5.1 Introduction
Fluid mechanics in general and boundary layers in particular are mathematically complex. Tällainen monimutkaisuus ajoittain ei vain edistää tutkimuksen ja ymmärtämisen nesteiden, mutta myös ennakot sovelletun matematiikan kurinalaisuutta. Matematiikka mahdollistaa edelleen paljon kaivattujen johtopäätösten tekemisen useilta tieteenaloilta. Tätä varten lukuisat matemaatikot tekevät edelleen merkittäviä osuuksia fluididynamiikan alalla.
rajakerroksen ongelmiin liittyy fyysisen muuttujan arvon nopea muutos rajatulla avaruuden alueella, ja ne muodostavat tietyn luokan yksittäisiä häiriöongelmia. Tässä suhteessa lähes kaikkiin rajakerroksen ongelmiin liittyy differentiaaliyhtälöitä, joissa korkein derivaattatermi kerrotaan pienellä parametrilla. Myös rajakerros pidetään aina semiininfiniittisenä, suurin syy on vapaus ottaa huomioon rajan vaikutukset, joissa kaikki imponderables ja kuviteltavissa voidaan odottaa. Ottaen huomioon ääretön pinta voi olla niin vaikeaa, että häiritä tärkein etu tiedustelun ensimmäisessä tapauksessa. Se sanoi, ei ole mitään, joka estää nuorempaa tutkijapolvea kohtaamasta tätä ongelmaa, kun otetaan huomioon heidän etunsa altistua suhteellisen suuremmalle tiedolle kuin edeltävät sukupolvet.
Hydro-tai fluididynamiikkaa säätelevät epälineaariset osittaisdifferentiaaliyhtälöt (PDEs), joita on hyvin vaikea ratkaista analyyttisesti. Parhaan tietomme mukaan näille yhtälöille ei ole olemassa mitään yleistä suljettua ratkaisua. Rajakerroksen yhtälöt perustuvat ensisijaisesti toisen kertaluvun epälineaaristen osittaisdifferentiaaliyhtälöiden (PDEs) järjestelmän yksinkertaistamiseen, joita kutsutaan viskoosivirtojen Navierin-Stokesin (NS) liikeyhtälöiksi. Prandtl: n vuonna 1908 tarjoamaa yksinkertaistusta kutsutaan yleisesti nimellä Prandtl Boundary Layer (PBL) – yhtälöt. Toisin kuin ns-yhtälöt, jotka ovat elliptisiä, rajakerroksen yhtälöt ovat luonteeltaan parabolisia, ja niiden ratkaisemiseen käytetyt tekniikat perustuvat rajakerroksen virtausten samankaltaisuuden lakeihin.
rajakerroksen ongelmien ratkaisemiseen voidaan käyttää kolmea ensisijaista menetelmää: samankaltaisuus-tai differentiaalimenetelmä (yleisin lähestymistapa), integraalimenetelmä ja täysi numeerinen ratkaisumenetelmä . Monet epälineaaristen PDE: iden erikoistapaukset ovat johtaneet muuttujien asianmukaisiin muutoksiin tai venyviin muunnoksiin riippuen siitä, mihin tehtävään ne on tarkoitettu. Jotkut muunnokset linearize järjestelmän yhtälöt tarkasteltavana, kun taas toiset muuttaa järjestelmän yksi, jolle ratkaisu on olemassa. Muunnoksia, jotka vähentävät PDEs-järjestelmän tavallisten differentiaaliyhtälöiden järjestelmäksi (ODEs) käyttämällä hyväksi ongelman luontaista symmetriaa, pidetään usein ”samankaltaisuuden muunnoksina.”Samankaltaisuusmenetelmä on alkuperäinen Blasius-menetelmä, joka kehitettiin ratkaisemaan rajakerroksen ongelmia analyyttisesti. Blasius esitteli ja työllisti riippumaton muuttuja nimeltään samankaltaisuus muuttuja Prandtl n rajakerroksen yhtälöt . Tämä perustui oletukseen, että nopeus on geometrisesti samanlainen virtaussuunnassa, jossa säilyvyys PDE: t muunnetaan Odeiksi. Samankaltaisuus muunnos kaappaa rajakerroksen kasvua ja yksinkertaistaa merkittävästi analyysi ja ratkaisu hallitsevat yhtälöt. Transformaatioon sopivan samankaltaisuuden muuttujan löytäminen on pikemminkin taidetta kuin tiedettä, ja se vaatii hyviä oivalluksia ongelmasta. PDEs: n riippumattomien muuttujien lukumäärät muunnetaan huolellisesti yhdeksi itsenäiseksi muuttujaksi (tunnetaan samankaltaisuusmuuttujana). Myös alkuperäiset reunaehdot muuntuvat uudessa yhdistetyssä muuttujassa yhtä lailla sopiviksi reunaehdoiksi.
