Ergodicity

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Ergodicityは、物理学と数学の広範な設定で発生します。 これらの設定はすべて、測定保存力学系の共通の数学的記述によって統一されています。 これの非公式の説明、およびそれに関するエルゴド性の定義は、すぐ下に与えられています。 これに続いて、確率過程におけるエルゴディシティの記述が続く。 それらは劇的に異なる表記法と言語を使用しているにもかかわらず、同じです。 物理学と幾何学におけるエルゴディシティのレビューは以下の通りである。 すべての場合において、エルゴディシティの概念は力学系の概念とまったく同じであり、見通し、表記法、思考のスタイル、結果が出版されるジャーナルを除いて違いはない。

測定保存力学系編集

エルゴディシティの数学的定義は、ランダム性についての普通の毎日のアイデアをキャプチャすることを目指しています。 これには、拡散やブラウン運動などの空間をすべて（最終的に）埋めるように動くシステムに関するアイデアや、塗料、飲み物、調理成分、工業プロセスの混合、煙で満たされた部屋の煙、土星のリングの塵などの混合の常識的な概念が含まれています。 固体の数学的基盤を提供するために、エルゴード系の記述は、測定保存力学系の定義から始まります。 これは(X,A,θ,T)と書かれます。 {\displaystyle(X,{\mathcal{A}},\mu,T)}である。}

{\(X,{\mathcal{A}},\mu,T)と表記される。}

集合X{\displaystyle X}

X

は、ミキシングボウル、煙で満たされた部屋など、満たされるべき合計スペースであると理解されます。 測度μ{\displaystyle\mu}

\mu

は、空間X{\displaystyle X}

X

とその部分空間の自然体積を定義すると理解される。 部分空間の集合はA{\displaystyle{\mathcal{A}}で表される。}}}

{\このとき、任意の部分集合A∗X{\displaystyle A\subset X}

A\subset X

の大きさはμ(a){\displaystyle\mu(A)}

\mu(A)

であり、その大きさはその体積である。 単純に、人はa{\displaystyle{\mathcal{A}}を想像することができます}}}

{\mathcal{A}}

はX{\displaystyle X}

X

のべき乗集合であり、空間のすべての部分集合が体積を持つわけではないので、これはうまくいかない（有名なBanach-Tarskiのパラドックス）。 したがって、通常、A{\displaystyle{\mathcal{A}}}は}}}

{\mathcal{A}}

は、測定可能な部分集合、すなわち体積を持つ部分集合で構成されています。 それは常にBorel集合、つまり交差点、共用体、集合補集合を取ることによって構成できる部分集合の集合であるとみなされます。

系の時間発展は写像T:X→X{\displaystyle T:X\to X}

{\ショボイT:X\to X}

。 ある部分集合A⊆X{\displaystyle A\subset X}

A\subset X

が与えられたとき、その写像T(A){\displaystyle T(A)}

T(A)

は一般にA{\displaystyle A}

A

の変形版となる。押しつぶされるか、または伸ばされるか、折られるか、または部分に切られる。 数学的な例としては、パン作りに触発されたbaker’s mapとhorseshoe mapがあります。 集合T(A){\displaystyle T(A)}

T(A)

はA{\displaystyle A}

A

と同じ体積を持たなければならない。 ; squashing/stretchingは、スペースのボリュームを変更せず、その分布のみを変更します。 このようなシステムは、”測定保存”（面積保存、体積保存）です。

集合の体積とその大きさを地図の下に保存する必要性を調和させようとすると、形式的な困難が生じる。 この問題は、一般に、関数のドメイン内のいくつかの異なる点がその範囲内の同じ点にマップできるために発生します; すなわち、x∈y{\displaystyle x\neq y}が存在する。}

x\neq y

とt(x)=T(y){\displaystyle T(x)=T(y)}

{\t(x)=T(y)}

。 さらに悪いことに、単一点x∈X{\displaystyle x\in X}

x\in X

はサイズを持たない。 これらの困難は逆写像T−1:A→A{\displaystyle T^{-1}:{\mathcal{A}}\to{\mathcal{A}}を用いることで回避できる。}}}

