéma (Bernoulliho proces s N-sided (a možná i nespravedlivé) herní zemřít). Další výsledky patří, že každý non-disipativní ergodické systém je rovnocenný s Markov ujeté vzdálenosti, někdy nazývaná „přidání machine“, protože to vypadá jako na základní škole, kromě toho, že je, přičemž base-N místné sekvence, přidáním jednoho, a rozmnožovacího carry bity. Důkaz rovnocennosti je velmi abstraktní; pochopení výsledku není: přidáním jednoho v každém časovém kroku je navštíven každý možný stav počítadla kilometrů, dokud se převrátí a nezačne znovu. Stejně tak ergodické systémy navštěvují každý stát jednotně a přecházejí k dalšímu, dokud nejsou všechny navštíveny.
systémy, které generují (nekonečné) sekvence n písmen, jsou studovány pomocí symbolické dynamiky. Mezi významné speciální případy patří podřády konečných typů a sofických systémů.
Ergodicity v physicsEdit
Fyzikální systémy lze rozdělit do tří kategorií: klasické mechaniky, která popisuje stroje s konečným počtem pohyblivých částí, kvantové mechaniky, která popisuje strukturu atomů, a statistické mechaniky, která popisuje, plynů, kapalin, pevných látek; to zahrnuje fyziky kondenzovaných látek. Případ klasické mechaniky je popsán v další části, na ergodicity v geometrii. Jako kvantové mechaniky, i když je pojetí kvantové chaos, není tam žádná jasná definice ergodocity; co by to mohlo být je hotly debatoval. Tato část hodnotí ergodicitu ve statistické mechanice.
výše uvedená abstraktní definice svazku je vyžadována jako vhodné nastavení pro definice ergodicity ve fyzice. Zvažte nádobu s kapalinou, plynem nebo plazmou nebo jinou sbírkou atomů nebo částic. Každá částice x i {\displaystyle x_{i}}
3D pozici a 3D rychlosti, a je tedy popsáno šest čísel: bod v šesti-rozměrném prostoru R 6 . {\displaystyle \ mathbb {R} ^{6}.}
Pokud je N {\displaystyle N}
těchto částic v systému, kompletní popis vyžaduje 6 N {\displaystyle 6N}
čísla. Každý jeden systém je jen jeden bod v R 6 n. {\displaystyle \ mathbb {R} ^{6N}.}
fyzikální systém je ne všechny R 6 N {\displaystyle \mathbb {R} ^{6N}}
, samozřejmě, pokud je to krabice šířka, výška a délka Š × H × L {\displaystyle W\times H\times L}
pak bod je v ( W × H × L × R 3 ) N . {\displaystyle (W \ krát H \ krát L \ krát \ mathbb {R} ^{3})^{N}.}
ani rychlosti nemohou být nekonečné: jsou škálovány nějakým měřítkem pravděpodobnosti, například boltzmannovým-Gibbsovým měřítkem pro plyn. Pro N {\displaystyle N}
v blízkosti Avogadrova čísla je to samozřejmě velmi velký prostor. Tento prostor se nazývá kanonický soubor.
fyzický systém se říká, že je ergodický, pokud nějaký reprezentativní bod systému nakonec přijde navštívit celý objem systému. Pro výše uvedený příklad to znamená, že daný atom nejen návštěvy každé části pole W × H × L {\displaystyle W\times H\times L}
s uniformní pravděpodobností, ale tak to dělá s každou možnou rychlost, s pravděpodobností dána tím, Boltzmannova rozdělení pro to, že rychlost (tak, jednotné s ohledem na to, že opatření). Ergodická hypotéza uvádí, že fyzikální systémy jsou ve skutečnosti ergodické. V práci je více časových stupnic: plyny a kapaliny se zdají být ergodické v krátkých časových měřítcích. Ergodicity v pevném může být viděn, pokud jde o vibrační režimy nebo fonony, jako zjevně atomy v pevné nevyměňují místa. Brýle představují výzvu ergodické hypotéze; předpokládá se, že Časové stupnice jsou v milionech let, ale výsledky jsou sporné. Spinové brýle představují zvláštní potíže.
