Ergodicitás

az Ergodicitás a fizika és a matematika széles körében fordul elő. Mindezeket a beállításokat egy közös matematikai leírás egyesíti, a mértékmegőrző dinamikus rendszer leírása. Ennek informális leírása, valamint az ergodicitás meghatározása közvetlenül az alábbiakban található. Ezt követi az ergodicitás leírása a sztochasztikus folyamatokban. Ezek egy és ugyanaz, annak ellenére, hogy drámaian eltérő jelölést és nyelvet használnak. Az ergodicitás áttekintése a fizikában és a geometriában következik. Az ergodicitás fogalma minden esetben pontosan megegyezik a dinamikus rendszerek fogalmával; nincs különbség, kivéve a kilátásokat, a jelöléseket, a gondolkodásmódot és a folyóiratokat, ahol az eredményeket közzéteszik.

mérésmegőrző dinamikus rendszerekszerkesztés

az ergodicitás matematikai definíciója a véletlenszerűséggel kapcsolatos hétköznapi gondolatok megragadására irányul. Ide tartoznak az olyan rendszerekről szóló elképzelések, amelyek úgy mozognak, hogy (végül) kitöltik az egész teret, mint például a diffúzió és a Brown-mozgás, valamint a keverés józan felfogása, például festékek, italok keverése, szakács összetevők, ipari folyamatkeverés, füst egy füsttel töltött szobában, a por a Szaturnusz gyűrűiben stb. A szilárd matematikai alap biztosítása érdekében az ergodikus rendszerek leírása az intézkedés-megőrző dinamikus rendszer meghatározásával kezdődik. Ezt úgy írjuk, mint (X, a,++, T). {\displaystyle (X, {\mathcal {A}}, \ mu, T).}

az X {\displaystyle X halmaz}

alatt a teljes kitöltendő helyet értjük: a keverőtálat, a füsttel töltött helyiséget stb. Az X {\displaystyle \mu }

mértékegység alatt az X {\displaystyle X}

és altereinek természetes térfogatát értjük. Az alterek gyűjteményét a {\displaystyle {\mathcal {A}}}

, és bármely adott A. Számú részhalmaz mérete ( A) \X {\displaystyle A\X}

egyenlő (a) {\displaystyle\mu (a)}

; a méret a térfogata. Naivan el lehet képzelni egy {\displaystyle {\mathcal {A}}}

hogy az X {\displaystyle X}

hatványhalmaza legyen ; ez nem egészen működik, mivel a tér nem minden részhalmazának van kötete (híresen a Banach-Tarski-paradoxon). Így hagyományosan a {\displaystyle {\mathcal {A}}}

a mérhető részhalmazokból áll—azok a részhalmazok, amelyeknek van kötetük. Mindig Borel-halmaznak tekintik—olyan részhalmazok gyűjteménye, amelyek metszéspontokkal, egyesülésekkel és halmaz-kiegészítésekkel hozhatók létre; ezeket mindig mérhetőnek lehet tekinteni.

a rendszer időfejlődését egy T térkép írja le: X 6 x {\displaystyle T:X\to X}

. Az a ( A) {\displaystyle T(a)}

egyes részhalmazai esetén a(a) {\displaystyle T (a)}

térképe általában egy {\displaystyle A}

– összenyomva vagy nyújtva , hajtogatva vagy darabokra vágva. Matematikai példák közé tartozik a pék térkép és a patkó térkép, mindkettő ihlette kenyérkészítés. A t ( a ) {\displaystyle T(A)}

halmaznak ugyanolyan térfogatúnak kell lennie, mint a {\displaystyle A}

; a squashing / stretching nem változtatja meg a tér térfogatát, csak annak eloszlását. Egy ilyen rendszer “intézkedés-megőrzés” (terület-megőrzés, térfogat-megőrzés).

formális nehézség merül fel, amikor megpróbáljuk összeegyeztetni a készletek mennyiségét azzal, hogy meg kell őrizni méretüket egy térkép alatt. A probléma azért merül fel, mert általában egy függvény tartományának több különböző pontja képes a tartományának ugyanarra a pontjára térképezni; azaz, lehet, hogy x 6 y {\displaystyle x \ neq y}

t ( x ) = T ( y ) {\displaystyle T(x)=T (y)}

. Rosszabb, hogy egyetlen pontnak x 6 x {\displaystyle x \ in X}

nincs mérete. Ezek a nehézségek elkerülhetők a T − 1 inverz térképpel végzett munkával: a A A {\displaystyle T^{-1}: {\mathcal {A}} \ to {\mathcal {A}}}

