Ergodisuus

Ergodisuus esiintyy laajasti fysiikassa ja matematiikassa. Kaikkia näitä asetuksia yhdistää yhteinen matemaattinen kuvaus, mittaa säilyttävän dynaamisen järjestelmän kuvaus. Seuraavassa esitetään epävirallinen kuvaus tästä ja ergodisuuden määritelmä sen suhteen. Tätä seuraa ergodisuuden kuvaus stokastisissa prosesseissa. Ne ovat yksi ja sama, vaikka ne käyttävät dramaattisesti eri merkintää ja kieltä. Ergodisuuden tarkastelu fysiikassa ja geometriassa seuraa. Kaikissa tapauksissa, käsite ergodicity on täsmälleen sama kuin dynamical systems; ei ole eroa, paitsi outlook, notaatio, tyyli ajattelu ja lehdet, joissa tulokset julkaistaan.

mitta-säilyttävien dynaamisten systeemien edit

ergodisuuden matemaattinen määritelmä pyrkii kuvaamaan tavallisia arkisia käsityksiä satunnaisuudesta. Tähän sisältyy ajatuksia järjestelmistä, jotka liikkuvat siten, että (lopulta) täyttävät koko avaruuden, kuten diffuusio ja Brownin liike, sekä tervejärkisiä sekoittamisen käsitteitä, kuten maalien, juomien, ruoanvalmistusaineiden, teollisen prosessin sekoittaminen, savu savun täyttämässä huoneessa, pöly Saturnuksen renkaissa ja niin edelleen. Vakaan matemaattisen perustan aikaansaamiseksi ergodisten järjestelmien kuvaukset alkavat mittoja säilyttävän dynaamisen järjestelmän määrittelyllä. Tämä kirjoitetaan muodossa (X, A, μ, T). {\displaystyle (X, {\mathcal {A}},\mu, T).}

joukko X {\displaystyle X}

tarkoitetaan täytettävää kokonaistilaa: sekoituskulhoa, savun täyttämää huonetta jne. Mitta μ {\displaystyle \mu }

määritellään avaruuden x {\displaystyle X}

ja sen alatilojen luonnollinen tilavuus. Aliavaruuksien kokoelma merkitään A {\displaystyle {\mathcal {A}}}

, ja jonkin tietyn osajoukon A ⊂ X {\displaystyle A\osajoukko X}

koko on μ ( A ) {\displaystyle \mu (a)}

; koko on sen tilavuus. Naiivisti voisi kuvitella … }}}

on x {\displaystyle X}: n potenssijoukko

; tämä ei aivan toimi, sillä kaikilla avaruuden osajoukoilla ei ole tilavuutta (tunnetusti Banachin-Tarskin paradoksi). Täten, perinteisesti, A {\displaystyle {\mathcal {A}}}

koostuu mitattavista osajoukoista—osajoukoista, joilla on tilavuus. Sitä pidetään aina Borelin joukkona-sellaisten osajoukkojen kokoelmana, jotka voidaan konstruoida ottamalla risteymiä, liittoja ja joukon täydennyksiä; nämä voidaan aina ottaa mitattaviksi.

systeemin aikakehitystä kuvaa kartta T: X → X {\displaystyle T:X\to X}

. Kun otetaan huomioon jokin osajoukko A ⊂ X {\displaystyle A\osajoukko X}

, sen kartta T ( A ) {\displaystyle T(A)}

on yleensä epämuodostunut versio A {\displaystyle A}

– se litistetään tai venytetään, taitetaan tai leikataan paloiksi. Matemaattisia esimerkkejä ovat leipurikartta ja hevosenkenkäkartta, jotka molemmat ovat saaneet innoituksensa leivänteosta. Joukolla T(A) {\displaystyle T(A)}

on oltava sama tilavuus kuin A {\displaystyle A}

; litistyminen/venyminen ei muuta tilan tilavuutta, ainoastaan sen jakautumista. Tällainen järjestelmä on ”mitta-säilyttävä” (pinta-ala-säilyttävä, tilavuus-säilyttävä).