Formální matematické důkazy ergodicity ve statistické fyzice jsou těžké přijít; nejvíce high-dimenzionální mnohočásticových systémů se předpokládá, že jsou ergodické, bez matematického důkazu. Výjimky zahrnují dynamický kulečník, který modeluje kolize atomů v ideálním plynu nebo plazmě typu kulečníkové koule. První teorém ergodicity s tvrdou koulí byl pro Sinajský kulečník, který považuje dva míčky, jeden z nich za stacionární, na počátku. Když se druhá koule srazí, vzdaluje se; při použití periodických okrajových podmínek se pak vrací, aby se znovu srazila. O odvolání do homogenity, tento návrat z „druhé“ míč místo toho mohou být přijata, aby bylo „jen nějaký jiný atom“, který má přijít do rozsahu, a pohybuje se srazí s atomem na původu (která může být přijata jen „jiný atom“.) To je jeden z mála formálních důkazů, které existují, nejsou tam žádné ekvivalentní tvrzení např. pro atomy v kapalině, které interagují prostřednictvím van der Waalsových sil, i když to bude zdravý rozum věřit, že tyto systémy jsou ergodické (a míchání). Přesnější fyzické argumenty lze však učinit.
ergodicita v geometriiedit
ergodicita je široce rozšířený jev ve studiu Riemannianských rozdělovačů. Tento bod ilustruje rychlá posloupnost příkladů, od jednoduchých po komplikované. Všechny níže uvedené systémy se ukázaly jako ergodické prostřednictvím přísných formálních důkazů. Iracionální rotace kruhu je Ergodická: oběžná dráha bodu je taková, že nakonec je navštíven každý druhý bod v kruhu. Takové rotace jsou zvláštním případem intervalové výměnné mapy. Beta expanze čísla jsou ergodické: beta expanze reálné číslo se provádí není v base-N, ale v base – β {\displaystyle \beta }
pro nějaké β . {\displaystyle \beta .}
odražená verze beta expanze je stanová mapa; existuje celá řada dalších ergodických map intervalu jednotek. Přesun do dvou dimenzí, aritmetický kulečník s iracionálními úhly jsou ergodické. Jeden může také vzít plochý obdélník, squash, řezat a zase složit, to je dříve zmíněný pekař mapě. Jeho body mohou být popsány souborem bi-nekonečných řetězců dvěma písmeny, to znamená, že se rozprostírají jak vlevo, tak vpravo; jako takový vypadá jako dvě kopie Bernoulliho procesu. Pokud se člověk během rozmačkání deformuje do strany, získá Arnoldovu kočičí mapu. Ve většině způsobů je mapa koček prototypem jakékoli jiné podobné transformace.
u plochých povrchů lze říci, že geodetický tok jakéhokoli negativně zakřiveného kompaktního Riemannova povrchu je ergodický. Povrch je „kompaktní“ v tom smyslu, že má konečnou plochu povrchu. Geodetický tok je zobecněním myšlenky pohybu v „přímce“ na zakřiveném povrchu: takové přímky jsou geodetiky. Jedním z prvních případů, studoval je Hadamardova ‚ s billiards, který popisuje geodesics na Bolza povrch, topologicky ekvivalentní kobliha s dvěma otvory. Ergodicity může být prokázáno, neformálně, pokud má člověk fixou a nějaký rozumný příklad dvoudírkový kobliha: začíná kdekoli, v každém směru, jeden se pokusí nakreslit rovnou čáru; pravítka jsou užitečné pro to. Netrvá tak dlouho, než zjistíte, že se člověk nevrátí do výchozího bodu. (Samozřejmě za to může také křivá kresba; proto máme důkazy.)
