a Zsírfarkú Eloszlás megértése

az 1. részben azt tárgyaljuk, hogy mit jelent egy véletlen változó” zsírfarkú ” eloszlása.

messze? Kövér?

a kövér farok megértéséhez a következő két kérdésre kell válaszolnunk.

1. Milyen messze van?
2. Mennyire kövér a zsír?

ahhoz, hogy a farokról beszéljünk, meg kell határoznunk, hogy milyen messze van, hogy eldöntsük, milyen messze van a közepétől ahhoz, hogy azt mondjuk, hogy farok. Más szóval, hol kezdődik a farok? Attól függ! Sajnos nincs egyetlen válasz.

Tekintsük a normális eloszlást. Ne feledje, hogy két farka van: jobb és bal. Ha például az eloszlás ‘jobb’ farkát akarjuk leírni az átlagtól való egy szórásból, akkor az árnyékolt rész a normál eloszlás jobb farkára utal.

formálisan a farokot a következőképpen írhatjuk le:

• jobb farok: P (x>x)
• bal farok: P (x 6-x)

nagy értékű ‘x’. Ismerjük a ‘farok’fogalmát.

#For normal distribution with value 'x=a'
a=1
1-pnorm(a) #right tail
pnorm(-a) #left tail

minden eloszlásnak van farka?

Gondolj az egyenletes eloszlásra. Van farka? Ebben a blogban azt mondja, hogy nem minden disztribúciónak van farka.

Ha azt szeretné, hogy a “farok viselkedése” leírja a pdf jellemzőit, amikor az ” x ” nagy lesz, akkor a korlátozott eloszlásoknak nincs farka. Mindazonáltal a farok egyes jellemzői számszerűsíthetők. Különösen a határok és az aszimptotikus viselkedés használatával határozhatja meg a nehéz farok fogalmát. SAS blog

az alábbiakban elmagyarázom a (exponenciálisan) korlátozott / nem korlátozott eloszlást. Kérjük, emlékeztesse magát az egyenletes eloszlásra, amikor odaér!

miért kell törődnünk a terjesztés ‘farok’ részével?

Az elosztás hátsó része jelentette a kockázatkezelés fő aggodalmát. Például a hozam vagy veszteség elosztására a két leggyakrabban használt kockázati intézkedés a Kockázati érték (Var) és a várható hiány (es)

miért nem tér vissza a veszteség?

• a veszteség szó szerint mínusz (-) visszatérés
• a negatív végtelenbe való belépés nem intuitív. Tehát a visszatérési értékek negatívját vesszük, azaz az eloszlást az y tengely fölé fordítjuk.

csak nézze meg, hogy a var és ES mennyiségek hogyan kapcsolódnak a ‘farokhoz’. Nem kell megérteni a mögöttük lévő matematikát vagy jelentést.

” Ne feledje, hogy az alábbi grafikon a veszteség eloszlása nem tér vissza!”

gondoljon a veszteség eloszlására, l, ekvivalensen (negatív) hozam, valamilyen eszközön egy adott tartási időszak alatt. A megértés kedvéért feltételezzük, hogy a veszteségek véletlen változója holnap követi a normális eloszlást:

ezután kiszámíthatjuk a VaR-t a következő módon:

A második vonalon keresztül könnyen ellenőrizhetjük, hogy a VaR csak a kövér farokhoz kapcsolódó mennyiség. A VaR-ról további részleteket a “kvantitatív kockázatkezelés: fogalmak, technikák és eszközök” című könyv második fejezetében és Eric Zivot előadásában talál a honlapján.

alpha = 0.95 #significant level
VaR.alpha = qnorm(alpha, mu, sigma)
VaR.alpha = mu + sigma*qnorm(alpha, 0, 1)

hasonlóképpen láthatjuk, hogy a várható hiány az eloszlás farokrészéhez kapcsolódó mennyiség:

a negyedik sorban azt mondja: “ES a veszteségeloszlás felső “farkában” várható veszteség. A VaR-hoz hasonlóan normál eloszlás esetén kényelmes kiszámítani az ES-t most, hogy ez csak a csonka normál eloszlás átlaga.

alpha = 0.95
q.alpha.z = qnorm(alpha)
ES.alpha = mu + sigma*(dnorm(q.alpha.z)/(1-alpha))

