käytettäessä matemaattisia symboleja Riemannin zeta-funktion kuvaamiseen se esitetään äärettömänä sarjana:
ζ ( S ) = ∑ N = 1 ∞ 1 n s , R e (s ) > 1. {\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}},\quad \mathrm {Re} (s)>1.}
missä R e (S) {\displaystyle \mathrm {Re} (s)}
on kompleksiluvun s reaaliosa {\displaystyle S}
. Esimerkiksi Jos s = a + i b {\displaystyle S=A+ib}
, niin R e ( S ) = A {\displaystyle \mathrm {Re} (s)=a}
(missä I 2 = − 1 {\displaystyle I^{2}=-1}
).
tämä muodostaa järjestysnumeron. Tämän sarjan ensimmäiset termit ovat:
1 1 s + 1 2 s + 1 3 s … {\displaystyle {\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}\ldots }
ja niin edelleen
tämä ei kuitenkaan päde lukuihin, joissa r e ( s ) < 1 {\displaystyle \mathrm {Re} (s)<1}
, koska jos tulkitsemme tämän funktion äärettömäksi summaksi, summa ei konvergoidu. Sen sijaan se poikkeaa toisistaan. Tämä tarkoittaa sitä, että tietyn arvon lähestymisen sijaan se saa äärettömän suuren arvon. Riemann käytti analyyttistä jatkumoa, jotta hän voisi antaa arvon kaikille luvuille paitsi 1. ζ (1) {\displaystyle \zeta (1)}
edustaa harmonista sarjaa, joka poikkeaa toisistaan, eli summa ei ole lähelläkään mitään tiettyä lukua.
Leonhard Euler löysi ensimmäiset tulokset sarjasta, jota tämä funktio edustaa 1700-luvulla. Hän osoitti, että Zeta-funktio voidaan kirjoittaa ääretön tuote alkuluvut. Matemaattisessa notaatiossa:
ζ ( S ) = ∏ P | alkuluku 1 1 − p − s {\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p|{\text{prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}}