tyto výsledky se rozšiřují na vyšší rozměry. Geodetický tok pro negativně zakřivené kompaktní Riemannovy rozvody je ergodický. Klasickým příkladem je tok Anosov, což je tok horocyklu na hyperbolickém potrubí. To může být viděno jako druh Hopf fibrace. Takové toky se běžně vyskytují v klasické mechanice, což je studium fyziky konečněrozměrných pohyblivých strojů, např. dvojité kyvadlo a tak dále. Klasická mechanika je konstruována na symplektických rozdělovačích. Toky na takových systémech mohou být dekonstruovány do stabilních a nestabilních rozvodů; obecně platí, že pokud je to možné, chaotické výsledky pohybu. Že toto je obecný, může být viděn tím, že kotangens svazek z Riemannova varieta je (vždy), symplectic rozmanité; geodetické křivky průtok je dán řešení Hamilton–Jacobiho rovnice pro tato potrubí. Pokud jde o kanonické souřadnice ( q , p ) {\displaystyle (q,p)}
na kotangens potrubí, Hamiltonian nebo energie je dána vztahem H = 1 2 ∑ i j g i, j ( q ) p i p j {\displaystyle H={\tfrac {1}{2}}\sum _{ij}g^{ij}(q)p_{i}p_{j}}
s g i j {\displaystyle g^{ij}}
(inverzní) metrický tenzor a p i {\displaystyle p_{i}}
hybnost. Podobnost k kinetická energie E = 1 2 m v 2 {\displaystyle E={\tfrac {1}{2}}mv^{2}}
bodu částic je stěží náhodné; to je celý smysl říkat takové věci, „energie“. V tomto smyslu, chaotické chování s ergodické dráhy je více-nebo-méně obecný jev u velké plochy geometrie.
výsledky Ergodicity byly poskytnuty v translačních plochách, hyperbolických skupinách a systolické geometrii. Techniky zahrnují studium ergodických toků, Hopfův rozklad a větu Ambrose–Kakutani–Krengel–Kubo. Důležitou třídou systémů jsou systémy Axiom A.
bylo získáno množství výsledků klasifikace I „anti-klasifikace“. Ornsteinova věta o izomorfismu platí i zde; znovu, uvádí, že většina z těchto systémů je izomorfní pro nějaké Bernoulliho schéma. To poměrně úhledně spojuje tyto systémy zpět do definice ergodicity dané pro stochastický proces, v předchozí části. Výsledky anti-klasifikace uvádějí, že existuje více než nekonečně nekonečný počet nerovnoměrných dynamických systémů zachovávajících Ergodická opatření. To možná není úplně překvapení, protože lze použít body v sadě Cantor pro konstrukci podobných, ale odlišných systémů. Stručný přehled některých výsledků anti-klasifikace najdete v dynamickém systému zachování opatření.
Historické vývojeditovat
myšlenka ergodicity se narodil v oblasti termodynamiky, kde to bylo nutné, aby se týkají jednotlivých států molekul plynu na teplotě plynu jako celku a jeho časový vývoj této smlouvy. K tomu bylo nutné uvést, co přesně to znamená, aby se plyny dobře promíchaly, aby bylo možné termodynamickou rovnováhu definovat s matematickou přísností. Jakmile byla teorie ve fyzice dobře rozvinutá, byla rychle formalizována a rozšířena, takže Ergodická teorie je již dlouho nezávislou oblastí matematiky sama o sobě. V rámci tohoto postupu existuje více než jedna mírně odlišná definice ergodicity a množství interpretací konceptu v různých oblastech.
například, v klasické fyzice termín znamená, že systém splňuje ergodické hypotézy termodynamiky, příslušné státní prostor je poloha a hybnost prostor. V teorii dynamických systémů je stavový prostor obvykle považován za obecnější fázový prostor. Na druhé straně v teorii kódování je stavový prostor často diskrétní jak v čase, tak ve stavu, s méně souběžnou strukturou. Ve všech těchto oblastech, myšlenky, čas, průměrná a ensemble průměr může také nést zavazadla navíc, stejně jako je tomu v případě mnoha možných termodynamicky příslušné rozdělovací funkce slouží k definování souboru průměry ve fyzice, zase zpátky. Jako taková opatření teoretická formalizace konceptu také slouží jako sjednocující disciplína.
EtymologyEdit
termín ergodické je obyčejně si myslel, že pochází z řeckých slov ἔργον (ergon: „práce“) a ὁδός (hodos: „cesta“, „cesta“), jako vybrán Ludwig Boltzmann, zatímco on pracoval na nějaký problém ve statistické mechanice. Současně se také tvrdí, že jde o derivaci ergomonody, kterou vytvořil Boltzmann v relativně obskurním dokumentu z roku 1884. Etymologie se zdá být zpochybněna i jinými způsoby.