Ha valaki kíváncsi arra, hogy miért osztjuk el 1-6connival, ez csak egy normalizáló állandó (vagy méretezési tényező) annak biztosítására, hogy a csonka veszteségeloszlás integrációja egy legyen, ami követelmény, hogy valószínűségi eloszlás legyen.

vissza a ‘farok’ történetéhez, csak hangsúlyozni akartam, hogy a farok eloszlásokat széles körben használják kockázatkezelési eszközként.

hogyan zsír a zsír? Milyen nehéz a nehéz?

mivel rájöttünk, hogy mi a ‘farok’ eloszlása és hol használják, itt az ideje, hogy beszéljünk a ‘kövér’ részről. Mindannyian tudjuk, hogy a normál eloszlásnak nincs kövér farka. Ehelyett arra tanítottak minket, hogy használjuk a student-t eloszlást és naplózzuk a normál eloszlást a pénzügyi megtérülési sorozat modellezésekor, hogy figyelembe vegyük a ‘fat-tail’ tulajdonságot. De tudnunk kell a kövér farok meghatározását. Sajnos nincs egyetemes meghatározás a zsír kifejezésre.

megpróbálom elmagyarázni a kövér farkát az angol, a grafikon és a matematika nyelvén. Remélem élvezni legalább az egyik a három.

• a nehéz farkú eloszlásnak olyan farka van, amely nehezebb, mint az exponenciális eloszlás (Bryson, 1974) a
• eloszlásról azt mondják, hogy nehéz farka van, amikor a farokrész lassabban bomlik, mint az exponenciális eloszlás.

miért exponenciális?

célszerű az exponenciális eloszlást referenciaként használni. Az exponenciális eloszlás pdf-je gyorsan megközelíti a nullát ‘exponenciálisan’. Ez azt jelenti, farok a pdf néz ki (de másképp viselkedik) az exponenciális eloszlás.

a nyelv grafikon,

megmutatom 4 különböző grafikonok, amelyek azt mutatják, hogy mi történik a szélsőjobboldali farok egy sor különböző eloszlások az alábbiak szerint:

• exponenciális eloszlás (exp)
• teljesítmény-törvény Eloszlás (PL)
• normál eloszlás (N)
• Log-normál eloszlás (LN)
• Student-t eloszlás
• Cauchy Eloszlás
• Levy Eloszlás
• Weibull Eloszlás

nem fogom elmagyarázni ezeket az eloszlásokat. Ehelyett csak élvezzük ezeknek az eloszlásoknak a grafikonját, hogy érezzük, mi történik a farok részében. Az első grafikon az egész gráf azon részét mutatja, amelynek ‘ x ‘ benne van

a fenti 5.ábrán nem tudjuk megmondani, hogyan viselkedik a farok. De itt van néhány dolog, amit érdemes megemlíteni

• normál, student-t és Cauchy eloszlások Kétfarkú eloszlások. Az összes többi egyfarkú Eloszlás
• a PL(2.5) és a PL(3.5) esetében van egy keresztezési pont x=1.7 közelében, ami azt jelzi, hogy a PL(2.5) farka vastagabb.

nézzük meg, hogyan néz ki, amikor az ‘x’ benne van . Ne feledje, hogy az Y tengely értékei sokkal kisebbek lesznek.

k: mit látsz ezen a grafikonon?

A: A legtöbb felső vonal lenne a legvastagabb farok! (De nem egészen!!!) És látni fogja, miért!

előzetesen vizsgáljuk meg a fenti 6.ábra fontos tényeit.

• a normál és az exp(2) eloszlások 0 közelében kúsznak, ha x=5. Különösen a normál eloszlás esetén az 5 szórás pdf értéke 0,000001486 (=pnorm (5)). Ez körülbelül 8000-szer kisebb, mint a Cauchy-eloszlásé. Más szavakkal, 5 szigma esemény 8000-szer nagyobb valószínűséggel fordul elő Cauchy-Eloszlás alatt, mint a normál eloszlás.
• a 6. ábrán tartsuk szem előtt, hogy az exp(0.2) Eloszlás jóval a log normál eloszlás és a hatványtörvény eloszlások felett helyezkedik el. Kérjük, ellenőrizze, hogyan fordul meg a következő grafikonokon, miután kiterjesztette az ‘ x ‘ értékek tartományát.

lássuk, hogy néz ki, amikor az ‘x’ benne van . Ismét vegye figyelembe, hogy az Y tengely értékei sokkal kisebbek lesznek.

