a hordozó sűrűsége fontos a félvezetők számára, ahol fontos mennyiség a kémiai dopping folyamatában. A sávelmélet segítségével az elektron sűrűsége, n 0 {\displaystyle n_{0}}
az elektronok száma egységnyi térfogatra a vezetési sávban. Lyukak esetén p 0 {\displaystyle p_{0}}
az egységnyi térfogatra jutó lyukak száma a vegyértéksávban. Az elektronok számának kiszámításához azzal az elképzeléssel kezdjük, hogy a vezetési sávú elektronok teljes sűrűsége, n 0 {\displaystyle n_{0}}
, csak összeadja a vezető elektron sűrűségét a sáv különböző energiái között, az E c {\displaystyle e_{c}}
sáv aljától az E t o p {\displaystyle e_{top}}
. n 0=\int\limits _{e_{c}}^{e_{top}} n ( E ) de}
mivel az elektronok fermionok, a vezető elektronok sűrűsége bármely adott energiánál, N (E ) {\displaystyle N (E)}
az állapotok sűrűségének szorzata, g ( e ) {\displaystyle g(E)}
vagy hány vezető állapot lehetséges a Fermi–Dirac eloszlással, F ( E ) {\displaystyle f(E))}
ami megmondja, hogy azoknak az állapotoknak a része, amelyekben valóban elektronok lesznek” bennük ” N ( E ) = g ( E ) f ( E ) {\displaystyle N(E)=g(E)f (E)}
a számítás egyszerűsítése érdekében ahelyett, hogy az elektronokat fermionokként kezelnénk, a Fermi–Dirac eloszlás szerint, ehelyett klasszikus, nem kölcsönhatásban lévő gázként kezeljük őket, amelyet a Maxwell-Boltzmann eloszlás ad. Ennek a közelítésnek elhanyagolható hatása van, ha a magnitúdó / E-E f | kb {\displaystyle /E-e_{F} / \ gg k_{B}T}
, ami igaz a szobahőmérséklet közelében lévő félvezetőkre. Ez a közelítés érvénytelen nagyon alacsony hőmérsékleten vagy rendkívül kicsi sávrés esetén. f (E ) = 1 1+E E − E F K T E − (E-E f ) k b t {\displaystyle f(E)={\frac {1}{1 + e^{\frac {e-e_{f}}{kT}}}}\KB e^{\frac {- (e-e_{F})} {k_{B}T}}}
az állapotok háromdimenziós sűrűsége:
g ( E ) = 1 2 6 (2 m 2) 3 2 E-E 0 {\displaystyle g(e)={\frac {1} {2\Pi ^ {2}}}\balra ({\frac {2M ^ {*}} {\hbar ^ {2}}}\jobbra)^{\frac {3} {2}} {\sqrt {e-E_{0}}}}
a kombináció és az egyszerűsítés után ezek a kifejezések a következőkhöz vezetnek:
n 0 = 2 (m kb n T 2 kb 2) 3 / 2 {\displaystyle n_ {0}=2\bal ({\frac {m ^ {*} k_ {B} T} {2\pi \ hbar ^ {2}}}\jobb)^{3/2}}
e − ( E c-E f) k B t {\displaystyle e^{\frac {- (e_{C} – e_{f})}{k_{B}T}}}
hasonló kifejezés származhat a lyukakhoz. A vivőkoncentráció kiszámítható úgy, hogy az előre-hátra mozgó elektronokat kezeljük a sávtartón, akárcsak a kémia reverzibilis reakciójának egyensúlyát, ami elektronikus tömeghatási törvényhez vezet. A mass action törvény egy n i {\displaystyle n_{I mennyiséget határoz meg}}
az úgynevezett belső hordozó koncentráció, amely a nem koptatott anyagok esetében: n i = n 0 = p 0 {\displaystyle n_{i} = n_{0}=p_{0}}
az alábbi táblázat felsorolja a belső félvezetők belső vivőkoncentrációjának néhány értékét.
| anyag | hordozó sűrűsége (1 / cm3) 300K-nál |
|---|---|
| Szilícium | 9.65×109 |
| germánium | 2.33×1013 |
| Gallium-arzenid | 2.1×106 |
ezek a hordozókoncentrációk megváltoznak, ha ezeket az anyagokat adalékolják. Például a tiszta szilícium kis mennyiségű foszforral történő doppingolása növeli az elektronok hordozósűrűségét, n. ezután, mivel n > p, az adalékolt Szilícium n típusú külső félvezető lesz. A tiszta szilícium kis mennyiségű bórral történő doppingolása növeli a lyukak hordozósűrűségét, így p > n, és p típusú külső félvezető lesz.