muodollinen vaikeus syntyy, kun yritetään sovittaa yhteen joukkojen tilavuus ja tarve säilyttää niiden koko kartan alla. Ongelma syntyy siitä, että yleensä funktion toimialueen useat eri pisteet voivat karttaa samaan pisteeseen sen alueella; toisin sanoen voi olla x ≠ y {\displaystyle x\neq y}

kanssa T ( x ) = T ( y ) {\displaystyle T(x)=T (y))}

. Mikä pahempaa, yksittäisellä pisteellä x ∈ X {\displaystyle x\in x}

ei ole kokoa. Nämä vaikeudet voidaan välttää käyttämällä käänteistä karttaa T – 1: A → A {\displaystyle T^{-1}: {\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}}

; se kartoittaa minkä tahansa tietyn osajoukon A ⊂ X {\displaystyle A\osajoukko X}

niille osille, jotka koottiin sitä varten: nämä osat ovat T-1 (A ) ∈ A {\displaystyle T^{-1}(A)\in {\mathcal {A}}}

. Sillä on se tärkeä ominaisuus, että se ei kadota sitä, mistä tavarat tulivat. Voimakkaammin sillä on se tärkeä ominaisuus, että mikä tahansa (mitta-säilyttävä) kartta A → A {\displaystyle {\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}}

on jonkin kartan X käänteisarvo → X {\displaystyle X\to X}

. Avaruutta säilyttävän kartan oikea määritelmä on sellainen, jolle μ (A) = μ ( T − 1 (A ) ) {\displaystyle \mu (a)=\mu (T^{-1} (a))}

koska T − 1 ( A ) {\displaystyle T^{-1} (a)}

kuvaa kaikki kappaleet-osat, joista {\displaystyle A}

on lähtöisin.

eräs on nyt kiinnostunut tutkimaan järjestelmän aikakehitystä. Jos joukko A ∈ A {\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}

tulee lopulta täyttämään koko x {\displaystyle X}

pitkän ajan kuluessa (eli jos T n ( A ) {\displaystyle T^{n} (A)}

lähestyy kaikkia x {\displaystyle X}

suurelle n {\displaystyle n}

), järjestelmän sanotaan olevan ergodinen. Jos jokainen joukko A {\displaystyle A}

käyttäytyy tällä tavalla, järjestelmä on konservatiivinen järjestelmä, joka on sijoitettu vastakohtana dissipatiiviselle järjestelmälle, jossa jotkut osajoukot A {\displaystyle A}

vaeltavat pois, eikä niihin koskaan palata. Esimerkkinä voisi olla alamäkeen valuva vesi. kun se on valunut alas, se ei tule enää koskaan ylös. Tämän joen pohjaan muodostuva järvi voi kuitenkin sekoittua hyvin. Ergodisen hajoamislauseen mukaan jokainen ergodinen systeemi voidaan jakaa kahteen osaan: konservatiiviseen osaan ja dissipatiiviseen osaan.

sekoittaminen on vahvempi lauseke kuin ergodisuus. Miksaus pyytää tätä ergodista ominaisuutta pitämään minkä tahansa kahden joukon A, B {\displaystyle A, B}

, eikä vain jonkin joukon A {\displaystyle A}

ja X {\displaystyle X}

välillä . Toisin sanoen, kun otetaan huomioon mikä tahansa kaksi joukkoa A , B ∈ A {\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}}

, systeemin sanotaan olevan (topologisesti) sekoittuva, jos on olemassa kokonaisluku N {\displaystyle N}

siten , että kaikille A,B {\displaystyle A,B}

ja N > n {\displaystyle N>n}

, yhdellä on, että T N ( A ) ∩ B ≠ ¿{\displaystyle T^{n}(a)\Cap B\neq \varnothing }

. Tässä ∩ {\displaystyle \cap }

merkitsee joukon leikkauspistettä ja\displaystyle \varnothing }

on tyhjä joukko. Muita sekoittamisen käsitteitä ovat vahva ja heikko sekoittuminen, jotka kuvaavat käsitystä, että sekoittuneet aineet sekoittuvat kaikkialla samassa suhteessa. Tämä voi olla ei-triviaalia, kuten käytännön kokemus tahmeiden, tahmaisten aineiden sekoittamisesta osoittaa.