• vegye figyelembe, hogy az exp(0.2) kék vonal gyorsan lebomlik, miközben átlépi a másik kettőt, PL(2.5) és Cauchy. Ez azt jelenti, hogy” lassabban bomlik, mint az exponenciális eloszlás “
• meglepő látni, hogy mi történik az ” x ” közelében, ami 100-nak felel meg. A PL (1.5) pdf értéke 0.0005. Nem csoda, hogy az első és a második pillanat (átlag és variancia) végtelen a PL(1.5) számára. Az ezzel kapcsolatos részletes információkat a következő dokumentum tartalmazza. Maradjanak velünk!

nagyítsuk az y tengelyt, hogy részletesen lássuk, hogyan viselkedik!

• meglepő módon az exp(0.2) kék vonal csökken a PL(3.5) és az LN(0,1) átlépésével. Azt is láthatjuk, hogy az LN(0,1) gyorsabban bomlik, mint a PL(3,5), most, hogy keresztezi a PL(3,5) – et, és alatta megy.
• PL (1.5), PL(2.5) és Levy eloszlások nem is jelennek meg ezen a grafikonon.

a matematika nyelvén,

A kövér farok Eloszlás a nehézfarkú Eloszlás alosztálya. Ez azt jelenti, hogy bár minden zsírfarkú Eloszlás nehézfarkú, fordítva nem igaz (például Weibull). Jay Taylor jegyzetei szerint a következő módon különböztette meg a nehéz és a kövér embereket.

a nehéz farok meghatározása

• az eloszlásnak állítólag megfelelő nehéz farka van, ha a farok ” nem “exponenciálisan korlátozott

úgy értelmezhetjük, hogy amikor az’ x ‘ nagy lesz, az exponenciálisan növekvő sebesség gyorsabb, mint a valószínűség csökkenésének sebessége a nehéz jobb faroknál. Szánjon időt arra, hogy átgondolja!

nézze meg, hogyan kapcsolódik az angol definícióhoz.

• Valószínűségeloszlási függvényt, amely lassabban bomlik, mint egy exponenciális, jobb nehéz faroknak nevezzük.

ha exponenciálisan korlátozott?

Ha a nehéz jobb farok nem elég nehéz, azaz szupergyorsan bomlik, amikor az ‘x’ a végtelenbe megy, akkor az 1.egyenlet nullára konvergál. A nyilvánvaló példa az egyenletes eloszlás, amint azt fentebb tárgyaltuk. Amint az ‘ x ‘ meghaladja az egyet, az egynél nagyobb X valószínűsége nullává válik, így exponenciálisan korlátozott. Egy másik népszerű példa a normál eloszlás. Legyen X normál normál. Rajzolj egy grafikonsorozatot a különböző lambda értékekhez

láthatjuk, hogy nullára konvergál, így a normális eloszlás farkai exponenciálisan korlátozottak.

f_exp = function(x, lambda){return (exp(lambda*x))
cdf_normal = function(x) pnorm(x)
ccdf_normal = function(x) {1-cdf_normal(x)}xs = seq(1,10,length=10000)
plot(xs, f_exp(xs,0.1)*ccdf_normal(xs), type='l', xlab='',ylab='', col='blue', lwd=2)
abline(v=1, lty = 'dashed')
lines(xs,f_exp(xs,0.5)*ccdf_normal(xs), col='purple', lwd=2)
lines(xs,f_exp(xs,1)*ccdf_normal(xs), col='red', lwd=2)
lines(xs,f_exp(xs,1.5)*ccdf_normal(xs), col='orange', lwd=2)
lines(xs,f_exp(xs,2)*ccdf_normal(xs), col='darkred', lwd=2)
lines(xs,f_exp(xs,3)*ccdf_normal(xs), col='darkblue', lwd=2)
grid()
legend(8, 0.15, 
legend=c("0.1", "0.5","1","1.5","2","3"), title = "lambda",
col=c("blue",'purple', "red",'orange','darkred','darkblue'), lwd=2, cex=1)

a zsírfarok meghatározása

• az eloszlásnak megfelelő zsírfarok van, ha van egy pozitív kitevő (alfa), amelyet farokindexnek hívnak, hogy

a ‘ ~ ‘ azt jelenti, hogy állandó. Vagy a farok része arányos a hatalmi törvénnyel. Pontosan ez a következőket jelenti.

