Tässä muutamia geometrian linjojen ja kulmien perusmääritelmiä ja ominaisuuksia. Näitä käsitteitä testataan monissa kilpailullisissa pääsykokeissa, kuten GMAT, GRE, CAT.
Viivasegmentti: viivasegmentillä on kaksi päätepistettä, joiden pituus on selvä.
Ray: säteellä on yksi päätepiste ja se ulottuu äärettömästi yhteen suuntaan.
suora viiva: Suoralla ei ole alku-eikä päätepistettä, ja se on äärettömän pitkä.
akuutti kulma: 0°: n ja 90°: n välinen kulma on akuutti kulma, ∠A alla olevassa kuvassa.
Tylppäkulma: 90°: n ja 180°: n välinen kulma on tylppäkulma, ∠B kuten alla on esitetty.
oikea kulma: 90°: n kulma on oikea kulma, ∠C kuten alla on esitetty.
suora kulma: Kulma, joka on 180°, on suora kulma, ∠AOB alla olevassa kuvassa.
täydentäviä kulmia:
yllä olevassa kuvassa ∠AOC + ∠COB = ∠AOB = 180°
jos kahden kulman summa on 180°, kulmia kutsutaan täydentäviksi kulmiksi.
kaksi suoraa kulmaa täydentävät aina toisiaan.
sitä vierekkäisten kulmien paria, jonka summa on suora kulma, kutsutaan lineaariseksi pariksi.
komplementaariset kulmat:
∠COA + ∠AOB = 90°
jos kahden kulman summa on 90°, niin näitä kahta kulmaa kutsutaan komplementaarisiksi kulmiksi.
vierekkäiset kulmat:
kulmia, joilla on yhteinen varsi ja yhteinen kärkipiste, kutsutaan vierekkäisiksi kulmiksi.
yllä olevassa kuvassa ∠BOA ja ∠AOC ovat vierekkäisiä kulmia. Niiden yhteinen varsi on OA ja yhteinen huippupiste on ”O”.
pystysuunnassa vastakkaiset kulmat:
kun kaksi suoraa leikkaavat toisensa, vastakkaisiksi muodostuneita kulmia leikkauspisteessä (huippupiste) kutsutaan vertikaalisesti vastakkaisiksi kulmiksi.
yllä olevassa kuvassa
x ja y ovat kaksi leikkaavaa suoraa.
∠A ja ∠C muodostavat yhden pystysuunnassa vastakkaisten kulmien parin ja
∠B ja ∠D muodostavat toisen pystysuunnassa vastakkaisten kulmien parin.
kohtisuorat suorat: kun kahden suoran välillä on suora kulma, sanotaan janojen olevan kohtisuorassa toisiinsa nähden.
tässä janojen OA ja OB sanotaan olevan kohtisuorassa toisiinsa nähden.
yhdensuuntaiset viivat:
tässä A ja B ovat kaksi yhdensuuntaista suoraa, joita leikkaa suora p.
suoraa p kutsutaan poikittaiseksi, joka leikkaa kaksi tai useampia suoria (ei välttämättä yhdensuuntaisia) erillisissä pisteissä.
kuten yllä olevasta kuvasta näkyy, kun poikittainen leikkaa kaksi suoraa, muodostuu 8 kulmaa.
tarkastelkaamme yksityiskohtia taulukkomuodossa helppojen viitteiden saamiseksi.
| Types of Angles | Angles |
| Interior Angles | ∠3, ∠4, ∠5, ∠6 |
| Exterior Angles | ∠1, ∠2, ∠7, ∠8 |
| Vertically opposite Angles | (∠1, ∠3), (∠2, ∠4), (∠5, ∠7), (∠6, ∠8) |
| Corresponding Angles | (∠1, ∠5), (∠2, ∠6), (∠3, ∠7), (∠4, ∠8) |
| Interior Alternate Angles | (∠3, ∠5), (∠4, ∠6) |
| Exterior Alternate Kulmat | (∠1, ∠7), (∠2, ∠8) |
| Sisätilojen kulmat samalla puolella poikittain | (∠3, ∠6), (∠4, ∠5) |
kun poikittainen leikkaa kaksi yhdensuuntaista suoraa,
- vastaavat kulmat ovat yhtä suuret.