; a\X {\displaystyle A\X}

bármely adott részhalmazt leképez az annak elkészítéséhez összeállított részekre: ezek a részek T − 1 ( A) A {\displaystyle T^{-1}(A) \ in {\mathcal {A}}}

. Fontos tulajdonsága, hogy nem veszíti el nyomon, honnan származnak a dolgok. Erősebben az a fontos tulajdonsága, hogy bármely (mértékmegőrző) térkép a A {\displaystyle {\mathcal {A}} \ – tól {\mathcal {A}}}

az X \ – X\ – X}

térkép inverze. A térfogat-megőrző térkép helyes meghatározása az, amelynél a ( Z) = (A)=(T − 1 (A)) {\displaystyle \mu (A) = \mu(T^{-1} (a))}

mert T − 1 ( A ) {\displaystyle T^{-1}(a)}

leírja az összes darab-alkatrészt, amelyből a {\displaystyle A}

származik.

az embert most érdekli a rendszer időbeli fejlődésének tanulmányozása. Ha egy halmaz a {\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}

végül az összes X {\displaystyle X}

hosszú idő alatt (azaz ha T n ( A ) {\displaystyle T^{n}(A)}

megközelíti az összes X {\displaystyle X}

nagy n {\displaystyle n}

), a rendszer állítólag ergodikus. Ha minden a {\displaystyle A}

halmaz így viselkedik, akkor a rendszer egy konzervatív rendszer, ellentétben a disszipatív rendszerrel, ahol a {\displaystyle a}

egyes részhalmazai elkalandoznak, és soha nem kerülnek vissza. Példa erre a lefelé futó víz – ha egyszer lemerült, soha többé nem fog visszatérni. A folyó alján kialakuló tó azonban jól keveredhet. Az ergodikus bomlási tétel kimondja, hogy minden ergodikus rendszer két részre osztható: a konzervatív részre és a disszipatív részre.

a keverés erősebb állítás, mint az ergodicitás. A keverés azt kéri, hogy ez az ergodikus tulajdonság megmaradjon bármely két halmaz között A, B {\displaystyle A, B}

, és nem csak az a {\displaystyle A}

és X {\displaystyle X}

halmazok között . Azaz, ha bármilyen két halmazt adunk a , B A {\mathcal {A}}}

, akkor azt mondjuk , hogy egy rendszer (topológiailag) keveredik, ha van n {\displaystyle N}

egész szám úgy , hogy minden A,B {\displaystyle A,B}

és N > n {\displaystyle n>n}

, az egyik azt mondja, hogy T N ( A)

. Itt a {\displaystyle \cap}

a halmaz metszéspontját jelöli, és a {\displaystyle \varnothing }

az üres halmaz. A keverés egyéb fogalmai közé tartozik az erős és a gyenge keverés, amelyek leírják azt az elképzelést, hogy a kevert anyagok mindenütt azonos arányban keverednek. Ez nem triviális lehet, amint azt a ragadós, ragacsos anyagok keverésének gyakorlati tapasztalata mutatja.

Ergodic processesEdit

a fenti vita a kötet fizikai érzékelésére utal. A kötetnek nem kell szó szerint a 3D-s tér egy részének lennie; ez lehet valami absztrakt kötet. Ez általában a statisztikai rendszerekben fordul elő, ahol a térfogatot (a mértéket) a valószínűség adja meg. A teljes térfogat megfelel az első valószínűségnek. Ez a levelezés azért működik, mert a valószínűségelmélet axiómái megegyeznek a mértékelmélet axiómáival; ezek a Kolmogorov-axiómák.

a kötet gondolata nagyon elvont lehet. Vegyük például az összes lehetséges érmefordítás halmazát: a fej és írás végtelen sorozatának halmazát. Az 1 térfogatának hozzárendelése ehhez a térhez egyértelmű, hogy az összes ilyen szekvencia fele fejjel, fele farokkal kezdődik. Ezt a kötetet más módon is fel lehet szeletelni: “nem érdekel az első n-1 {\displaystyle n-1}