nyugodtan hagyja ki, ha a matematika ‘nehéz/kövér’ az Ön számára.

ezért a zsírfarkú eloszlások farokrésze egy hatványtörvényt követ (ami ‘x’ a mínusz alfa erejéig). Azok számára, akik nem ismerik a hatalmi törvényt, ne aggódj most. Gondolj a grafikonra, amikor az alfa egyenlő kettővel.

emlékeztesse magát arra, hogy a farok része hasonlít a hatalmi törvényhez,amint azt a fenti 5-8. Azt fogja magyarázni hatalmi törvény részletesebben ebből a sorozatból.

Összegzés

áttekintettük a ‘kövér farok’ fogalmát ebben a dokumentumban intuitív módon, grafikusan és matematikailag. Az ‘edzett stabil Eloszlás’ megértéséhez alapvető ismeretekre van szükség a kövér farokról. Remélem, hogy ez a dokumentum hasznos volt a megértés javítása érdekében. Kérjük, kommentálja alább, ha bármilyen kérdése van. Remélem, kíváncsi vagy arra, hogy mi következik. Legközelebb visszatérek a “journey to Tempered Stable Distribution”

f_exp = function(x, lambda, xmin) {lambda*exp(-lambda*(x-xmin))}
f_power = function (x, k, x_min) {
C = (k-1)*x_min^(k-1)
return (C*x^(-k))
}
f_cauchy = function(x) dcauchy(x)
f_levy = function(x) dlevy(x) # required package: 'rmulti'
f_weibul = function(x) dweibull(x,shape=1)
f_norm = function(x) dnorm(x)
f_lnorm = function(x) dlnorm(x)
f_t = function(x) dt(x,5)
xs = seq(0.1,100,length=1000)plot(xs, f_exp(xs,0.5,0.1),type='l',xlab='',ylab='', col='blue', lwd=2,
main='Distributions on ', cex.main=1,
xlim=c(0,5),
ylim=c(0,2.5))
lines(xs,f_exp(xs,1,0.1), col='purple', lwd=2)
lines(xs,f_exp(xs,2,0.1), col='bisque3', lwd=2)
lines(xs,f_power(xs,1.5, 1), col='red', lwd=2)
lines(xs,f_power(xs,2.5, 1), col='orange', lwd=2)
lines(xs,f_power(xs,3.5, 1), col='darkred', lwd=2)
lines(xs,f_norm(xs),col='black', lwd=2)
lines(xs,f_lnorm(xs), col='darkgreen', lwd=2)
lines(xs,f_t(xs), col='deeppink', lwd=2)
lines(xs, f_cauchy(xs), col='darkblue', lwd=2)
lines(xs, f_levy(xs), col='azure4', lwd=2)
lines(xs, f_weibul(xs), col='springgreen', lwd=2)
abline(v=2, lty = 'dashed')
abline(v=3, lty = 'dashed')
grid()
legend(3.5, 2.5, 
legend=c("exp(0.2)", "exp(1)", 'exp(2)', "PL(1.5)", 'PL(2.5)', 'PL(3.5)', 'N(0,1)','LN(0,1)','student-t(5)','Cauchy','Levy','Weibull'),
col=c("blue",'purple', 'bisque3',"red",'orange','darkred', 'black','darkgreen','deeppink','darkblue', 'azure4','springgreen'), lwd=2, cex=0.8)

Jay Taylor, Nehézfarkú disztribúció (2013), előadások,

Eric Zivot, kockázati intézkedések (2013), előadások

Aaron Clauset, következtetés, modellek és szimuláció komplex rendszerekhez (2011), előadások

https://blogs.sas.com/content/iml/2014/10/13/fat-tailed-and-long-tailed-distributions.html