- pystysuunnassa vastakkaiset kulmat ovat yhtä suuret.
- vaihtoehtoiset sisäkulmat ovat yhtä suuret.
- vaihtoehtoiset ulkokulmat ovat yhtä suuret.
- poikittaisen samalla puolella oleva sisäkulmapari on täydentävä.
voidaan sanoa, että suorat ovat yhdensuuntaisia, jos voimme varmistaa ainakin yhden edellä mainituista ehdoista.
tarkastelkaamme joitakin esimerkkejä.
Ratkaistut esimerkit
Esimerkki 1. Jos janat m ja n ovat yhdensuuntaisia keskenään, määritetään kulmat ∠5 ja ∠7.
ratkaisu:
yhden parin määrittämisen avulla voidaan löytää kaikki muut kulmat. Seuraava on yksi monista tavoista ratkaista tämä kysymys.
∠2 = 125°
∠2 = ∠4 koska ne ovat pystysuoraan vastakkaisista kulmista.
siksi, ∠4 = 125°
∠4 on yksi sisätilojen kulmat samalla puolella poikittaissuunnassa.
siksi, ∠4 + ∠5 = 180°
125 + ∠5 = 180 → ∠5 = 180 – 125 = 55°
∠5 = ∠7 koska pystysuoraan vastakkaisista kulmista.
siksi, ∠5 = ∠7 = 55°
Huomautus: joskus suorien rinnakkaisuutta ei välttämättä mainita ongelmalausekkeessa ja suorat saattavat näyttää yhdensuuntaisilta keskenään, mutta ne eivät välttämättä ole. On tärkeää määrittää, ovatko kaksi viivaa yhdensuuntaisia tarkastamalla kulmat eikä ulkonäkö.
Esimerkki 2. Jos ∠A = 120° ja ∠H = 60°. Päätä, jos linjat ovat yhdensuuntaisia.
ratkaisu:
annettu ∠A = 120° ja ∠H = 60°.
koska vierekkäiset kulmat ovat täydentäviä, ∠A + ∠B = 180°
120 + ∠B = 180 → ∠b = 60°.
on annettu, että ∠h = 60°. Voimme nähdä, että ∠B ja ∠H ovat ulkopuolisia vaihtoehtoisia kulmia.
kun ulkopuoliset vaihtoehtoiset kulmat ovat yhtä suuret, ovat janat yhdensuuntaiset.
näin ollen janat p ja q ovat yhdensuuntaiset.
voimme todentaa tämän muilla kulmilla.
jos ∠h = 60°, ∠E = 120°, koska nämä kaksi ovat suoralla, ne ovat täydentäviä.
Nyt, ∠A = ∠E = 120°. ∠A ja ∠E ovat vastaavia kulmia.
kun vastaavat kulmat ovat yhtä suuret, janat ovat yhdensuuntaisia.
samoin voimme todistaa käyttämällä muitakin kulmia.
esimerkki 3. Jos p ja q ovat kaksi toistensa suuntaista Janaa ja ∠E = 50°, Etsi kaikki kulmat alla olevasta kuvasta.
ratkaisu:
sille annetaan ∠e = 50°.
kaksi suoraa ovat yhdensuuntaisia
→ vastaavat kulmat ovat yhtä suuret.
koska ∠E ja ∠A ovat vastaavia kulmia, ∠A = 50° .
→ pystysuunnassa vastakkaiset kulmat ovat yhtä suuret.
koska ∠A ja ∠C ovat pystysuunnassa vastakkaisia keskenään, ∠C = 50°.
koska ∠E ja ∠G ovat pystysuunnassa vastakkain, ∠G = 50°.
→ sisäkulmat poikittaisen samalla puolella ovat täydentäviä.
∠E + ∠D = 180 ° → 50 + ∠d = 180 ° → ∠D = 130°
→ ∠D ja ∠B ovat pystysuunnassa vastakkaiset kulmat. ∠B = 130°.