Při použití matematické symboly k popisu Riemann zeta funkci, to je reprezentován jako nekonečné řady:
ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n y , R e ( s ) > 1. {\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}},\quad \mathrm {Re} (s)>1.}
kde R e ( s ) {\displaystyle \mathrm {Re} (s)}
je reálná část komplexního čísla y {\displaystyle y}
. Například, když y = a + i b {\displaystyle y=a+ib}
, pak R e ( y ) = {\displaystyle \mathrm {Re} (s)=a}
(kde i 2 = − 1 {\displaystyle i^{2}=-1}
).
tím se vytvoří sekvence. Prvních několik podmínek této sekvence by být,
1 1 s + 1 2 s + 1 3 s … {\displaystyle {\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}\ldots }
a tak dále
Nicméně, toto neplatí pro čísla, kde R e ( s ) < 1 {\displaystyle \mathrm {Re} (s)<1}
, protože budeme-li interpretovat tuto funkci jako nekonečný součet, součet nekonverguje. Místo toho se liší. To znamená, že místo toho, aby se blížila konkrétní hodnotě, bude nekonečně velká. Riemann použil analytické pokračování, aby mohl dát hodnotu všem číslům kromě 1. ζ ( 1 ) {\displaystyle \zeta (1)}
představuje harmonické řady, která diverguje, což znamená, že součet není v blízkosti žádné konkrétní číslo.
Leonhard Euler objevil první výsledky o sérii, kterou tato funkce představuje v osmnáctém století. Dokázal, že funkci Zeta lze zapsat jako nekonečný součin prvočísel. V matematické notaci:
ζ ( s) = expertní p | prime 1 1 − p − s, {\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p|{\text{předseda}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}}
