電荷キャリア密度

キャリア密度は半導体にとって重要であり、化学ドーピングのプロセスにとって重要な量です。バンド理論を用いて、電子密度n0{\displaystyle n_{0}}

$n_{0}$

は伝導帯の単位体積あたりの電子数です。穴の場合、p0{\displaystyle p_{0}}

$p_{0}$

は価電子帯における単位体積当たりの正孔の数である。電子のこの数を計算するために、我々は、伝導帯電子の総密度、n0{\displaystyle n_{n}}という考えから始めます。{0}}

$n_{0}$

, バンドe c{\displaystyle E_{c}}

$E_{c}$

の底からバンドe t o p{\displaystyle E_{top}}の上まで、バンド内の異なるエネルギーにわたって伝導電子密度を加算するだけです}}

${\$

n0=∑E c E t o P N(E)d e{\displaystyle n_{0}=\int\limits_{E_{c}}^{e_{top}}N(e)dE}

{\displaystyle n_{0}=\int\limits_{E_{c}}^{E_{top}}N(e)dE}

{\displaystyle n_{0}=\int\limits_{E_{c}}N{E_{top}}N(e)dE}}

電子はフェルミオンであるため、任意の特定のエネルギーにおける伝導電子の密度N(E){\displaystyle N(E)})}

${\n(E)}$

は、状態密度g(E){\displaystyle g(e)}

$g(E)$

またはフェルミ–ディラック分布f(E){\displaystyle f(E)}と導電状態がいくつあるかの積である。)}

${\ショボイ f(E)}$

これは、N(E)=g(E)f(E){\displaystyle N(E)=g(E)f(E)}{\displaystyle N(e)=g(E)f(E)}{\displaystyle N(e)}{\displaystyle n(e)}{\displaystyle n(e)}{\displaystyle n(e)}{\displaystyle n(e)}{\displaystyle n(e)}{\displaystyle n(e)}

${\n(E)=g(E)f(E)=g(e)f(E)=g(e))}$

計算を簡単にするために，電子をフェルミ–ディラック分布に従ってフェルミ粒子として扱うのではなく，Ｍａｘｗｅｌｌ-Ｂｏｌｔｚｍａｎｎ分布によって与えられる古典的な非相互作用ガスとして扱う。この近似は、大きさ|E−E f|≤k B T{\displaystyle|E−E_{f}|\gg k_{B}Tのときには無視できる効果を持つ。}

${\|E-E_{f}|\gg k_{B}T}$

これは室温付近の半導体に当てはまります。この近似は、非常に低い温度または非常に小さなバンドギャップでは無効です。 f(E)=1 1+e E−E f k t∈e−(E−E f)k B T{\displaystyle f(E)={\frac{1}{1+e^{\frac{E-E_{f}}{kT}}}}}\approx e^{\frac{-(E-E_{f})}{k_{B}T}}}\approx e^{\frac{-(E-E_{f})}{k_{B}T}}\approx e^{\frac{-(E-E_{f})}{k_{B}T}}\approx e^{\frac{-(e-E_{f})}{k_{}}}

$f（E）=\frac{1}{1+e^{\frac{E-E_{f}}{kT}}}}}\約e^{\frac{-（E-E_{f}）}{k_{B}T}}$

三次元状態密度は次のようになります:{\Frac{1}{2\pi^{2}}}\left({\frac{2m^{*}}{\hbar^{2}}}\right)){\frac{3}{2}}{\sqrt{e−E_{2}}}\left({\frac{2m^{*}}{\hbar^{2}}}\right)g{\frac{3}{2}}{\sqrt{e-E_{2}}}\left({\frac{1}{2\pi^{2}}}\right)g{\frac{1}{2\pi^{2}}}\right)g{\frac{1}{2\pi^{2}}}\right)g{\frac{1}{2\pi^{2}}}{0}}}}

${\g frac{1}{2\pi^{2}}}\left(\frac{2m^{*}}{\hbar^{2}}}\right)^{\frac{3}{2}}{\sqrt{E-E_{2}}}\left(\frac{1}{2\pi^{2}}\right)-{\frac{1}{2\pi^{2}}}\left(\frac{1}{2\pi^{2}}\right)-{\frac{1}{2\pi^{2}}{0}}}}$

組み合わせと単純化の後、これらの式は次のようになります:

n0=2(m≤k B T2≤2)3/2{\displaystyle n_{0}=2\left({\frac{m^{*}k_{b}T}{2\pi\hbar^{2}}}\right)3 3/2{\displaystyle n_{0}=2\left({\frac{m^{*}k_{b}T}{2\pi\hbar^{2}}}\left({\frac{m^{*}k_{b}T}{)^{3/2}}

$n_{0}=2\left（{\frac{m^{*}k_{B}T}{2\pi\hbar^{2}}}\right）rightとなります。)^{3/2}$

e−(E c−E f)k B T{\displaystyle e^{\frac{-(e_{c}-E_{f})}{k_{B}T}}{\displaystyle e^{\frac{-(e_{c}-E_{f})}{k_{B}T}}}}}}}}}}}}}}}}

$e^{\frac{-（E_{c}-E_{f}）}{k_{B}T}T}}$

穴についても同様の式を導出することができます。キャリア濃度は、化学からの可逆的反応の平衡のようにバンドギャップを横切って前後に移動する電子を扱うことによって計算することができ、電子質量作用の法則につながる。質量作用の法則は量n i{\displaystyle n_{i}}を定義する。}}

$n_{i}$

は固有キャリア濃度と呼ばれ、これはドープされていない材料の場合: n i=n0=p0{\displaystyle n_{i}=n_{0}=p_{\displaystyle n_{i}=n_{0}=p_{\displaystyle n_{i}}}{0}}

${\n_{i}=n_{0}=p_{0}}$

次の表は、真性半導体の真性キャリア濃度のいくつかの値を示しています。

材料	キャリア密度(1/cm3)300Kで
シリコン	9.65×109
ゲルマニウム	2.33×1013
ヒ化ガリウム	2.1×106

これらの物質がドープされると、これらのキャリア濃度は変化します。例えば、純粋なシリコンに少量のリンをドープすると、電子のキャリア密度nが増加します。n>pので、ドープされたシリコンはn型外因性半導体になります。純粋なシリコンを少量のホウ素でドーピングすると、正孔のキャリア密度が増加するため、p>nとなり、p型外因性半導体になります。

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