kolme dimensionsEdit
Avaruuskäyrä 3D: ssä. paikkavektori r on parametrisoitu skalaarilla t.At R = a punainen viiva on käyrän tangentti ja sininen taso on käyrälle normaali.
kolmiulotteisissa ulottuvuuksissa pisteen sijainnin määrittelyyn avaruudessa voidaan käyttää mitä tahansa kolmiulotteisten koordinaattien joukkoa ja niitä vastaavia pohjavektoreita – sen mukaan kumpi on käsillä olevan tehtävän kannalta yksinkertaisin.
yleisesti käytetään tuttua Karteesista koordinaatistoa tai joskus pallomaisia napakoordinaatteja tai lieriökoordinaatteja:
r ( t ) ≡ r ( x , y , z ) ≡ x ( t ) e ^ x + y ( t ) e ^ y + z ( t ) e ^ z ≡ r – (r , θ , ϕ ) ≡ r ( t ) e ^ r ( θ ( t ) , ϕ ( t ) ) ≡ r – (r , θ , z ) ≡ r ( t ) e ^ r ( θ ( t ) ) + z ( t ) e ^ z , {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} (t)&\equiv \mathbf {r} (x,y,z)\equiv x(t)\mathbf {\hat {e}} _{x}+y(t)\mathbf {\hat {e}} _{y}+z(t)\mathbf {\hat {e}} _{z}\\&\equiv \mathbf {r} (r,\theta ,\phi )\equiv r(t)\mathbf {\hat {e}} _{r}{\big (}\theta (t),\phi (t){\big )}\\&\equiv \mathbf {r} (r,\theta ,z)\equiv r(t)\mathbf {\hat {e}} _{r}{\big (}\theta (t){\big )} + z (t)\mathbf {\hat {e}} _{z},\\\end{aligned}}}
missä t on parametri, johtuen niiden suorakulmaisesta tai ympyränmuotoisesta symmetriasta. Nämä eri koordinaatit ja vastaavat perusvektorit edustavat samaa paikkavektoria. Yleisempiä käyrälineaarisia koordinaatteja voitaisiin sen sijaan käyttää ja ne ovat kontinuumimekaniikan ja yleisen suhteellisuusteorian kaltaisissa yhteyksissä (jälkimmäisessä tapauksessa tarvitaan lisäaikakoordinaatti).
n dimensionsEdit
Lineaarialgebra mahdollistaa n-ulotteisen paikkavektorin abstraktion. Paikkavektori voidaan ilmaista perusvektorien lineaarikombinaationa:
r = ∑ i = 1 n x i e i = x 1 e 1 + x 2 e 2 + ⋯ + x n e n . {\displaystyle \mathbf {r} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {e} _{i}=x_{1}\mathbf {e} _{1}+x_{2}\mathbf {e} _{2}+\dotsb +x_{n}\mathbf {e} _{n} \ mathbf {e} _ {n}.}
kaikkien paikkavektorien joukko muodostaa paikkaavaruuden (vektoriavaruuden, jonka alkioita ovat paikkavektorit), koska positioita voidaan lisätä (vektorien yhteenlasku) ja skaalata pituussuunnassa (skalaarien kertolasku), jolloin saadaan toinen paikkavektori avaruudessa. ”Avaruuden” käsite on intuitiivinen, koska jokaisella xi: llä (i = 1, 2, …, n) voi olla mikä tahansa arvo, arvojen kokoelma määrittelee pisteen avaruudessa.
kanta-avaruuden dimensio on n (merkitään myös dim(R) = n). Vektorin R koordinaatit perusvektorien suhteen ei ovat xi. koordinaattien vektori muodostaa koordinaattivektorin tai n-tuplen (x1, x2,…, xn).
jokaiselle koordinaatistolle xi voidaan parametrisoida joukko parametreja t. Yksi parametri xi (t) kuvaisi kaarevaa 1D-polkua, kaksi parametria xi(t1, t2) kuvaa kaarevaa 2D-pintaa, kolme xi(T1, t2, t3) kuvaa kaarevaa 3D-avaruutta ja niin edelleen.
perusjoukon lineaarinen jänneväli B = {e1, e2,…, en} on yhtä kuin positioavaruus R, merkitään span (B) = R.