érmefordítás; de azt akarom, hogy az n {\displaystyle n}

‘TH őket, hogy fejek, aztán nem érdekel, hogy mi jön utána”. Ez lehet írni, mint a halmaz (!) {\displaystyle (*, \cdots,*, h,*,\cdots) {\displaystyle ( * , \ cdots,*, h,*, \ cdots )}

ahol \ {\displaystyle *}

a” nem érdekel “és h {\displaystyle h}

a “fejek”. Ennek a térnek a térfogata ismét (nyilvánvalóan!) fele.

a fentiek elegendőek egy mérésmegőrző dinamikai rendszer teljes felépítéséhez. A H {\displaystyle h halmaza}

vagy T {\displaystyle t}

az n {\displaystyle n}

‘a th helyet hengerkészleteknek nevezzük. A hengerhalmazok összes lehetséges metszéspontjának, egyesülésének és komplementerének halmaza alkotja a Borel-halmazt a {\displaystyle {\mathcal {A}}}

fent meghatározott. Formailag a hengerhalmazok képezik a topológia alapját az X {\displaystyle X}

térben az összes lehetséges végtelen hosszúságú érmefordítás közül. Az mérték \\displaystyle \ mu}

rendelkezik mindazokkal a józan észbeli tulajdonságokkal, amelyeket remélhetünk: egy H {\displaystyle h-val rendelkező hengerhenger mértéke}

az m {\displaystyle m}

‘t {\displaystyle t {\displaystyle t}}

a K {\displaystyle k}

‘th pozíció nyilvánvalóan 1/4, és így tovább. Ezek a józan ész tulajdonságai továbbra is fennállnak a set-komplement és a set-union esetében: minden, kivéve h {\displaystyle h}

és t {\displaystyle t}

m helyeken {\displaystyle m}

és k {\displaystyle k}

nyilvánvalóan a térfogata 3/4. Ezek együttesen alkotják a szigma-additív mérték axiómáit; a mérésmegőrző dinamikus rendszerek mindig szigma-additív méréseket alkalmaznak. Az érme fejtetőre, ez az intézkedés az úgynevezett Bernoulli intézkedés.

a pénzfeldobási folyamathoz a T {\displaystyle T időfejlődési operátor}

a műszak operátor, amely azt mondja: “dobja el az első érmefordítást, a többit pedig tartsa meg”. Formálisan, ha az ( x 1 , x 2,!) {\displaystyle (x_{1},x_{2},\cdots )}

érmefordítások sorozata, akkor T ( x 1 , x 2,!) = (x 2 , x 3,!) {\displaystyle T(x_{1},x_{2},\cdots )=(x_{2},x_{3},\cdots )}

. Az intézkedés nyilvánvalóan eltolódás-invariáns: amíg a \\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}

ahol az első érme feldobása x 1 = \ {\displaystyle x_{1}=*}

a” nem érdekel ” érték, akkor a kötet ( a ) {\displaystyle \mu (A)}

nem változik: a ( A ) = A ( t ) ) {\displaystyle \mu ( a)=\mu (T (a)))}

. Annak érdekében, hogy ne beszéljünk az első pénzfeldobásról, könnyebb meghatározni a T-1 {\displaystyle T^{-1}}

mint egy “nem érdekel” érték beillesztése az első pozícióba: T − 1 ( x 1 , x 2, stb.) = (fő , x 1 , x 2, fő ) {\displaystyle T^{-1} (x_{1}, x_{2}, \ cdots) =(*, x_{1}, x_{2}, \ cdots )}

. Ezzel a definícióval nyilvánvalóan megvan, hogy a ( Z) = (A)=(a) = (A) {\displaystyle \mu(T^{-1} (A)) = \mu (a)}

a {\displaystyle A}

korlátozások nélkül . Ez ismét egy példa arra, hogy miért T-1 {\displaystyle T^{-1}}

a formális definíciókban használják.

