Zde jsou některé základní definice a vlastnosti čar a úhly v geometrii. Tyto koncepty jsou testovány v mnoha konkurenčních přijímacích zkouškách, jako je GMAT, GRE, CAT.
úsečka: úsečka má dva koncové body s určitou délkou.
paprsek: paprsek má jeden koncový bod a nekonečně se rozprostírá v jednom směru.
přímka: Přímka nemá ani počáteční ani koncový bod a má nekonečnou délku.
ostrý úhel: úhel, který je mezi 0° a 90° je ostrý úhel, ∠A na obrázku níže.
tupý úhel: úhel mezi 90° a 180° je tupý úhel, ∠B, jak je znázorněno níže.
pravý úhel: úhel 90° je pravý úhel, ∠C, jak je znázorněno níže.
přímý úhel: Úhel, který je 180°, je přímý úhel, ∠AOB na obrázku níže.
Doplňkové úhly:
na obrázku výše, ∠AOC + ∠COB = ∠AOB = 180°
Jestliže součet dvou úhlů je 180° pak úhly se nazývají doplňkové úhly.
dva pravé úhly se vždy doplňují.
dvojice sousedních úhlů, jejichž součet je přímý úhel, se nazývá lineární pár.
doplňkové úhly:
∠COA + ∠AOB = 90°
Jestliže součet dvou úhlů je 90° pak dva úhly se nazývají doplňkové úhly.
Přilehlé úhly:
úhly, které mají společné rameno a společný vrchol, se nazývají sousední úhly.
na obrázku výše jsou ∠BOA a ∠AOC sousedními úhly. Jejich společné rameno je OA a společný vrchol je „O“.
svisle protilehlé úhly:
když se protínají dvě čáry, úhly vytvořené proti sobě v průsečíku (vrchol) se nazývají vertikálně protilehlé úhly.
na obrázku výše,
x a y jsou dvě protínající se čáry.
∠a a ∠C, aby jedna dvojice vertikálně protilehlé úhly
∠B a ∠D se další dvojice vertikálně protilehlé úhly.
kolmé čáry: pokud je mezi dvěma čarami pravý úhel, říká se, že čáry jsou navzájem kolmé.
zde se říká, že čáry OA a OB jsou navzájem kolmé.
Parallel lines:
Tady, a a B jsou dvě paralelní linie, protíná přímku p.
přímka p se nazývá příčka, která protíná dvě nebo více čar (ne nutně paralelní linky) na různých místech.
jak je vidět na obrázku výše, když příčný protíná dvě čáry, vytvoří se 8 úhlů.
uvažujme podrobnosti v tabulkové formě pro snadnou orientaci.
| Types of Angles | Angles |
| Interior Angles | ∠3, ∠4, ∠5, ∠6 |
| Exterior Angles | ∠1, ∠2, ∠7, ∠8 |
| Vertically opposite Angles | (∠1, ∠3), (∠2, ∠4), (∠5, ∠7), (∠6, ∠8) |
| Corresponding Angles | (∠1, ∠5), (∠2, ∠6), (∠3, ∠7), (∠4, ∠8) |
| Interior Alternate Angles | (∠3, ∠5), (∠4, ∠6) |
| Exterior Alternate Úhly | (∠1, ∠7), (∠2, ∠8) |
| Vnitřní Úhly na stejné straně průřezových | (∠3, ∠6), (∠4, ∠5) |
Když příčně protíná dvě rovnoběžky,
- Odpovídající si úhly jsou stejné.
- svisle protilehlé úhly jsou stejné.
- střídavé vnitřní úhly jsou stejné.
- alternativní vnější úhly jsou stejné.
- dvojice vnitřních úhlů na stejné straně příčníku je doplňková.
můžeme říci, že čáry jsou rovnoběžné, pokud můžeme ověřit alespoň jednu z výše uvedených podmínek.
podívejme se na některé příklady.
vyřešené příklady
Příklad 1. Pokud jsou čáry m a n navzájem rovnoběžné, určete úhly ∠5 a ∠7.
řešení:
určení jednoho páru může umožnit najít všechny ostatní úhly. Následuje jeden z mnoha způsobů řešení této otázky.
∠2 = 125°
∠2 = ∠4 vzhledem k tomu, že jsou vertikálně opačné úhly.
proto, ∠4 = 125°
∠4 je jedním z vnitřních úhlů na stejné straně příčné.
Proto, ∠4 + ∠5 = 180°
125 + ∠5 = 180 → ∠5 = 180 – 125 = 55°
∠5 = ∠7 od vertikálně protilehlé úhly.
Proto, ∠5 = ∠7 = 55°
Poznámka: Někdy, paralelní majetku z řádků nesmí být uvedena v prohlášení problém a linky se může zdát být vzájemně rovnoběžné, ale oni mohou být. Je důležité určit, zda jsou dvě čáry rovnoběžné ověřením úhlů a nikoli vzhledem.
příklad 2. Pokud ∠a = 120° a ∠H = 60°. Určete, zda jsou čáry rovnoběžné.
Řešení:
Vzhledem ∠ = 120°, ∠H = 60°.
protože sousední úhly jsou doplňkové, ∠a + B B = 180°
120 + ∠B = 180 → ∠B = 60°.
je dáno, že ∠H = 60°. Vidíme, že ∠B a ∠H jsou vnější střídavé úhly.
jsou-li vnější střídavé úhly stejné, jsou přímky rovnoběžné.
proto jsou přímky p A q rovnoběžné.
můžeme to ověřit pomocí jiných úhlů.
Pokud ∠H = 60°, ∠E = 120°, protože ti dva jsou na přímce, jsou doplňkové.
Nyní, ∠A = E E = 120°. ∠A A ∠E jsou odpovídající úhly.
jsou-li odpovídající úhly stejné, jsou přímky rovnoběžné.
stejně tak můžeme dokázat i jiné úhly.
příklad 3. Pokud jsou p a q dvě rovnoběžné čáry a ∠E = 50°, najděte všechny úhly na obrázku níže.
řešení:
je dáno ∠E = 50°.
obě přímky jsou rovnoběžné
→ odpovídající úhly jsou stejné.
protože ∠E A ∠A jsou odpovídající úhly, ∠a = 50° .
→ svisle protilehlé úhly jsou stejné.
protože ∠A A ∠C jsou svisle proti sobě, ∠C = 50°.
protože ∠E a ∠G jsou svisle proti sobě, ∠G = 50°.
→ vnitřní úhly na stejné straně příčníku jsou doplňkové.
E E + D D = 180° → 50 + D D = 180° → → D = 130°
→ ∠D a ∠B jsou svisle protilehlé úhly. Takže ∠B = 130°.