{\t^{-1}：{\mathcal{A}}\から{\mathcal{A}}}

; 与えられた部分集合A⊆X{\displaystyle A\subset X}

A\subset X

をそれを作るために組み立てられた部分に写像する：これらの部分はT−1(A)⊆A{\displaystyle T^{-1}(A)\in{\mathcal{A}}である。}}}

{\displaystyle T^{-1}(A)inはT T^{-1}(A)Tで割り切れる。}}}

. それは物事がどこから来たのかを見失わないという重要な特性を持っています。 より強く、任意の（測度を保存する）写像A→A{\displaystyle{\mathcal{A}}\を{\mathcal{A}}に写像するという重要な性質を持つ。}}}

{\{\mathcal{A}}\to{\mathcal{A}}}

はある写像X→X{\displaystyle X\to X}

{\displaystyle X\to X}

の逆である。 体積保存写像の適切な定義は、μ(A)=μ(T−1(A)){\displaystyle\mu(A)=\mu(T^{-1}(A)}であるものである。))}

{\displaystyle mu(A)=\mu(T^{-1}(A))}

なぜならt−1(A){\displaystyle T^{-1}(A)})}

{\t^{-1}(A)}

は、A{\displaystyle A}

A

が由来するすべての部分-部分を記述する。

現在、システムの時間進化の研究に関心がある。 集合A∈A{\displaystyle A\in{\mathcal{A}}ならば、aは集合A∈A{\displaystyle A\in{\mathcal{A}}}

a\in{\mathcal{A}}

は、最終的にX{\displaystyle X}

X

のすべてを長期間にわたって満たすようになる（つまり、t n(A){\displaystyle T^{n}(A)}の場合)}

{\t^{n}(A)}

は、大きなn{\displaystyle n}に対してX{\displaystyle X}

X

のすべてに近づく。}

n

), このシステムはエルゴード性であると言われています。 すべての集合A{\displaystyle A}

A

がこのように振る舞うならば、系は保守的な系であり、散逸系とは対照的に配置され、いくつかの部分集合A{\displaystyle A}

A

は決して戻ってこない。 一例は、下り坂を実行している水だろう-それがダウンして実行されたら、それは再び戻ってくることはありません。 しかし、この川の底に形成される湖は、よく混合される可能性があります。 エルゴード分解定理は、すべてのエルゴード系は二つの部分、すなわち保守的な部分と散逸的な部分に分割できると述べている。

混合はエルゴディシティよりも強い声明である。 混合は、任意の2つの集合A,B{\displaystyle A,B}の間でこのエルゴード性を保持することを要求する。}

a,B

であり、ある集合A{\displaystyle A}

A

とX{\displaystyle X}

X

の間だけではない。 すなわち、任意の2つの集合A,B∈A{\displaystyle A,B\in{\mathcal{A}}}

A,B\in{\mathcal{A}}

が与えられたとき、系が（位相的に）混合であるとは、整数N{\displaystyle N}

N

が存在して、すべてのA,B{\displaystyle A,B\in{\mathcal{A}}}が存在することをいう。

a,B

N>N{\Displaystyle N>n}

nn

、t n(a)≤B≤{\Displaystyle T^{N}(A)\Cap b\neq\varnothing}

{\displaystyle t^{N}(A)\cap b\neq\varnothing}を持つ。}(a)\cap b\Neq\Varnothing}

。 ここで、μ{\displaystyle\cap}

\cap

は集合の交叉を表し、μ{\displaystyle\varnothing}

\varnothing

は空集合である。 混合の他の概念は混合された物質が等しい割合でどこでも混合するという概念を記述する強い混合および弱い混合を含んでいます。 これは、粘着性のある、ねばねばした物質を混合しようとする実践的な経験が示すように、自明ではない可能性があります。

