パート1では、確率変数が「脂肪尾」分布を持つことの意味について説明します。
遠い？ 太った？
ファットテールを理解するには、次の2つの質問に答える必要があります。
1. どのくらい遠いですか？
2. 脂肪はどのように脂肪ですか？
尾について話すには、中間からどれくらい離れているかを決定する必要があります。 言い換えれば、尾はどこから始まりますか？ それは依存します！ 残念ながら、単一の答えはありません。
正規分布を考えてみましょう。 右と左：二つの尾があることに注意してください。 たとえば、平均からの1つの標準偏差からの分布の「右」尾部を記述する場合、影付きの部分は正規分布の右尾部を指します。
正式には、次のように尾を記述することができます:
- 右テール：P(x>x)
- 左テール：P(x≤-x)
大きな値が’x’の場合。 今、私達は’尾’の概念を知っている。
#For normal distribution with value 'x=a'
a=1
1-pnorm(a) #right tail
pnorm(-a) #left tail
すべての分布には末尾がありますか？
上の一様分布について考えてみてください。 それは尾を持っていますか？ このブログでは、すべての分布に尾があるわけではありません。
“x”が大きくなったときのpdfの特性を”尾の振る舞い”で記述したい場合、有界分布には尾がありません。 それにもかかわらず、尾のいくつかの特徴を定量化することができる。 特に、限界と漸近的な振る舞いを使用することによって、重い尾の概念を定義することができます。 SASブログ
以下に（指数関数的に）有界/有界でない分布を説明します。 あなたがそこに着くときに均一な分布を思い出させてください！
なぜ分布の”尾”部分を気にする必要がありますか？
流通のテール部分がリスク管理の主な関心事となっている。 例えば、リターンまたは損失の分配のために最も頻繁に使用される二つのリスク対策は、リスク価値（VaR）と予想不足（ES）
なぜ損失がリターンではないのですか？
- 損失は文字通りマイナス（-）リターン
- 負の無限大への限界を取ることは直感的ではありません。 したがって、戻り値の負の値、つまり分布をy軸上に回転させます。
数量VaRとESが’tail’にどのように関連しているかを確認してください。 それらの背後にある数学や意味を理解する必要はありません。
“下のグラフはリターンではない損失の分布であることに注意してください！”
特定の保有期間におけるある資産の損失L、等価的に（負の）リターンの分布について考えてみましょう。 理解のために、明日の損失の確率変数は正規分布に従うと仮定します:
次に、次の方法でVaRを計算できます:
二行目を通して、VaRが脂肪の尾に関連する単なる量であることを簡単に確認することができます。 VaRの詳細については、書籍”定量的リスク管理：概念、技術、ツール”の第二章とEric Zivotの講義ノートを彼のウェブサイトで確認してください。
alpha = 0.95 #significant level
VaR.alpha = qnorm(alpha, mu, sigma)
VaR.alpha = mu + sigma*qnorm(alpha, 0, 1)
同様に、予想される不足は分布の尾部に関連する数量であることがわかります:
四行目では、”ESは損失分布の上部”尾”で予想される損失です。 VaRと同様に、正規分布の場合は、切り捨てられた正規分布の平均に過ぎないので、ESを計算すると便利です。
alpha = 0.95
q.alpha.z = qnorm(alpha)
ES.alpha = mu + sigma*(dnorm(q.alpha.z)/(1-alpha))
なぜ1—αで割るのか興味がある人は、切り捨てられた損失分布の積分が1であることを確認するための正規化定数（またはスケーリング係数）です。
“テール”の話に戻ると、テール分布がリスク管理ツールとして広く使用されていることを強調したかっただけです。
太っているとはどういうことですか？ どのように重い重いですか？
我々は’尾’が分布しており、それが使用されている場所を考え出したので、今では’脂肪’の部分について話をする時間です。 私たちは皆、正規分布には脂肪尾がないことを知っています。 代わりに、財務収益系列をモデル化するときにstudent-t分布と対数正規分布を使用して、’fat-tail’プロパティを考慮に入れるように教えられました。 しかし、我々は脂肪の尾の定義を知る必要があります。 残念ながら、脂肪という用語の普遍的な定義はありません。
私は英語、グラフ、数学の言語で脂肪の尾を説明しようとします。 あなたは三つの少なくとも一つを楽しむことを願っています。
- 重い尾の分布は、指数分布よりも重い尾を持っています(Bryson,1974)
- 分布は、尾部が指数分布よりもゆっくりと減衰するときに重い尾を持っていると言われています。
なぜ指数関数？
指数分布を参照として使用すると便利です。 指数分布のpdfは、”指数関数的に”速くゼロに近づきます。 つまり、pdfの末尾は指数分布のように見えます（ただし、動作は異なります）。グラフの言語では、
以下のように、異なる分布のセットの右端の尾で何が起こるかを示す4つの異なるグラフを表示します:
- 指数分布(exp)
- べき乗則分布(PL)
- 正規分布(N)
- 対数正規分布(LN)
- スチューデントt分布
- コーシー分布
- レヴィ分布
- ワイブル分布
これらの分布のそれぞれについては説明しません。 代わりに、これらの分布のグラフを楽しんで、尾部で何が起こっているのかを感じてみましょう。 最初のグラフは、’x’があるグラフ全体の一部を示しています
の最後に提供されています。 しかし、ここで言及する価値があるいくつかのことがあります
- 正規分布、student-t分布およびCauchy分布は両側分布です。 他のすべては片側分布
- PL(2.5)とPL(3.5)の場合、x=1.7の近くに交差点があり、PL(2.5)がより厚い尾を持っていることを示しています。
‘x’が入っているときの様子を見てみましょう。 Y軸の値ははるかに小さくなることに注意してください。
Q:このグラフには何が表示されますか?