Ergodic processesEdit

yllä oleva keskustelu vetoaa teoksen fysikaaliseen merkitykseen. Tilavuuden ei tarvitse kirjaimellisesti olla jokin osa 3D-avaruudesta; se voi olla jokin Abstrakti volyymi. Näin on yleensä tilastojärjestelmissä, joissa volyymi (mitta) ilmoitetaan todennäköisyydellä. Kokonaistilavuus vastaa todennäköisyyttä yksi. Tämä kirjeenvaihto toimii, koska todennäköisyyslaskennan aksioomat ovat identtisiä mittateorian aksioomien kanssa; nämä ovat Kolmogorovin aksioomat.

teoksen ajatus voi olla hyvin abstrakti. Ajatellaanpa esimerkiksi kaikkien mahdollisten kolikonlyöntien joukkoa: äärettömien Kruuna-ja klaavasarjojen joukkoa. Määrittämällä tilavuus 1 tähän tilaan, on selvää, että puolet kaikista tällaisista sekvensseistä alkaa Kruuna, ja puolet alkaa hännät. Tätä määrää voi pilkkoa muilla tavoin: voidaan sanoa ” en välitä ensimmäisestä n – 1 {\displaystyle n-1}

kolikonheittoja; mutta haluan n {\displaystyle n}

’th niistä olla pää, ja sitten en välitä mitä tulee sen jälkeen”. Tämä voidaan kirjoittaa joukoksi ( ∗ ,⋯,∗, h,∗,⋯) {\displaystyle ( * , \cdots,*, h,*,\cdots )}

where ∗ {\displaystyle *}

on ”ei kiinnosta” ja h {\displaystyle h}

on ”Kruuna”. Tilavuus tämä tila on jälleen (ilmeisesti!) puoli.

edellä mainittu riittää koko mittoja säilyttävän dynaamisen järjestelmän rakentamiseen. H {\displaystyle h: n joukot}

tai t {\displaystyle t}

esiintyy n {\displaystyle n}

’th paikka kutsutaan sylinterit. Lieriöjoukkojen kaikkien mahdollisten risteymien, liittojen ja täydennysten joukko muodostaa sitten Borelin joukon A {\displaystyle {\mathcal {A}}}

määritelty edellä. Formaalisti lieriöjoukot muodostavat perustan topologialle, joka koskee avaruutta X {\displaystyle X}

kaikkia mahdollisia äärettömiä kolikkolevyjä. Mitta μ {\displaystyle \mu }

sisältää kaikki toivotut terveen järjen ominaisuudet: sylinterijoukon mitta, jolla on h {\displaystyle h}

m {\displaystyle m}

’TH asema, ja t {\displaystyle t}

k {\displaystyle k}

’TH kanta on ilmeisesti 1/4, ja niin edelleen. Nämä maalaisjärjen ominaisuudet säilyvät joukko-komplementissa ja joukko-liitossa: kaikki paitsi h {\displaystyle h}

ja t {\displaystyle t}

paikoissa m {\displaystyle m}

ja k {\displaystyle k}

ilmeisesti on tilavuus 3/4. Nämä muodostavat yhdessä Sigma-additiivisen mitta-asteikon aksioomat; mittoja säilyttävissä dynaamisissa systeemeissä käytetään aina Sigma-additiivisia mitta-arvoja. Kolikoiden heitoissa tätä mittaa kutsutaan Bernoullin mitaksi.

kolikonheitossa ajan kehityksen operaattori T {\displaystyle T}

on vuorovastaava, joka sanoo ”heitä pois ensimmäinen kolikonheitto ja pidä loput”. Muodollisesti, jos ( x 1 , x 2 , ⋯ ) {\displaystyle (x_{1},x_{2},\cdots )}

on kolikonheittojen sarja, niin t ( x 1 , x 2 , ⋯ ) = ( x 2 , x 3 , ⋯ ) {\displaystyle T(x_{1},x_{2},\cdots )=(x_{2},x_{3},\cdots )}

