リーマンゼータ関数を記述するために数学的記号を使用するとき、それは無限級数として表されます：
σ(s)=σ n=1≤1n s,R e(s)>1。 {\displaystyle\zeta(s)=\sum_{n=1}.{\infty}{\frac{1}{n^{s}}},\quad\mathrm{Re}(s)>1.{\Displaystyle\zeta(s)=\sum_{n=1}.{\infty}{\frac{1}{n^{s}}},\quad\mathrm{Re}(s)1..これは、z zeta(s)=\sum_{n=1}.{\infty}{\frac{1}{n^{s}}},を意味します。}
ここで、R e(s){\displaystyle\mathrm{Re}(s)}は、Re(s){\displaystyle re(S)}
は複素数s{\displaystyle s}
の実数部である。 例えば、s=a+i b{\displaystyle s=a+ib}
ならば、R e(s)=a{\displaystyle\mathrm{Re}(s)=a}
(ここでi2=−1{\displaystyle i^{2}=-1}
).
これはシーケンスを作成します。 このシーケンスの最初のいくつかの項は、
1 1s+1 2s+1 3s…{\displaystyle{\frac{1}{1^{s}}}+{\frac{1}{2^{s}}}+{\frac{1}{3^{s}}}\ldots}
など
しかし、これはR e(s)<1{\displaystyle\mathrm{Re}(s)}の数には適用されません)<1}
, この関数を無限の和として解釈すると、和は収束しないためです。 代わりに、それは発散します。 これは、特定の値に近づくのではなく、無限に大きくなることを意味します。 リーマンは1を除くすべての数に値を与えることができるように、分析的継続を使用しました。 σ(1){\displaystyle\zeta(1)}
和は、任意の特定の数の近くにないことを意味し、発散する調和級数を表します。
レオンハルト-オイラーは、この関数が表す級数に関する最初の結果を十八世紀に発見した。 彼はゼータ関数が素数の無限積として書くことができることを証明した。 数学的表記法では、
ζ(s)=ζ p|prime1 1−p−s{\displaystyle\zeta(s)=\prod_{p/{\text{prime}}}{\frac{1}{1−p^{-s}}}{1−p^{-s}}{1-p^{-s}}{1-p^{-s}}{1-p^{-s}}{1-p^{-s}}{1-p^{-s}}}}}}