エルゴード処理

上記の議論は、ボリュームの物理的な感覚に訴えます。 ボリュームは文字通り3D空間の一部である必要はありません; それはいくつかの抽象的なボリュームにすることができます。 これは一般に、体積（測度）が確率によって与えられる統計システムの場合である。 総体積は確率1に対応します。 この対応は、確率論の公理が測度論の公理と同じであるために機能します。

ボリュームのアイデアは非常に抽象的なことができます。 例えば、すべての可能なコインフリップの集合、すなわち無限の頭と尾の列の集合を考えてみましょう。 この空間に1の体積を割り当てると、そのようなシーケンスの半分は頭で始まり、半分は尾で始まることは明らかです。 このボリュームを他の方法でスライスすることができます：”私は最初のn−1{\displaystyle n}を気にしない”と言うことができます-1}

n-1

coin-flips;しかし、私はn{\displaystyle n{\displaystyle n{\displaystyle n{\displaystyle n{\displaystyle n}}が欲しい}

n

‘それらのthは頭になるために、その後、私はその後に来るものを気にしない”。 これは集合(Σ,Σ,Σ,h,Σ,Σ){\displaystyle(*,\cdots,*,h,*,\cdots)と書くことができる。)}

{\(*,\cdots,*,h,*,\cdots)}

ここで、λ{\displaystyle*}

*

は”気にしない”とh{\displaystyle h}

h

“ヘッド”です。 このスペースのボリュームは再び（明らかに！）を半分にしたものです。

上記は、その全体が測度保存力学系を構築するのに十分である。 H{\displaystyle h}の集合}

h

またはt{\displaystyle t}

t

n{\displaystyle n{\displaystyle n{\displaystyle n}}で発生する。}

n

‘thの場所は、シリンダセットと呼ばれています。 円柱集合のすべての可能な交点、和集合、補集合からなる集合は、ボレル集合A{\displaystyle{\mathcal{A}}を形成する。}}}

形式的には、円柱集合は、すべての可能な無限長のコインフリップの空間X{\displaystyle X}

X

上の位相の基底を形成する。 測度μ{\displaystyle\mu}

\mu

は、h{\displaystyle h}を持つ円柱集合の測度である。}

h

m{\displaystyle m{\displaystyle m{\displaystyle m{\displaystyle m}

m

‘th位置、およびt{\displaystyle t}{\displaystyle t}}

t

k{\displaystyle k{\displaystyle k{\displaystyle k}}では}

k

‘thの位置は明らかに1/4であり、というように。 これらの常識的な性質は、set-complementおよびset-unionに対して持続します: h{\displaystyle h}以外のすべて}

h

とt{\displaystyle t}

t

場所m{\displaystyle m{\displaystyle m{\displaystyle m}}で}

m

とk{\displaystyle k}

k

明らかに3/4のボリュームを持っています。 すべて一緒に、これらはシグマ-加法的測度の公理を形成する;測定保存力学系は常にシグマ-加法的測度を使用する。 コインフリップの場合、この測度はベルヌーイ測度と呼ばれます。

コインフリップ過程の場合、時間発展作用素T{\displaystyle T}は次のように定義される。}

T

は、”最初のコインフリップを捨てて、残りを保つ”というシフト演算子です。 正式な場合(×1、×2、⋯){\displaystyle(x_{1}x_{2},\cdots)}

(x_{1}x_{2},\cdots)

は次のようなコインに切り替わり、T×1、×2、⋯)=(x2x3,⋯){\displaystyle T(x_{1}x_{2},\cdots)=(x_{2}x_{3},\cdots)}

{\displaystyle T(x_{1}x_{2},\cdots)=(x_{2}x_{3},\cdots)}

. この測度は明らかにシフト不変である: いくつかの集合A∈A{\displaystyle A\in{\mathcal{A}}}

A\in{\mathcal{A}}

について話している限り、最初のコインフリップx1=∞{\displaystyle x_{1}}{\displaystyle x_{2}}{\displaystyle x_{2}}{\displaystyle x_{2}}{\displaystyle x_{2}}{\displaystyle x_{2}}{\displaystyle x_{2}}{\displaystyle x_{2}}{\displaystyle x_{2}}{1}=*}