. Mitta on ilmeisesti shift-invariantti: niin kauan kuin puhumme jostakin joukosta A ∈ A {\displaystyle A\in {\mathcal {A}}

jossa ensimmäinen kolikonheitto x 1 = ∗ {\displaystyle x_{1}=*}

on” don ’t care” – arvo, jolloin tilavuus μ ( A ) {\displaystyle \mu (a)}

ei muutu: μ ( A ) = μ ( T ( A ) ) {\displaystyle \mu (a)=\mu (T(A)))}

. Jotta ensimmäisestä kolikonheitosta ei puhuttaisi, on helpompi määritellä T – 1 {\displaystyle T^{-1}}

kun lisätään ” don ’t care” – arvo ensimmäiseen kohtaan: T − 1 ( x 1 , x 2,⋯) = ( ∗ , x 1, x 2,⋯) {\displaystyle T^{-1} (x_{1}, x_{2},\cdots) =(*, x_{1}, x_{2},\cdots )}

. Tämän määritelmän mukaan on selvää, että μ (T − 1 (A)) = μ (A) {\displaystyle \mu (T^{-1} (a))=\mu (A)}

ilman rajoituksia {\displaystyle A}

. Tämä on jälleen esimerkki siitä, miksi T − 1 {\displaystyle T^{-1}}

käytetään muodollisissa määritelmissä.

edellä mainittu kehitys vaatii satunnaisprosessin, Bernoullin prosessin, ja muuntaa sen mittoja säilyttäväksi dynamiikkajärjestelmäksi (X, A , μ, T ) . {\displaystyle (X, {\mathcal {A}},\mu, T).}

samaa konversiota (ekvivalenssi, isomorfismi) voidaan soveltaa mihin tahansa stokastiseen prosessiin. Näin ollen ergodisuuden epävirallinen määritelmä on, että jono on ergodinen, jos se käy koko x {\displaystyle X}

; tällaiset sekvenssit ovat prosessille ”tyypillisiä”. Toinen on se, että sen tilastolliset ominaisuudet voidaan päätellä yhdestä riittävän pitkästä prosessin satunnaisotoksesta (jolloin otetaan tasaisesti kaikki x {\displaystyle X}

), tai että minkä tahansa prosessin satunnaisnäytteiden kokoelman tulee edustaa koko prosessin keskimääräisiä tilastollisia ominaisuuksia (eli näytteet, jotka piirretään tasaisesti x {\displaystyle X}

edustavat x {\displaystyle X}

kokonaisuutena.) Tässä esimerkissä kolikoiden heitot, joissa puolet on kruunaa ja puolet klaavaa, ovat ”tyypillinen” jakso.

Bernoullin prosessista on useita tärkeitä kohtia. Jos yksi kirjoittaa 0 for tails ja 1 for heads, yksi saa asettaa kaikki ääretön Jouset binary numeroa. Nämä vastaavat reaalilukujen kantalaajennusta kaksi. Eksplisiittisesti annettuna jono (x 1, x 2,⋯) {\displaystyle (x_{1}, x_{2},\cdots )}

, vastaava reaaliluku on y = ∑ n = 1 ∞ x n 2 n {\displaystyle y=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x_{n}}{2^{n}}}}

väite, että Bernoullin prosessi on ergodinen, vastaa väitettä, että reaaliluvut ovat tasaisesti jakautuneet. Kaikkien tällaisten merkkijonojen joukko voidaan kirjoittaa monin eri tavoin: {h , t} ∞ = {h , t } ω = {0 , 1 } ω = 2 ω = 2 N . {\displaystyle \{h, t\}^{\infty } = \{h, t\}^{\omega }=\{0,1\}^{\omega } = 2^{\omega } = 2^{\mathbb {N} }.}

tämä joukko on Cantorin joukko, jota joskus kutsutaan Cantorin avaruudeksi, jotta vältetään sekaannus Cantorin funktion C (x ) = ∑ n = 1 ∞ x N 3 n {\displaystyle C (x)=\sum _{N=1}^{\infty }{\frac {x_{n}}{3^{n}}}}

loppujen lopuksi nämä kaikki ovat ”sama asia”.