A:一番上のラインは一番太い尾を持っているでしょう！ （しかし、かなりではありません！!!）そして、あなたはなぜ表示されます！
事前に、上の図6の重要な事実を調べてみましょう。
- X=5の場合、正規分布とexp(2)分布は0付近でクロールされます。 特に正規分布の場合、5標準偏差のpdf値は0.000001486（=pnorm（5））です。 これはコーシー分布の約8000倍小さい。 言い換えれば、5つのシグマイベントは、正規分布よりもコーシー分布の下で8000倍発生する可能性が高くなります。
- 図6では、exp(0.2)分布は対数正規分布とべき乗則分布よりもはるかに上に位置することに注意してください。 ‘X’値の範囲を拡張した後、次のグラフでどのように反転するかを確認してください。
‘x’が入っているときの様子を見てみましょう。 繰り返しますが、y軸の値ははるかに小さくなることに注意してください。
- 青い線exp(0.2)は、PL(2.5)とCauchyである他の二つを横切っている間に速く減衰することに注意してください。 これは「指数分布よりも減衰が遅い」という意味です
- ‘x’が100に等しい近くで何が起こるかを見るのは驚くべきことです。 PL(1.5)のpdf値は0.0005です。 PL（1.5）では、第1瞬間と第2瞬間（平均と分散）が無限であるのも不思議ではありません。 これに関する詳細情報は、次のドキュメントで説明します。 お楽しみに！
y軸をズームして、どのように動作するかを詳しく見てみましょう！
- 驚くべきことに、青い線exp(0.2)は、PL(3.5)とLN(0,1)を交差させることによって減少します。 また、LN(0,1)はPL(3.5)よりも速く減衰し、PL(3.5)を横切り、その下に入ることがわかります。
- PL(1.5)、PL(2.5)およびLevy分布は、このグラフには表示されません。
数学の言語では、
Fat tail distributionは重尾分布のサブクラスです。 これは、すべての太った尾の分布が重い尾の分布であることを意味しますが、その逆は真実ではありません（たとえば、ワイブル）。 Jay Taylorの講義ノートによると、彼は重いものと脂肪を次のように区別しました。
重い尾の定義
- 分布は、尾が指数関数的に束縛されていない場合、右の重い尾を持つと言われます
‘x’が大きくなると、指数関数的に増加する速度は、重い右尾の確率を減少させる速度よりも速いと解釈することができます。 それについて考えるのに時間がかかります！
それが英語の定義にどのように接続するかを参照してください。
- 指数関数よりも遅く減衰する確率分布関数を右ヘビーテイルと呼びます。
指数関数的に束縛されたとき？
重い右テールが十分に重くない場合、すなわち’x’が無限大になると超高速に減衰する場合、式1はゼロに収束します。 明らかな例は、上で議論したように一様分布です。 ‘X’が1を超えると、Xが1より大きい確率はゼロになり、指数関数的に制限されます。 もう一つの一般的な例は正規分布です。 Xを標準法線とする。 取得するさまざまなラムダ値の一連のグラフを描画します
正規分布の裾が指数関数的に制限されるようにゼロに収束することがわかります。
f_exp = function(x, lambda){return (exp(lambda*x))
cdf_normal = function(x) pnorm(x)
ccdf_normal = function(x) {1-cdf_normal(x)}xs = seq(1,10,length=10000)
plot(xs, f_exp(xs,0.1)*ccdf_normal(xs), type='l', xlab='',ylab='', col='blue', lwd=2)
abline(v=1, lty = 'dashed')
lines(xs,f_exp(xs,0.5)*ccdf_normal(xs), col='purple', lwd=2)
lines(xs,f_exp(xs,1)*ccdf_normal(xs), col='red', lwd=2)
lines(xs,f_exp(xs,1.5)*ccdf_normal(xs), col='orange', lwd=2)
lines(xs,f_exp(xs,2)*ccdf_normal(xs), col='darkred', lwd=2)
lines(xs,f_exp(xs,3)*ccdf_normal(xs), col='darkblue', lwd=2)
grid()
legend(8, 0.15,
legend=c("0.1", "0.5","1","1.5","2","3"), title = "lambda",
col=c("blue",'purple', "red",'orange','darkred','darkblue'), lwd=2, cex=1)
脂肪尾の定義