a fenti fejlesztés egy véletlenszerű folyamatot, a Bernoulli-folyamatot vesz igénybe, és átalakítja azt mértékmegőrző dinamikai rendszerré (X , a,++, T ) . {\displaystyle (X, {\mathcal {A}}, \ mu, T).}

ugyanaz a konverzió (ekvivalencia, izomorfizmus) alkalmazható bármely sztochasztikus folyamatra. Így az ergodicitás informális meghatározása az, hogy egy szekvencia ergodikus, ha az összes X {\displaystyle X}

; az ilyen szekvenciák “jellemzőek” a folyamatra. A másik, hogy statisztikai tulajdonságai levezethetők a folyamat egyetlen, kellően hosszú, véletlenszerű mintájából (tehát egységesen mintavételezve az összes X {\displaystyle X}

), vagy hogy a folyamatból származó véletlenszerű minták bármely gyűjteményének a teljes folyamat átlagos statisztikai tulajdonságait kell képviselnie (vagyis az X {\displaystyle X}

reprezentatívak az X {\displaystyle x}

egészére.) A jelen példában az érmefejek sorozata, ahol a fele fej, a fele pedig farok, egy “tipikus” szekvencia.

a Bernoulli-folyamattal kapcsolatban több fontos szempontot is meg kell említeni. Ha valaki 0-t ír a farokra és 1-et a fejekre, akkor megkapja a bináris számjegyekből álló végtelen húrok halmazát. Ezek megfelelnek a valós számok alap-két kiterjesztésének. Explicit módon, adott egy szekvencia (x 1 , x 2, ons ) {\displaystyle (x_{1}, x_{2}, \ cdots )}

, a megfelelő valós szám: Y = 6 = 1 x n 2 n {\displaystyle y= \ sum _{n=1}^{\infty } {\frac {x_{n}}{2^{n}}}}

az a kijelentés, hogy a Bernoulli-folyamat ergodikus, egyenértékű azzal az állítással, hogy a valós számok egyenletesen oszlanak el. Az összes ilyen karakterlánc halmaza különféle módon írható: {h , t} = {h, t} = {0, 1} = 2 = 2 N . {\displaystyle \ {h, t\}^{\infty} = \ {h, t\}^{\omega }=\{0,1\}^{\omega } = 2^{\omega }=2^{\mathbb {N} }.}

ez a halmaz a Cantor-halmaz, amelyet néha Cantor-térnek is neveznek, hogy elkerüljék a C (x) = kb n = 1 kb n 3 n {\displaystyle C(x)= \ sum _ {n=1}^{\infty } {\frac {x_{n}}{3^{n}}}}

végül ezek mind “ugyanaz”.

a Cantor készlet kulcsszerepet játszik a matematika számos ágában. A szabadidős matematikában alátámasztja a periódust megkétszerező fraktálokat; az elemzésben sokféle tételben jelenik meg. A sztochasztikus folyamatok egyik kulcsa a Wold bomlás, amely kimondja, hogy bármely helyhez kötött folyamat bontható pár korrelálatlan folyamatra, az egyik determinisztikus, a másik pedig mozgó átlagfolyamat.

az Ornstein-izomorfizmus-tétel kimondja, hogy minden stacionárius sztochasztikus folyamat egyenértékű egy Bernoulli-sémával (egy Bernoulli-folyamat N-oldalú (és esetleg tisztességtelen) játékmeghalással). További eredmények közé tartozik, hogy minden nem disszipatív ergodikus rendszer egyenértékű a Markov kilométer-számlálóval, amelyet néha “hozzáadógépnek” neveznek, mert úgy néz ki, mint az Általános Iskola hozzáadása, vagyis egy alap-n számjegyű szekvencia felvétele, hozzáadása és a hordozó bitek szaporítása. Az egyenértékűség bizonyítása nagyon elvont; az eredmény megértése nem: ha minden egyes lépésnél összeadunk egyet, a kilométer-számláló minden lehetséges állapotát meglátogatjuk, amíg meg nem fordul, és újra elindul. Hasonlóképpen, az ergodikus rendszerek egységesen látogatják meg az egyes állapotokat, továbblépve a következőre, amíg mindegyiket meg nem látogatják.

az N betű (végtelen) szekvenciáit generáló rendszereket szimbolikus dinamikával tanulmányozzuk. Fontos speciális esetek közé tartoznak a véges típusú és a szofikus rendszerek aleltolódásai.