Kanttorijoukolla on keskeinen rooli monissa matematiikan haaroissa. Harrastusmatematiikassa se tukee jaksojen kaksinkertaistumista merkitseviä fraktaaleja; analyysissä se esiintyy monenlaisissa teoreemoissa. Keskeinen yksi stokastisten prosessien on Wold hajoaminen, jossa todetaan, että mikä tahansa paikallaan prosessi voidaan hajottaa osaksi pari uncorrelated prosesseja, yksi deterministinen, ja toinen on liukuva keskiarvo prosessi.

Ornsteinin isomorfismilauseen mukaan jokainen stokastinen stokastinen prosessi vastaa Bernoullin kaavaa (Bernoullin prosessi, jossa on n-puolinen (ja mahdollisesti epäreilu) pelimuoto). Muita tuloksia ovat, että jokainen ei-dissipatiivinen ergodinen järjestelmä vastaa Markovin matkamittaria, jota joskus kutsutaan ”yhteenlaskukoneeksi”, koska se näyttää peruskoulun lisäksi, eli ottamalla perus-N-numerosarjan, lisäämällä yhden ja lisäämällä kantabittejä. Vastaavuuden todistaminen on hyvin abstraktia; tuloksen ymmärtäminen ei ole: lisäämällä yksi joka kerta vaiheessa, jokainen mahdollinen tila matkamittarin käydään, kunnes se rullaa, ja alkaa uudelleen. Samoin ergodiset järjestelmät käyvät jokaisessa valtiossa, tasaisesti, siirtyen seuraavaan, kunnes ne kaikki on käyty.

järjestelmiä, jotka synnyttävät (äärettömiä) n-kirjainten sekvenssejä, tutkitaan symbolisen dynamiikan avulla. Tärkeitä erikoistapauksia ovat äärellisen tyypin alishiftit ja sofic-järjestelmät.

Ergodisuus fysikaalisessameditissä

Fysikaaliset systeemit voidaan jakaa kolmeen kategoriaan: klassinen mekaniikka, joka kuvaa koneita, joilla on rajallinen määrä liikkuvia osia, kvanttimekaniikka, joka kuvaa atomien rakennetta, ja tilastollinen mekaniikka, joka kuvaa kaasuja, nesteitä, kiinteitä aineita; tämä sisältää tiivistyneen aineen fysiikan. Klassisen mekaniikan tapausta käsitellään seuraavassa jaksossa, ergodicity-geometriassa. Mitä tulee kvanttimekaniikkaan, vaikka on olemassa käsitys kvanttikaaoksesta, ergodocitylle ei ole selvää määritelmää; siitä, mitä tämä voisi olla, kiistellään kiivaasti. Tässä osassa tarkastellaan ergodisiteetti tilastollinen mekaniikka.

edellä olevaa tilavuuden abstraktia määritelmää vaaditaan soveltuvaksi asetukseksi ergodisuuden määritelmille fysiikassa. Ajatellaanpa säiliötä, jossa on nestettä tai kaasua tai plasmaa tai muuta atomien tai hiukkasten kokoelmaa. Jokainen hiukkanen x i {\displaystyle x_{i}}

on 3D-asema ja 3D-nopeus, ja sitä kuvataan siten kuudella numerolla: pisteellä kuusiulotteisessa avaruudessa R 6 . {\displaystyle \mathbb {R} ^{6}.}

jos järjestelmässä on n {\displaystyle N}

näitä hiukkasia, täydellinen kuvaus edellyttää 6 n {\displaystyle 6N}

lukuja. Mikä tahansa järjestelmä on vain yksi piste R 6 N: ssä . {\displaystyle \mathbb {R} ^{6N}.}

fysikaalinen systeemi ei ole kaikki R 6 n {\displaystyle \mathbb {R} ^{6N}}

, tietenkin; jos se on laatikko, jonka leveys, korkeus ja pituus W × H × L {\displaystyle w\times H\times l}