- 分布は、尾指数と呼ばれる正の指数（α）が存在し、次のようなものである場合、右脂肪尾を持つと言われます
‘~’は定数まで同じことを意味します。 または、尾部はべき乗則に比例します。 正確には、以下のことを意味します。
と
と
したがって、脂肪尾分布の尾部はべき乗の法則に従います（これはマイナスαのべき乗に対する’x’です）。 べき乗則に精通していない人のために、今心配しないでください。 アルファが2に等しいときのグラフを考えてみてください。
上の図5-8で見たように、尾の部分はべき乗則に似ていることを思い出してください。 このシリーズから、べき乗則をより詳細に説明します。
概要
このドキュメントでは、直感的に、グラフィカルに、そして数学的に”fat-tail”という概念について説明しました。 “焼戻し安定分布”を理解するためには、ファットテールの基本的な理解が必要です。 この文書があなたの理解を改善するのに役立つことを願っています。 ご質問がある場合は、以下のコメントをしてください。 私はあなたが次に何が来るのか興味があることを願っています。 次回は、”安定した流通への旅”に戻ってきます”
f_exp = function(x, lambda, xmin) {lambda*exp(-lambda*(x-xmin))}
f_power = function (x, k, x_min) {
C = (k-1)*x_min^(k-1)
return (C*x^(-k))
}
f_cauchy = function(x) dcauchy(x)
f_levy = function(x) dlevy(x) # required package: 'rmulti'
f_weibul = function(x) dweibull(x,shape=1)
f_norm = function(x) dnorm(x)
f_lnorm = function(x) dlnorm(x)
f_t = function(x) dt(x,5)
xs = seq(0.1,100,length=1000)plot(xs, f_exp(xs,0.5,0.1),type='l',xlab='',ylab='', col='blue', lwd=2,
main='Distributions on ', cex.main=1,
xlim=c(0,5),
ylim=c(0,2.5))
lines(xs,f_exp(xs,1,0.1), col='purple', lwd=2)
lines(xs,f_exp(xs,2,0.1), col='bisque3', lwd=2)
lines(xs,f_power(xs,1.5, 1), col='red', lwd=2)
lines(xs,f_power(xs,2.5, 1), col='orange', lwd=2)
lines(xs,f_power(xs,3.5, 1), col='darkred', lwd=2)
lines(xs,f_norm(xs),col='black', lwd=2)
lines(xs,f_lnorm(xs), col='darkgreen', lwd=2)
lines(xs,f_t(xs), col='deeppink', lwd=2)
lines(xs, f_cauchy(xs), col='darkblue', lwd=2)
lines(xs, f_levy(xs), col='azure4', lwd=2)
lines(xs, f_weibul(xs), col='springgreen', lwd=2)
abline(v=2, lty = 'dashed')
abline(v=3, lty = 'dashed')
grid()
legend(3.5, 2.5,
legend=c("exp(0.2)", "exp(1)", 'exp(2)', "PL(1.5)", 'PL(2.5)', 'PL(3.5)', 'N(0,1)','LN(0,1)','student-t(5)','Cauchy','Levy','Weibull'),
col=c("blue",'purple', 'bisque3',"red",'orange','darkred', 'black','darkgreen','deeppink','darkblue', 'azure4','springgreen'), lwd=2, cex=0.8)
Jay Taylor,Heavy-tailed distribution(2013),Lecture notes,
Eric Zivot,Risk Measures(2013),Lecture notes
Aaron Clauset,Inference,Models and Simulation for Complex Systems(2011),Lecture notes
https://blogs.sas.com/content/iml/2014/10/13/fat-tailed-and-long-tailed-distributions.html