Tři dimensionsEdit
Prostor křivka ve 3D. Polohový vektor r má parametrické veličinou t. Na r = červená čára je tečnou křivky a modré letadlo je normální křivky.
Ve třech rozměrech, každá sada tří-dimenzionální souřadnice a jim odpovídající bazické vektory lze použít pro definici polohy bodu v prostoru—podle toho, co je nejjednodušší pro úkol po ruce, může být použit.
běžně se používá známý Kartézský souřadnicový systém nebo někdy sférické polární souřadnice nebo válcové souřadnice:
r ( t ) ≡ r ( x , y , z ) ≡ x ( t ) e ^ x + y ( t ) e ^ y + z ( t ) e ^ z ≡ r ( r , θ , ϕ ) ≡ r ( t ) e ^ r ( θ ( t ) , ϕ ( t ) ) ≡ r ( r , θ , z ) ≡ r ( t ) e ^ r ( θ ( t ) ) + z ( t ) e ^ z , {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} (t)&\equiv \mathbf {r} (x,y,z)\equiv x(t)\mathbf {\hat {e}} _{x}+y(t)\mathbf {\hat {e}} _{y}+z(t)\mathbf {\hat {e}} _{z}\\&\equiv \mathbf {r} (r,\theta ,\phi )\equiv r(t)\mathbf {\hat {e}} _{r}{\big (}\theta (t),\phi (t){\big )}\\&\equiv \mathbf {r} (r,\theta ,z)\equiv r(t)\mathbf {\hat {e}} _{r}{\big (}\theta (t){\big )}+z(t)\mathbf {\hat {e}} _{z},\\\end{aligned}}}
, kde t je parametr, vzhledem k jejich obdélníkové nebo kruhové symetrie. Tyto různé souřadnice a odpovídající bázové vektory představují stejný Polohový vektor. Místo toho lze použít obecnější křivočaré souřadnice a jsou v kontextech, jako je mechanika kontinua a obecná relativita (v druhém případě je třeba další časové souřadnice).
n dimensionsEdit
Lineární algebra umožňuje abstrakci n-dimenzionálního vektoru polohy. Polohový vektor lze vyjádřit jako lineární kombinaci bázových vektorů:
r = i i = 1 N X i e = x 1 e 1 + x 2 e 2 + ⋯ + x n e n. {\displaystyle \mathbf {r} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {e} _{i}=x_{1}\mathbf {e} _{1}+x_{2}\mathbf {e} _{2}+\dotsb +x_{n}\mathbf {e} _{n}.}
nastavit všechny polohy vektorů formy pozici prostor (vektorový prostor, jehož prvky jsou polohy vektorů), protože pozice mohou být přidány (vektorové sčítání) a zmenšen na délku (skalární násobení) získat další pozici vektoru v prostoru. Pojem „prostor“ je intuitivní, protože každý xi (i = 1, 2,…, n) může mít libovolnou hodnotu, sbírka hodnot definuje bod v prostoru.
rozměr pozičního prostoru je n (také označen dim (R) = n). Souřadnice vektoru r vzhledem k bázi vektory ei jsou xi. Vektor souřadnice tvoří souřadnicový vektor nebo n-tice (x1, x2, …, xn).
každá souřadnice xi může být parametrizována řadou parametrů t. Jednoho parametru xi(t) popisují zakřivené 1D cestu, dvou parametrů xi(t1, t2) popisuje zakřivený 2D povrch, tři xi(t1, t2, t3) popisuje zakřivené 3D objem prostoru, a tak dále.
lineární rozpětí bázi B = {e1, e2, …, en} se rovná postavení prostoru R, označil span(B) = R.