samankaltaisuuden muunnostekniikka on välttämätön väline nesteen mekaanisen käyttäytymisen analysoinnissa yleensä ja erityisesti rajakerroksen prosesseissa. Asymptoottisten tekniikoiden avulla voimme tehdä yksinkertaisesta monimutkaisesta järjestelmästä, joka sitten tarjoaa valistuneen empirismin muodon, jota kutsumme samankaltaisuudeksi. Samankaltaisten muuttujien löytämiseksi on kehitetty useita menetelmiä ja lähestymistapoja, esimerkiksi Vaschyn–Buckinghamin piin lause . Tarkin ja systemaattisin lähestymistapa samankaltaisuuden muuttujien löytämiseen perustuu muunnosten Lien ryhmään . Lien ryhmän lähestymistavan lähtökohta on, että jokainen muuttuja alkuperäisessä yhtälössä alistetaan infinitesimaaliseen transformaatioon. Vaatimus siitä, että yhtälö on invariantti näissä muunnoksissa, johtaa potentiaalin tai mahdollisten symmetrioiden määrittämiseen. Tätä lähestymistapaa on rutiininomaisesti sovellettu rajakerroksen yhtälöt. Apropos rajakerroksen teoria, kirjoittajat edellyttäen kattava huomioon klassisen menetelmiä, mukaan lukien useita mahdollisia tuloksia riippuen näkökulmasta ongelma on ratkaistava. The Clarkson-Krustal suora menetelmä, jota käytetään löytämään samankaltaisuus vähennyksiä, oli käytössä, epävakaa rajakerroksen yhtälöt. On tärkeää huomata, että havaittu samankaltaisuusmuuttuja ei ole ainutlaatuinen tai ominaispiirre vain yhdelle ongelmalle, vaan sitä voidaan tarvittaessa soveltaa muihin vastaaviin ongelmiin. Lisäksi Hansen käsitteli samankaltaisuuden muunnosten löytämiseen käytettyä” venymismuuttujan ” menetelmää. Kaiken kaikkiaan samankaltaisuusongelmat vähentävät alkuperäiset PBL-yhtälöt muotoon, joka on invariantti affiinimuunnosten suhteen. Paikallinen virtauskenttä ratkaistaan sitten rajakerrosta säätelevien PDE: iden analyyttisten/numeeristen ratkaisujen avulla. Tyypillisesti rajakerroksen virtausten nopeusprofiilit tuottavat joukon homoteettisia käyriä ja tontteja. Miksi ne ovat tyypillisesti homoteettisia? Esimerkiksi nopeuden profiilin suhteen normalisoimme uU∞: llä ja tämä pyrkii tai lähestyy yhtenäisyyttä. Vastaavasti lämpötilaprofiilin suhteen normalisoidumme freestream-lämpötilalla eli T-T∞: llä, ja tämä pyrkii nollaan tai lähestyy sitä. Integraalimenetelmät tuottavat toisessa suhteessa suljettuja liuoksia olettamalla nopeuden, lämpötilan ja konsentraatiomassan siirron Profiilin. Siihen liittyy yhtälöiden integrointi seinästä vapaaseen virtaukseen, jolloin saadaan kokonaissuoritus, joka sisältää rajakerroksen kasvun. Lopuksi, täydellinen numeerinen menetelmä käyttää hyvin todistettuja numeerisia järjestelmiä ja käytännön simulointikoodeja nopeiden tietokoneiden ratkaista useita rajakerroksen ongelmia.
on huomattava, että joissakin kirjallisuustutkimuksissa niiden tulokset esitetään täsmällisinä ratkaisuina. Varovaisuus tässä suhteessa on tärkeää. Yleensä kun puhutaan perusyhtälöiden ”täsmällisistä ratkaisuista”, kuten NS-yhtälöistä, ja tämä voisi olla täydellinen NS-yhtälö tai mikä tahansa niiden approksimoitu muoto, niin kauan kuin millä tahansa tekniikalla saadut ratkaisut ovat todellakin yhtä tarkkoja kuin ne tulevat, eli parempaa ratkaisua ei ole löytynyt. Eksaktisuudella tarkoitetaan itse yhtälön ratkaisua. Jos kyseinen yhtälö on ollut likiarvo vankemmasta yhtälöstä, väitteen ratkaisun eksaktisuudesta tulisi olla vain likimääräiselle ratkaisulle.