Ergodicitás a fizikában

a fizikai rendszerek három kategóriába sorolhatók: klasszikus mechanika, amely véges számú mozgó alkatrésszel rendelkező gépeket ír le, kvantummechanika, amely az atomok szerkezetét írja le, és statisztikai mechanika, amely gázokat, folyadékokat, szilárd anyagokat ír le; ide tartozik a kondenzált anyag fizikája. A klasszikus mechanika esetét a következő szakasz tárgyalja, a geometria ergodicitásáról. Ami a kvantummechanikát illeti, bár létezik a kvantumkáosz fogalma, nincs egyértelmű meghatározása ergodocity; mi lehet ez heves vita tárgyát képezi. Ez a szakasz áttekinti az ergodicitást a statisztikai mechanikában.

a kötet fenti absztrakt meghatározása szükséges az ergodicitás fizikai meghatározásainak megfelelő beállításaként. Vegyünk egy tartályt folyadékból, gázból vagy plazmából, vagy más atomok vagy részecskék gyűjteményéből. Minden egyes részecske x i {\displaystyle x_{i}}

3D pozícióval és 3D sebességgel rendelkezik, így hat számmal írható le: egy pont a hatdimenziós térben R 6 . {\displaystyle \ mathbb {R} ^{6}.}

ha n {\displaystyle N}

van ezekből a részecskékből a rendszerben, a teljes leíráshoz 6 N {\displaystyle 6n}

szám szükséges. Bármely rendszer csak egyetlen pont az R 6 N-ben . {\displaystyle \ mathbb {R} ^{6N}.}

a fizikai rendszer nem minden R 6 N {\displaystyle \ mathbb {R} ^{6N}}

, természetesen; ha ez egy doboz szélesség, magasság és hosszúság W \ H \ Times H \ times l}

, akkor egy pont a ( W!) (W! \ H! \ L! \ R 3.) N. {\displaystyle (W \ times H \ times L \times \ mathbb {R} ^{3})^{N}.}

a sebességek sem lehetnek végtelenek: valamilyen valószínűségi méréssel méretezik őket, például a Boltzmann–Gibbs intézkedés egy gázra. Az Avogadro-számhoz közeli N {\displaystyle N}

esetében ez nyilvánvalóan nagyon nagy tér. Ezt a helyet kanonikus együttesnek nevezik.

egy fizikai rendszer akkor ergodikus, ha a rendszer bármely reprezentatív pontja végül meglátogatja a rendszer teljes térfogatát. A fenti példában ez azt jelenti, hogy egy adott atom nem csak a doboz minden részét látogatja meg W \ H \ L {\displaystyle w \ times H \ times L}

egyenletes valószínűséggel, de ezt minden lehetséges sebességgel megteszi, a sebesség Boltzmann-eloszlása által megadott valószínűséggel (tehát egyenletes az adott mértékhez képest). Az ergodikus hipotézis szerint a fizikai rendszerek valójában ergodikusak. Több időskála működik: a gázok és folyadékok rövid időn belül ergodikusnak tűnnek. A szilárd anyag ergodicitása a rezgési módok vagy fononok szempontjából tekinthető meg, mivel nyilvánvalóan a szilárd anyag atomjai nem cserélnek helyet. A szemüveg kihívást jelent az ergodikus hipotézis számára; az időskálákat évmilliókban feltételezik, de az eredmények vitatottak. A Spin szemüveg különleges nehézségeket okoz.

