5.1 Úvod
mechanika Tekutin obecně a hranice vrstev jsou zejména matematicky složitá. Taková složitost občas nejen pokročí ve studiu a porozumění tekutinám,ale také pokročí v aplikované matematické disciplíně. Matematika nadále umožňuje vyvodit tolik potřebné závěry z několika disciplín. Za tímto účelem řada matematiků nadále významně přispívá k disciplíně dynamiky tekutin.
problémy mezní vrstvy zahrnují rychlou změnu hodnoty fyzické proměnné v omezené oblasti prostoru a představují určitou třídu singulárních poruchových problémů. V tomto ohledu téměř všechny problémy mezní vrstvy zahrnují diferenciální rovnice, ve kterých je nejvyšší derivační termín vynásoben malým parametrem. Taky, mezní vrstva je vždy považována za semiinfinite, hlavním důvodem je svoboda od nutnosti zvážit koncové hraniční efekty, kde lze očekávat všechny nepředstavitelné a představitelné. Uvažování o nekonečném povrchu může být tak obtížné, že v první řadě odvrátí pozornost od hlavního zájmu šetření. Řekl, že není nic, co zakazuje mladší generace výzkumných pracovníků z řešení tohoto problému, s ohledem na jejich výhodou expozice relativně větší znalostí než předchozí generace.
hydro-nebo fluidní dynamika je řízena nelineárními parciálními diferenciálními rovnicemi (PDEs), které jsou velmi obtížně řešitelné analyticky. Podle našeho nejlepšího vědomí neexistuje žádné obecné uzavřené řešení těchto rovnic. Řídící rovnice mezní vrstvy jsou primárně založeny na zjednodušení systému druhého řádu nelineárních parciálních diferenciálních rovnic (Pde), které jsou známé jako Navier–Stokesových (NS) rovnic pohybu pro viskózní toků. Zjednodušení nabízené Prandtlem v roce 1908 je obecně označováno jako rovnice Prandtl Boundary Layer (PBL). Na rozdíl od rovnic NS, které jsou eliptické, rovnice mezní vrstvy mají parabolickou povahu a techniky používané k jejich řešení jsou založeny na zákonech podobnosti v tocích mezní vrstvy.
k řešení problémů s hraniční vrstvou lze použít tři primární metody: podobnost nebo diferenciální metoda (nejběžnější přístup), integrální metoda a metoda úplného numerického řešení . Mnoho zvláštních případů nelineárních PDEs vedlo k odpovídajícím změnám proměnných nebo protahovacích transformací v závislosti na úkolu, který mají splnit. Některé transformace linearize soustavu rovnic v úvahu, zatímco jiní změnit systém, pro který existuje řešení. Proměny, které snižují systému Pde na systém obyčejných diferenciálních rovnic (Odr) tím, že využívá vlastní symetrii problému jsou často považovány za „podobnost proměny.“Metoda podobnosti je původní blasiusova metoda, která byla vyvinuta pro analytické řešení problémů mezní vrstvy. Blasius zavedl a použil nezávislou proměnnou zvanou podobnost s prandtlovými rovnicemi mezní vrstvy. Toto bylo založeno na předpokladu, že rychlost je geometricky podobná ve směru proudění, kde jsou konzervační PDEs převedeny na ODEs. Podobnost transformace zachycuje růst mezní vrstvy a výrazně zjednodušuje analýzu a řešení řídících rovnic. Nalezení podobnosti proměnné, která je vhodná pro transformaci, je spíše uměním než vědou, a vyžaduje dobré nahlédnutí do problému. Počty nezávislých proměnných v PDEs jsou pečlivě převedeny na jednu nezávislou proměnnou (známou jako proměnná podobnosti). Původní počáteční okrajové podmínky jsou také stejně transformovány do vhodných okrajových podmínek v nové kombinované proměnné.
podobnosti transformace technika je nepostradatelným nástrojem pro analýzu tekutin mechanické chování obecně, a zejména mezní vrstvy procesů. Asymptotické techniky nám umožňují vytvořit jednoduchý komplexní systém, který pak poskytuje osvícenou formu empirismu, kterou označujeme jako podobnost. Bylo vyvinuto několik metod a přístupů k nalezení podobnostních proměnných, například Vaschy–Buckinghamova věta Pi . Nejpřísnější a systematičtější přístup k hledání podobnostních proměnných je založen na Lieově skupině transformací . Předpoklad přístupu Lie-group je, že každá proměnná v počáteční rovnici je podrobena nekonečně malé transformaci. Požadavek, aby rovnice byla invariantní při těchto transformacích, vede k určení potenciálu nebo možných symetrií. Tento přístup byl běžně aplikován na rovnice mezní vrstvy. Teorie mezní vrstvy Apropos, autoři poskytli komplexní popis klasických metod, včetně několika možných výsledků v závislosti na perspektivě problému, který má být vyřešen. Přímá metoda Clarkson–Krustal, který se používá k nalezení snížení podobnosti, byl použit v nestabilních rovnicích mezní vrstvy. Je důležité si uvědomit, že nalezená proměnná podobnosti není jedinečná nebo zvláštní pouze pro jeden problém; může být aplikována na jiné podobné problémy, kdykoli je to vhodné. Dále Hansen diskutoval o metodě „roztahovací proměnné“ používané k nalezení podobnostních transformací. Celkově problémy s podobností redukují původní rovnice PBL na formu, která je invariantní s ohledem na afinní transformace. Lokální průtokové pole je pak řešeno pomocí analytických / numerických řešení PDEs upravujících mezní vrstvu. Charakteristicky, rychlostní profily toků mezní vrstvy poskytují sadu homotetických křivek a grafů. Proč jsou typicky homotetičtí? Pokud jde například o profil rychlosti, normalizujeme pomocí uU∞ a to má tendenci nebo se blíží jednotě. Podobně, pokud jde o teplotní profil, normalizujeme freestreamovou teplotou, nebo T−T∞, a to má tendenci nebo se blíží nule. Integrální metody, v jiném ohledu, poskytují řešení uzavřené formy za předpokladu profilu rychlosti, teplota, a přenos koncentrační hmoty. Zahrnuje integraci rovnic od stěny k volnému proudu, čímž se získá celkový výkon, který zahrnuje růst mezní vrstvy. Konečně, Plná numerická metoda používá osvědčené numerické schémata a praktické simulační kódy s vysokorychlostními počítači k řešení několika problémů s hraniční vrstvou.
je třeba poznamenat, že některé studie v literatuře diskutují o svých výsledcích jako o přesných řešeních. V tomto ohledu je důležitá opatrnost. Obecně, když mluvíme o „přesné řešení“ základních rovnic, jako je NS rovnic, a to by mohlo být plné NS rovnic nebo jejich přibližné formy, tak dlouho, jak získat řešení, získané jakoukoli techniku jsou vskutku tak přesné, jak přijdou, to znamená, že neexistuje lepší řešení našel. Přesnost se týká řešení samotné rovnice. Pokud byla daná rovnice aproximací robustnější rovnice, pak by nárok na přesnost řešení měl být pouze na přibližné řešení.