三次元編集
3Dの空間曲線。位置ベクトルrはスカラー tによってパラメータ化されます。R=aでは、赤い線は曲線の接線であり、青い平面は曲線に対して法線です。
三次元では、三次元座標の任意のセットとそれに対応する基底ベクトルを使用して、空間内の点の位置を定義することができます。
一般的には、よく知られているデカルト座標系、または時には球面極座標、または円筒座標を使用します:
r(t)≡r(x,y,z)≡x(t)e^x+y(t)e^y+z(t)e^z≡(ただし、r、θ、抽)≡r(t)e^r(θ(t)を抽(t))≡(ただし、r、θ、z)≡r(t)e^r(θ(t))+z(t)e^z {\displaystyle{\begin{揃え}\mathbf{r}(t)&\equiv\mathbf{r}(x,y,z)\equiv x(t)\mathbf{\hat{e}}_{x}+y(t)\mathbf{\hat{e}}_{y}+z(t)\mathbf{\hat{e}}_{z}\\&\equiv\mathbf{r}(r,\theta,\phi)\equiv r(t)\mathbf{\hat{e}}_{r}{\ッ}\theta(t)\phi(t){\big)}\\&\equiv\mathbf{r}(r,\theta,z)\equiv r(t)\mathbf{\hat{e}}_{r}{\ッ}\theta(t){\き ここで、tは、それらの長方形または円形の対称性のために、パラメータである。 これらの異なる座標と対応する基底ベクトルは、同じ位置ベクトルを表します。 代わりに、より一般的な曲線座標を使用することができ、連続力学や一般相対性理論のような文脈で使用できます（後者の場合は追加の時間座標が必
n次元編集
線形代数は、n次元の位置ベクトルの抽象化を可能にします。 位置ベクトルは、基底ベクトルの線形結合として表すことができます：
r=λ i=1n x i e i=x1e1+x2e2+λ+x n e n。 {\displaystyle\mathbf{r}=\sum_{i=1}x{n}x_{i}\mathbf{e}_{i}=x_{1}\mathbf{e}_{1}+x_{2}\mathbf{e}_{2}+\dotsb+x_{n}\mathbf{e}_{n}である。}
すべての位置ベクトルの集合は、空間内の別の位置ベクトルを得るために位置を加算（ベクトル加算）し、長さを拡大縮小（スカラー乗算）することができるため、位置空間（要素が位置ベクトルであるベクトル空間）を形成する。 各xi(i=1,2,…,n)は任意の値を持つことができるので、「空間」の概念は直感的であり、値の集合は空間内の点を定義する。
位置空間の次元はn（dim(r)=nとも表記される）である。 基底ベクトルeiに対するベクトルrの座標はxiであり、座標のベクトルは座標ベクトルまたはnタプル(x1,x2,…,xn)を形成する。
各座標xiは、いくつかのパラメータtをパラメータ化することができる。 一つのパラメータxi(t)は湾曲した1Dパスを記述し、二つのパラメータxi(t1,t2)は湾曲した2Dサーフェスを記述し、三つのxi(t1,t2,t3)は湾曲した3D空間ボリュームを記述するなどである。基底集合B={e1,e2,…,en}の線型スパンは、span(B)=Rで表される位置空間Rに等しい。