, niin piste on ( W × H × L × R 3 ) N . {\displaystyle (W\times H\times L\times \mathbb {R} ^{3})^{N}.}

eivätkä nopeudet voi olla äärettömiä: niitä skaalataan jollakin todennäköisyysmittarilla, esimerkiksi Boltzmannin–Gibbsin mitta kaasulle. Kuitenkin, Jos N {\displaystyle N}

on lähellä Avogadron lukua, kyseessä on ilmeisesti hyvin suuri avaruus. Tätä tilaa kutsutaan kanoniseksi kokonaisuudeksi.

fysikaalisen systeemin sanotaan olevan ergodinen, jos jokin systeemin edustava piste tulee lopulta käymään koko systeemin tilavuudella. Edellä mainitussa esimerkissä tämä tarkoittaa, että mikä tahansa atomi ei vain käy laatikon jokaisessa osassa W × H × L {\displaystyle w\times H\times L}

yhtenäisellä todennäköisyydellä, mutta se tekee niin kaikilla mahdollisilla nopeuksilla, Boltzmannin jakauman kyseiselle nopeudelle antamilla todennäköisyyksillä (niin, yhtenäinen suhteessa kyseiseen mittaan). Ergodisen hypoteesin mukaan fysikaaliset systeemit ovat todellisuudessa ergodisia. Käytössä on useita aikaskaaloja: kaasut ja nesteet näyttävät olevan ergodisia lyhyillä aikaskaaloilla. Kiinteän aineen ergodisuutta voidaan tarkastella vibraatiotilojen eli fononien avulla, sillä kiinteän aineen atomit eivät selvästikään vaihda paikkaa. Lasit ovat haaste ergodiselle hypoteesille; aikaskaalojen oletetaan olevan miljoonissa vuosissa, mutta tulokset ovat kiistanalaisia. Spinning-lasit aiheuttavat erityisiä vaikeuksia.

tilastollisen fysiikan muodollisia matemaattisia todistuksia ergodisuudesta on vaikea saada; useimpien korkeaulotteisten monirunkojärjestelmien oletetaan olevan ergodisia, ilman matemaattista todistusta. Poikkeuksia ovat dynamical Biljardi, joka mallintaa biljardipallotyyppisiä atomien törmäyksiä ideaalikaasussa tai plasmassa. Ensimmäinen kovan pallon ergodisuuslause oli Siinain biljardille,jonka mukaan kaksi palloa, joista toisen katsotaan olevan paikallaan, ovat peräisin. Kun toinen pallo törmää, se liikkuu pois; soveltamalla määräaikaisia reunaehtoja, se palaa törmätä uudelleen. Vedoten homogeenisuuteen, tämän ”toisen” pallon paluun voidaan sen sijaan ajatella olevan ”vain jokin muu atomi”, joka on tullut kantamalle ja on siirtymässä törmäämään alkulähteellä olevaan atomiin (jonka voidaan ottaa olevan vain ”mikä tahansa muu atomi”.) Tämä on yksi harvoista olemassa olevista muodollisista todisteista; ei ole olemassa vastaavia lausekkeita esimerkiksi nesteessä oleville atomeille, jotka vuorovaikuttavat van der Waalsin voimien kautta, vaikka olisi tervettä järkeä uskoa, että tällaiset systeemit ovat ergodisia (ja sekoittavia). Tarkempia fyysisiä argumentteja voidaan kuitenkin esittää.

