5.1 Bevezetés
Fluid mechanics általában és határ rétegek különösen matematikailag összetett. Az ilyen komplexitás időnként nemcsak a folyadékok tanulmányozását és megértését, hanem az Alkalmazott Matematika tudományágát is elősegíti. A matematika továbbra is lehetővé teszi a szükséges következtetések levonását több tudományágból. E célból számos matematikus továbbra is jelentősen hozzájárul a folyadékdinamika tudományágához.
a határréteg-problémák egy fizikai változó értékének gyors változását jelentik a tér egy korlátozott régiójában, és az egyes perturbációs problémák egy adott osztályát alkotják. Ebben a tekintetben szinte az összes határréteg-probléma magában foglalja differenciálegyenletek amelyben a legmagasabb derivált kifejezést megszorozzuk egy kis paraméterrel. Ezenkívül a határréteget mindig szeminfinitnek tekintik, amelynek fő oka az, hogy nem kell figyelembe venni a véghatárhatásokat, ahol minden megjósolhatatlan és elképzelhető. A végtelen felület figyelembevétele olyan nehéz lehet, hogy elvonja a figyelmet a vizsgálat fő érdekéről. Ennek ellenére semmi sem tiltja a kutatók fiatalabb generációját abban, hogy szembesüljenek ezzel a problémával, figyelembe véve előnyüket, hogy viszonylag nagyobb tudásanyagnak vannak kitéve, mint az előző generációk.
a hidro – vagy folyadékdinamikát nemlineáris parciális differenciálegyenletek (PDE-k) szabályozzák, amelyeket analitikusan nagyon nehéz megoldani. Legjobb tudomásunk szerint ezekre az egyenletekre nincs általános zárt formájú megoldás. A határréteg szabályozó egyenletei elsősorban a másodrendű nemlineáris parciális differenciálegyenletek (PDE-k) rendszerének egyszerűsítésén alapulnak, amelyek a Navier–Stokes (NS) mozgásegyenletek viszkózus áramlásokra. Az egyszerűsítés által kínált Prandtl 1908-ban általában nevezik Prandtl határréteg (PBL) egyenletek. Az elliptikus ns-egyenletekkel ellentétben a határréteg-egyenletek parabolikusak, és a megoldásukhoz használt technikák a határréteg-áramlások hasonlóságának törvényein alapulnak.
három elsődleges módszer használható a határréteg problémáinak megoldására: a hasonlóság vagy differenciál módszer (leggyakoribb megközelítés), az integrál módszer és a teljes numerikus megoldás módszer . A nemlineáris PDE-k számos speciális esete megfelelő változásokhoz vagy nyújtási transzformációkhoz vezetett, attól függően, hogy milyen feladatot kívánnak végrehajtani. Egyes transzformációk linearizálják a vizsgált egyenletrendszert, míg mások átalakítják a rendszert olyanra, amelyre megoldás létezik. Azokat a transzformációkat, amelyek a PDE-k rendszerét rendes differenciálegyenletek (ODEs) rendszerévé redukálják a probléma eredendő szimmetriájának kihasználásával, gyakran “hasonlósági transzformációknak” tekintik.”A hasonlósági módszer az eredeti Blasius-módszer, amelyet a határréteg-problémák analitikus megoldására fejlesztettek ki. Blasius bevezetett és alkalmazott egy független változót, az úgynevezett hasonlósági változót a Prandtl határréteg-egyenleteihez . Ez azon a feltevésen alapult, hogy a sebesség geometriailag hasonló az áramlási irány mentén, ahol a megőrzési PDE-ket átalakítják Ode-kké. A hasonlóság transzformáció rögzíti a határréteg növekedését, és jelentősen leegyszerűsíti az irányadó egyenletek elemzését és megoldását. Egy hasonlósági változó megtalálása, amely alkalmas az átalakulásra, inkább művészet, mint tudomány, és jó betekintést igényel a problémába. A PDE-kben lévő független változók számát gondosan átalakítják egyetlen független változóvá (hasonlósági változóként ismert). Az eredeti kezdeti határfeltételeket szintén megfelelő határfeltételekké alakítják át az új kombinált változóban.
