5.1はじめに
一般的な流体力学と特に境界層は数学的に複雑です。 このような複雑さは、流体の研究と理解を進めるだけでなく、応用数学の規律を進歩させることもあります。 数学は、いくつかの分野から多くの必要な結論を引き出すことを可能にし続けています。 この目的のために、多くの数学者は流体力学の規律に重要な貢献を続けています。
境界層問題は、限られた空間領域上の物理変数の値の急速な変化を伴い、特異摂動問題の特定のクラスを構成します。 この点で、ほぼすべての境界層問題は、最高微分項に小さなパラメータを乗算する微分方程式を含む。 また、境界層は常にsemiinfiniteと考えられており、主な理由は、すべてのimponderablesと想像が期待できる終わりの境界効果を考慮する必要がないことです。 無限の表面を考慮することは、最初のインスタンスでの照会の主な関心からそらすことが非常に困難であるかもしれません。 とはいえ、若い世代の研究者がこの問題に直面することを禁止するものは何もなく、前の世代よりも比較的大きな知識への暴露の利点を考慮する。
流体力学は非線形偏微分方程式（Pde）によって支配され、解析的に解くことは非常に困難です。 私たちの知る限りでは、これらの方程式に対する一般的な閉形式の解は存在しません。 境界層の支配方程式は，主に粘性流に対するＮａｖｉｅｒ-Ｓｔｏｋｅｓ（Ｎ ｓ）運動方程式として知られる二次非線形偏微分方程式（Ｐｄｅ）のシステムの単純化に基づいている。 1908年にプラントルによって提供された単純化は、一般的にプラントル境界層（PBL）方程式と呼ばれています。 楕円形のNS方程式とは異なり、境界層方程式は本質的に放物線状であり、それらを解くために使用される手法は境界層流における類似性の法則に基づ
境界層の問題を解決するために三つの主要な方法を使用することができます：類似性または微分法（最も一般的なアプローチ）、積分法、および完全な数値解法。 非線形Pdeの多くの特殊なケースは、達成することを意図しているタスクに応じて、変数または伸張変換の適切な変更をもたらしました。 いくつかの変換は、検討中の方程式系を線形化し、他の変換は、解が存在するものにシステムを変換する。 問題の固有の対称性を利用することによって、Pdeのシステムを常微分方程式（Ode）のシステムに還元する変換は、しばしば「類似変換」と見なされます。”類似性法は、境界層問題を解析的に解くために開発されたオリジナルのBlasius法です。 ブラシウスは、プラントルの境界層方程式に類似変数と呼ばれる独立変数を導入し、採用した。 これは、速度が流れ方向に沿って幾何学的に類似しており、保存PdeがOdeに変換されるという前提に基づいていました。 類似性変換は境界層の成長を捕捉し，支配方程式の解析と解を大幅に簡素化する。 変換が行われるのに適した類似性変数の発見は、科学ではなく芸術であり、問題に対する良好な洞察を必要とする。 Pde内の独立変数の数は、単一の独立変数（類似性変数として知られている）に慎重に変換されます。 元の初期境界条件も、新しい結合変数で適切な境界条件に等しく変換されます。
相似変換技術は、一般的に、特に境界層プロセスにおける流体機械的挙動の解析に不可欠なツールです。 漸近的な技術は、単純な複雑なシステムを作ることを可能にし、それは我々が類似性と呼ぶ啓発された経験主義の形態を提供する。 類似変数を見つけるためのいくつかの方法とアプローチ、例えばVaschy–Buckingham Pi定理が開発されている。 類似性変数を見つけるための最も厳密で体系的なアプローチは、変換のリー群に基づいています。 Lie-groupアプローチの前提は、初期方程式の各変数が無限小変換を受けることです。 これらの変換の下で方程式が不変であるという要求は、潜在的または可能な対称性の決定につながる。 このアプローチは境界層方程式に日常的に適用されてきた。 Apropos境界層理論、の著者は、解決すべき問題の視点に応じて、いくつかの可能な結果を含む古典的な方法の包括的なアカウントを提供しました。 非定常境界層方程式に類似性低減を求めるために用いたＣｌａｒｋｓｏｎ–Ｋｒｕｓｔａｌ直接法を用いた。 見つかった類似性変数は、一つの問題だけに固有または固有ではなく、適切な場所で他の同様の問題に適用できることに注意することが重要です。 さらに、ハンセンは、類似性変換を見つけるために使用される”伸張変数”法について議論した。 全体として、類似性の問題は、元のPBL方程式をアフィン変換に関して不変な形式に減らします。 次に，局所流れ場を境界層を支配するＰｄｅの解析的／数値的解によって解決した。 特徴的に，境界層流の速度プロファイルはホモテティック曲線とプロットのスイートをもたらす。 なぜ彼らは通常homotheticですか？ 速度プロファイルに関しては、例えば、我々はuU θによって正規化し、これは団結に近づく傾向があるか、または近づく。 同様に、温度プロファイルに関しては、freestream温度、すなわちT−T θによって正規化し、これはゼロに近づく傾向があるか、またはゼロに近づく。 積分法は、別の点で、速度、温度、および濃度の物質移動のプロファイルを仮定することによって閉じた形の解を得る。 これは、壁から自由流への方程式の積分を含み、境界層の成長を含む全体的な性能をもたらす。 最後に，完全数値法は，いくつかの境界層問題を解決するために，よく証明された数値スキームと高速計算機を用いた実用的なシミュレーションコードを使用する。
文献のいくつかの研究では、その結果を厳密解として議論していることに留意すべきである。 この点で注意が重要です。 一般に、NS方程式のような基本方程式の”厳密解”について話すとき、これは完全なNS方程式またはそれらの近似形式のいずれかであり、任意の技術によって得られた解が実際にそれらが来るほど正確である限り、すなわちより良い解が見つからない。 正確性とは、方程式そのものの解を指す。 問題の方程式がより堅牢な方程式の近似であった場合、解の正確性の主張は近似解のみにする必要があります。