ergodisuus geometriaeditissä

Ergodisuus on laajalle levinnyt ilmiö Riemannin monistojen tutkimuksessa. Nopea sarja esimerkkejä yksinkertaisista monimutkaisiin valaisee tätä seikkaa. Kaikki järjestelmät jäljempänä mainitut on osoittautunut ergodic kautta tiukkaa muodollista vedoksia. Ympyrän irrationaalinen kierto on ergodinen: pisteen kiertorata on sellainen, että lopulta joka toinen ympyrän piste käy. Tällaiset rotaatiot ovat intervallivaihtokartan erikoistapaus. Luvun beetalaajennukset ovat ergodisia: reaaliluvun beetalaajennuksia ei tehdä emäs-n: ssä, vaan emäs – β {\displaystyle \beta }

joillekin β . – en tiedä .}

beetalaajennuksen heijastettu versio on telttakartta; yksikkövälistä on olemassa useita muitakin ergodisia karttoja. Siirryttäessä kahteen ulottuvuuteen aritmeettiset biljardit irrationaalisilla kulmilla ovat ergodisia. Voidaan myös ottaa tasainen suorakulmio, murskata se, leikata se ja koota se uudelleen; tämä on aiemmin mainittu baker ’ s kartta. Sen pisteitä voidaan kuvata joukko bi-ääretön Jouset kaksi kirjainta, joka on, ulottuu sekä vasemmalle ja oikealle; sellaisenaan, se näyttää kaksi kappaletta, Bernoullin prosessi. Jos joku muuttuu sivuttain liiskauksen aikana, hän saa Arnoldin kissakartan. Useimmilla tavoilla kissakartta on prototyyppinen kaikista muista vastaavista muunnoksista.

ei-tasaisilla pinnoilla voidaan todeta, että minkä tahansa negatiivisesti kaarevan kompaktin Riemannin pinnan geodeettinen virtaus on ergodinen. Pinta on ”kompakti” siinä mielessä, että sillä on äärellinen pinta-ala. Geodeettinen virtaus on yleistys ajatukselle liikkua ”suorassa linjassa” kaarevalla pinnalla: tällaiset suorat ovat geodeettisia. Yksi varhaisimmista tutkituista tapauksista on Hadamardin Biljardi, joka kuvaa geodesiikkaa Bolzan pinnalla, topologisesti vastaa donitsia, jossa on kaksi reikää. Ergodisuus voidaan osoittaa vapaamuotoisesti, jos on sharpie ja jokin järkevä esimerkki kaksipiippuisesta donitsista: mistä tahansa alkaen, mihin suuntaan tahansa, yritetään piirtää suoraa; viivaimet ovat tässä hyödyllisiä. Ei kestä kauaa huomata, ettei ole palaamassa lähtöpisteeseen. (Tietenkin vino piirustus voi myös selittää tämän; siksi meillä on todisteita.)

nämä tulokset ulottuvat korkeampiin mittoihin. Negatiivisesti kaartuvien kompaktien Riemannin manifoldien geodeettinen virtaus on ergodinen. Klassinen esimerkki tästä on Anosovin virtaus, joka on horocycle-virtaus hyperbolisella monistolla. Tämä voidaan nähdä eräänlaisena Hopff fibration. Tällaisia virtauksia esiintyy yleisesti klassisessa mekaniikassa, joka on äärellisulotteisten liikkuvien koneiden fysiikan tutkimus, esim. kaksoisheiluri ja niin edelleen. Klassinen mekaniikka on rakennettu symplectic manifolds. Virtaukset tällaisissa järjestelmissä voidaan dekonstruoida vakaiksi ja epävakaiksi manifoldeiksi; pääsääntöisesti, kun tämä on mahdollista, tuloksena on kaoottinen liike. Tämä on yleinen voidaan nähdä toteamalla, että cotangent nippu Riemannin monisto on (aina) symplectic monisto; geodeettinen virtaus on antanut ratkaisun Hamilton–Jacobi yhtälöt tämän monisto. Kanonisten koordinaattien (q , p) avulla {\displaystyle (q, p)}

Kotangentin monistossa Hamiltonin eli energian saadaan H = 1 2 ∑ i j g i j (q) p i p j {\displaystyle H={\tfrac {1}{2}}\sum _{ij}g^{ij} (q) p_{i}p_{j}}

g i j {\displaystyle G^{ij}}

(Käänteinen) metrinen tensori ja p i {\displaystyle p_{i}}

liikemäärä. Samankaltaisuus liike-energian kanssa E = 1 2 m v 2 {\displaystyle e={\tfrac {1}{2}}mv^{2}}

pisteen hiukkanen on tuskin vahingossa; tämä on koko pointti kutsua tällaisia asioita ”energia”. Tässä mielessä kaoottinen käyttäytyminen ergodisilla orbitaaleilla on enemmän tai vähemmän yleinen ilmiö suurissa geometriassa.