az ergodicitás formális matematikai bizonyítékait a statisztikai fizikában nehéz megtalálni; a legtöbb magas dimenziós soktestű rendszert feltételezzük ergodikusnak, matematikai bizonyítás nélkül. Kivételt képeznek a dinamikus biliárdok, amelyek az atomok biliárdgolyó típusú ütközéseit modellezik ideális gázban vagy plazmában. Az első kemény gömb ergodicitási tétel a Sínai biliárdra vonatkozott,amely két golyót tekint, amelyek közül az egyiket helyhez kötöttnek tekintik. Amint a második golyó ütközik, elmozdul; periodikus határfeltételeket alkalmazva visszatér, hogy újra összeütközjön. A homogenitásra való hivatkozással a “második” gömbnek ez a visszatérése inkább “csak egy másik atomnak” tekinthető, amely hatótávolságba került, és az eredetnél lévő atommal ütközik (ami csak “bármely más atomnak”tekinthető.) Ez egyike azon kevés formális bizonyítékoknak, amelyek léteznek; nincsenek egyenértékű állítások pl. egy folyadék atomjaira, amelyek kölcsönhatásba lépnek van der Waals erők, még akkor is, ha józan ész lenne azt hinni, hogy az ilyen rendszerek ergodikusak (és keverednek). Pontosabb fizikai érveket lehet tenni, bár.

Ergodicitás a geometriában

az Ergodicitás széles körben elterjedt jelenség a Riemann-sokaságok vizsgálatában. A példák gyors sorozata, az egyszerűtől a bonyolultig, szemlélteti ezt a pontot. Az alábbiakban említett összes rendszer szigorú formális bizonyítékokkal ergodikusnak bizonyult. A kör irracionális forgása ergodikus: egy pont pályája olyan, hogy végül a kör minden más pontját meglátogatják. Az ilyen forgatások az intervallumcsere térkép speciális esete. Egy szám béta-bővítései ergodikusak: egy valós szám bétabővítése nem a base-N – ben történik, hanem a base-xhamsterben {\displaystyle \ beta }

néhány fő részére. {\displaystyle \ beta .}

a visszavert változata a béta bővítés sátor Térkép; vannak számos más ergodikus térképek az egység intervallum. Két dimenzióba költözve az irracionális szögekkel rendelkező aritmetikai biliárd ergodikus. Lehet venni egy lapos téglalapot is, összenyomni, vágni és összeszerelni; ez a korábban említett pék térkép. Pontjait két végtelen karakterlánc halmazával lehet leírni két betűvel, vagyis mind balra, mind jobbra kiterjedve; mint ilyen, úgy néz ki, mint a Bernoulli-folyamat két példánya. Ha valaki oldalirányban deformálódik a squashing során, megszerzi Arnold macskatérképét. A legtöbb szempontból a macska térkép prototípusa bármely más hasonló átalakulásnak.

a nem sík felületek esetében az egyik az, hogy bármely negatívan ívelt kompakt Riemann felület geodéziai áramlása ergodikus. A felület” kompakt ” abban az értelemben, hogy véges felülettel rendelkezik. A geodéziai áramlás az ívelt felületen “egyenes vonalban” történő mozgás gondolatának általánosítása: az ilyen egyenes vonalak geodézia. Az egyik legkorábbi vizsgált eset Hadamard biliárdja, amely leírja a Bolza felületének geodéziáját, topológiailag egyenértékű egy két lyukú fánkkal. Az ergodicitás informálisan bizonyítható, ha van egy sharpie és egy ésszerű példa a két lyukú fánkra: bárhol, bármilyen irányba indulva megpróbál egyenes vonalat rajzolni; az uralkodók erre hasznosak. Nem tart olyan sokáig felfedezni, hogy az ember nem tér vissza a kiindulási ponthoz. (Természetesen a görbe rajz is magyarázhatja ezt; ezért vannak bizonyítékaink.)

ezek az eredmények kiterjednek a magasabb dimenziókra is. A negatívan ívelt kompakt Riemann-Elosztók geodéziai áramlása ergodikus. Klasszikus példa erre az Anosov-áramlás, amely a hiperbolikus sokrétű horocycle-áramlás. Ez egyfajta Hopf fibrációnak tekinthető. Az ilyen áramlások általában a klasszikus mechanikában fordulnak elő, amely a fizika tanulmányozása véges dimenziós mozgó gépek, pl. a kettős inga és így tovább. A klasszikus mechanika szimplektikus elosztókra épül. Az ilyen rendszerek áramlása stabil és instabil elosztókká bontható; általános szabály, hogy ha ez lehetséges, kaotikus mozgás következik be. Hogy ez általános, látható, ha megjegyezzük, hogy a Riemann–sokaság kotangens kötege (mindig) szimplektikus sokaság; a geodéziai áramlást a Hamilton-Jacobi egyenletek erre a sokaságra. A kanonikus koordináták (q , p ) {\displaystyle (q, p)}