a hasonlósági transzformációs technika nélkülözhetetlen eszköz a folyadék mechanikai viselkedésének elemzéséhez általában, különösen a határréteg-folyamatokban. Az aszimptotikus technikák lehetővé teszik számunkra, hogy egyszerűvé tegyük a komplex rendszer, amely aztán az empirizmus megvilágosodott formáját biztosítja, amelyet hasonlóságnak nevezünk. Számos módszert és megközelítést fejlesztettek ki a hasonlósági változók megtalálására, például a Vaschy–Buckingham Pi tétel . A hasonlósági változók megtalálásának legszigorúbb és szisztematikus megközelítése a transzformációk Lie csoportján alapul . A Lie-csoportos megközelítés előfeltétele, hogy a kezdeti egyenlet minden változóját végtelenül kis transzformációnak vetjük alá. Az az igény, hogy az egyenlet invariáns legyen ezekben a transzformációkban, a potenciál vagy a lehetséges szimmetriák meghatározásához vezet. Ezt a megközelítést rutinszerűen alkalmazták a határréteg-egyenletekre. Apropó határréteg elmélet, a szerzők átfogó beszámolót adtak a klasszikus módszerekről, beleértve a megoldandó probléma perspektívájától függően számos lehetséges eredményt. A Clarkson-Krustal közvetlen módszer, amelyet a hasonlóságcsökkentések megtalálására használnak, a bizonytalan határréteg-egyenletekben alkalmazták. Fontos megjegyezni, hogy a talált hasonlósági változó nem egyedi vagy csak egy problémára jellemző; adott esetben alkalmazható más hasonló problémákra is. Ezenkívül Hansen megvitatta a hasonlósági transzformációk megtalálásához használt “stretching variable” módszert. Összességében a hasonlósági problémák az eredeti PBL-egyenleteket olyan formára redukálják, amely invariáns az Affin transzformációk tekintetében. A helyi áramlási mezőt ezután a határréteget szabályozó PDE-k analitikai/numerikus megoldásaival oldjuk meg. Jellemző, hogy a határréteg-áramlások sebességprofiljai homotetikus görbék és diagramok sorozatát eredményezik. Miért tipikusan homotetikus? Ami a sebességprofilt illeti, például uu-val normalizáljuk, és ez hajlamos vagy megközelíti az egységet. Hasonlóképpen, ami a hőmérsékleti profilt illeti, a freestream hőmérsékletet vagy a T−T-T-t normalizáljuk, és ez nulla vagy megközelíti. Az integrált módszerek más tekintetben zárt formájú oldatokat eredményeznek a sebesség, a hőmérséklet és a koncentráció tömegátvitelének profiljával. Ez magában foglalja az egyenletek integrálását a faltól a szabad áramlásig, így olyan általános teljesítményt eredményez, amely magában foglalja a határréteg növekedését. Végül a teljes numerikus módszer jól bevált numerikus sémákat és gyakorlati szimulációs kódokat használ nagy sebességű számítógépekkel számos határréteg-probléma megoldására.
meg kell jegyezni, hogy az irodalom egyes tanulmányai pontos megoldásokként tárgyalják eredményeiket. Ebben a tekintetben fontos az óvatosság. Általában, amikor alapvető egyenletek “pontos megoldásairól” beszélünk, például az NS-egyenletekről, és ez lehet A teljes NS-egyenlet vagy bármelyik közelített formája, mindaddig, amíg a kapott megoldások bármilyen technikával valóban pontosak, vagyis nincs jobb megoldás. A pontosság maga az egyenlet megoldására utal. Ha a szóban forgó egyenlet egy robusztusabb egyenlet közelítése volt, akkor a megoldás pontosságának csak a hozzávetőleges megoldásra kell vonatkoznia.