ergodisuustuloksia on saatu translaatiopinnoista, hyperbolisista ryhmistä ja systolisesta geometriasta. Tekniikoita ovat ergodisten virtausten tutkiminen, Hopfin hajoaminen ja Ambrosiuksen–Kakutanin–Krengelin–Kubon lause. Tärkeä järjestelmäluokka ovat aksiooma a-järjestelmät.

on saatu useita sekä luokitustuloksia että ”anti-classification” – tuloksia. Ornsteinin isomorfismilause pätee tässäkin; sen mukaan useimmat näistä systeemeistä ovat isomorfisia jonkin Bernoullin järjestelmän kanssa. Tämä melko siististi sitoo nämä järjestelmät takaisin määritelmä ergodicity annetaan stokastinen prosessi, edellisessä osassa. Luokittelun vastaisten tulosten mukaan epätasa-arvoisia ergodisia mittoja on yli lukematon määrä, mikä säilyttää dynaamiset systeemit. Tämä ei ehkä ole täysin yllätys, koska voidaan käyttää pisteitä Cantor joukko rakentaa samanlaisia-mutta-erilaisia järjestelmiä. Katso measure-preserving dynamical system lyhyt selvitys joistakin luokittelun vastaisista tuloksista.

Historiallinen kehitysedit

ergodisuusidea syntyi termodynamiikan alalla, jossa oli tarpeen suhteuttaa kaasumolekyylien yksittäiset olomuodot kaasun lämpötilaan kokonaisuutena ja sen aikakehitykseen. Tätä varten oli tarpeen todeta, mitä se tarkalleen tarkoittaa, että kaasut sekoittuvat hyvin yhteen, jotta termodynaaminen tasapaino voitaisiin määritellä matemaattisella täsmällisyydellä. Kun teoria oli hyvin kehittynyt fysiikassa, se virallistettiin ja laajennettiin nopeasti niin, että ergodinen teoria on jo pitkään ollut itsenäinen matematiikan osa-alue sinänsä. Osana tätä kehitystä on olemassa useampi kuin yksi hieman erilainen ergodisuuden määritelmä ja lukuisia käsitteen tulkintoja eri aloilla.

esimerkiksi klassisessa fysiikassa termi viittaa siihen, että systeemi täyttää termodynamiikan ergodisen hypoteesin, sillä oleellinen tila-avaruus on asema-ja liikemomenttiavaruus. Dynaamisessa systeemiteoriassa tila-avaruutta pidetään yleensä yleisempänä faasiavaruutena. Toisaalta koodausteoriassa tila-avaruus on usein diskreetti sekä ajassa että tilassa, jossa on vähemmän samanaikaista rakennetta. Kaikilla näillä aloilla ajatukset time average ja ensemble average voivat myös kuljettaa ylimääräistä painolastia—kuten monissa mahdollisissa termodynaamisesti merkityksellisissä osiofunktioissa, joita käytetään ensemble keskiarvojen määrittelyyn fysiikassa, takaisin. Sellaisenaan käsitteen mittateoreettinen formalisointi toimii myös yhdistävänä tieteenalana.

etymologieedit

termin ergodinen ajatellaan yleisesti juontuvan kreikan sanoista ἔργον (ergon: ”työ”) ja ὁδός (hodos: ”polku”, ”tie”), jotka Ludwig Boltzmann valitsi tutkiessaan erästä ongelmaa tilastollisessa mekaniikassa. Samalla sen väitetään olevan myös ergomonodin johdannainen, jonka Boltzmann laati suhteellisen hämärässä paperissa vuodelta 1884. Etymologia näyttää olevan kiistanalainen myös muilla tavoin.