a cotangens sokaságon a Hamiltoni vagy az energiát H = 1 adja meg 2 db i j g i j (q) p i p j {\displaystyle H={\tfrac {1}{2}} \ sum _ {ij}g^{IJ} (q) p_{i}p_{j}}

g i j {\displaystyle g^{ij}}

a metrikus tenzor (inverz) és p i {\displaystyle p_{i}}

a lendület. A kinetikus energiához való hasonlóság E = 1 2 m v 2 {\displaystyle E={\tfrac {1}{2}}mv^{2}}

egy pont részecske aligha véletlen; ez az egész pont az ilyen dolgokat “energiának”nevezzük. Ebben az értelemben az ergodikus pályákkal való kaotikus viselkedés többé-kevésbé általános jelenség a geometria nagy területein.

Ergodicitási eredményeket szolgáltattak transzlációs felületeken, hiperbolikus csoportokban és szisztolés geometriában. A technikák közé tartozik az ergodikus áramlások tanulmányozása, a Hopf-bomlás, valamint az Ambrose–Kakutani–Krengel–Kubo tétel. A rendszerek fontos osztálya az axióma a rendszerek.

számos osztályozási és “osztályozás elleni” eredmény született. A Ornstein izomorfizmus tétel itt is érvényes; ismét kijelenti, hogy ezeknek a rendszereknek a többsége izomorf néhány Bernoulli-sémával. Ez meglehetősen szépen összekapcsolja ezeket a rendszereket az előző szakaszban a sztochasztikus folyamathoz adott ergodicitás meghatározásával. Az anti-osztályozási eredmények azt állítják, hogy több mint megszámlálhatatlanul végtelen számú egyenlőtlenség van ergodikus mértékmegőrző dinamikus rendszerek. Ez talán nem teljesen meglepő, mivel a Cantor halmaz pontjait felhasználhatjuk hasonló, de eltérő rendszerek felépítésére. Lát intézkedés-megőrző dinamikus rendszer néhány osztályozás elleni eredmény rövid felméréséhez.

történelmi fejlődésedit

az ergodicitás gondolata a termodinamika területén született, ahol a gázmolekulák egyes állapotait össze kellett kapcsolni a gáz egészének hőmérsékletével és annak időbeli alakulásával. Ehhez meg kellett határozni, hogy pontosan mit jelent a gázok jól keveredése, hogy a termodinamikai egyensúly matematikai szigorúsággal meghatározható legyen. Miután az elmélet jól fejlett volt a fizikában, gyorsan formalizálták és kiterjesztették, így az ergodikus elmélet már régóta önálló terület a matematika önmagában. Ennek a fejlődésnek a részeként az ergodicitásnak több, kissé eltérő meghatározása és a fogalom különböző területeken történő értelmezésének sokasága létezik együtt.

például a klasszikus fizikában a kifejezés azt jelenti, hogy egy rendszer kielégíti a termodinamika ergodikus hipotézisét, a releváns állapottér a pozíció és a momentum tér. A dinamikus rendszerek elméletében az állapottér általában általánosabb fázistérnek számít. Másrészt a kódolási elméletben az állapottér gyakran diszkrét mind időben, mind állapotban, kevésbé egyidejű szerkezettel. Mindezeken a területeken az időátlag és az ensemble average ötletei szintén extra poggyászt hordozhatnak—ahogyan ez a sok lehetséges termodinamikailag releváns partíciós funkció esetében is, amelyeket az ensemble átlagok meghatározására használnak a fizikában, vissza. Mint ilyen a intézkedés a koncepció elméleti formalizálása egyesítő tudományágként is szolgál.

EtymologyEdit

az ergodikus kifejezést általában a görög (Ergon: “munka”) és a (Hodos: “út”, “út”) szavakból eredeztetik, amelyeket Ludwig Boltzmann választott, miközben a statisztikai mechanika problémáján dolgozott. Ugyanakkor azt is állítják, hogy az ergomonode származéka, amelyet Boltzmann talált ki egy viszonylag homályos, 1884-es cikkben. Úgy tűnik, hogy az etimológiát más módon is vitatják.