ha matematikai szimbólumokat használunk a Riemann zeta function leírására, akkor azt végtelen sorozatként ábrázoljuk:
6 ( S) = 1 n = 1 N S , R E ( s ) > 1. {\displaystyle \ zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}},\quad \mathrm {Re} (s)>1.}
ahol R e ( s ) {\displaystyle \mathrm {Re} (s)}
az s {\displaystyle s}
komplex szám valós része . Például, ha s = a + I b {\displaystyle s=a+ib}
, akkor R E ( s ) = a {\displaystyle \mathrm {Re} (s)=a}
(ahol i 2 = − 1 {\displaystyle I^{2}=-1}
).
ez egy sorozatot készít. Ennek a sorrendnek az első néhány kifejezése a következő lenne:
1 1 s + 1 2 s + 1 3 s … {\displaystyle {\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}\ldots }
és így tovább
ez azonban nem vonatkozik azokra a számokra, ahol r e ( s ) < 1 {\displaystyle \mathrm {re} (s)<1}
, mivel ha ezt a funkciót végtelen összegként értelmezzük, akkor az összeg nem konvergál. Ehelyett eltér. Ez azt jelenti, hogy ahelyett, hogy közeledne egy adott értékhez, végtelenül nagy lesz. Riemann analitikus folytatást használt, hogy az 1 kivételével minden számnak értéket tudjon adni. ons ( 1) {\displaystyle \ zeta (1)}
a harmonikus sorozatot képviseli, amely eltér, ami azt jelenti, hogy az összeg nem közelít meg egyetlen konkrét számot sem.
Leonhard Euler felfedezte az első eredményeket a sorozatról, amelyet ez a funkció képvisel a tizennyolcadik században. Bebizonyította, hogy a zéta függvény prímszámok végtelen szorzataként írható. A matematikai jelölésben:
6338 = 1 1 − p − s {\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p | {\text{prím}}}{\frac {1}{1-p^{- s}}}}