{\x_{1}=*}

このとき、体積μ(A){\displaystyle\mu(A)}

\mu(A)

は変化しない。μ(A)=μ(T(A)){\displaystyle\mu(A)=\mu(T(A))}))}

{\displaystyle mu(A)=\mu(T(A))=となります。))}

. 最初のコインフリップについて話すのを避けるために、T−1{\displaystyle T}を定義する方が簡単である。^{-1}}

T^{-1}

最初の位置に「気にしない」値を挿入するように：T−1(x1,x2,τ)=(τ,x1,x2,τ){\displaystyle T^{-1}(x_{1},x_{2},\cdots)=(*,x_{1},x_{2},\cdots)})}

{\displaystyle T^{-1}（x_{1}、x_{2}、\cdots）=（*、x_{1}、x_{2}、\cdots）}

。 この定義を用いると、明らかにμ(T−1(A))=μ(A){\displaystyle\mu(T^{-1}(A))=\mu(A)}となる。)}

{\a{\displaystyle A}<div><img src=

に制約がない場合、\mu(T^{-1}(A))=\mu(A)}”>

。 これは再びT−1{\displaystyle T}の例である。^{-1}}

T^{-1}

形式的な定義で使用されます。

上記の展開は、ランダム過程であるベルヌーイ過程をとり、それを測度保存力学系(X,A,θ,T)に変換する。 {\displaystyle(X,{\mathcal{A}},\mu,T)}である。}

{\(X,{\mathcal{A}},\mu,T)と表記される。}

同じ変換（等価、同型）は、任意の確率過程に適用することができます。 したがって、エルゴディシティの非公式な定義は、シーケンスがX{\displaystyle X}

X

のすべてを訪れるとき、そのようなシーケンスはプロセスにとって”典型的”であるということである。 もう一つは、その統計的性質は、プロセスの単一の、十分に長い、ランダムなサンプルから推測できること（したがって、すべてのx{\displaystyle X}

X

を一様にサンプリングすること）、またはプロセスからのランダムなサンプルの集まりは、プロセス全体の平均統計的性質を表さなければならないことである（すなわち、X{\displaystyle X}

X

から一様に引き出されたサンプルはX{\displaystyle X}

X

はX{\displaystyle X}

X

はX{\displaystyle X}

X

はX{\displaystyle X}

Xx

全体として。）この例では、半分が頭であり、半分が尾であるコインフリップのシーケンスは、”典型的な”シーケンスです。

ベルヌーイ過程にはいくつかの重要な点がある。 尾に0を、頭に1を書くと、2進数のすべての無限の文字列のセットが得られます。 これらは実数の基底2の展開に対応します。 明示的に、列(x1,x2,⋯){\displaystyle(x_{1},x_{2},\cdots)が与えられたとき)}

(x_{1},x_{2},\cdots)

であり、対応する実数はy=∑n=1∑x n2n{\displaystyle y=\sum_{n=1}sum{\infty}{\frac{x_{n}}{2^{n}}}{2^{n}}{2^{n}}{2^{n}}{2^{n}}{2^{n}}{2^{n}}{2^{n}}{2^{n}}{2^{n}}{2^{n}}{2^{n}}}}}}

{\y sum_{n=1}x{\infty}{\frac{x_{n}}{2^{n}}yは収束していますか？}}}}

ベルヌーイ過程がエルゴードであるという記述は、実数が一様に分布しているという記述と等価である。 そのようなすべての文字列のセットは、さまざまな方法で書くことができます: {h,t}λ={h,t}ω={0,1}ω=2ω=2N. {\displaystyle\{h,t\}={\infty}=\{h,t\}omega{\omega}omega{\omega}omega{\omega}omega{\omega}omega{\omega}omega{\omega}omega{\omega}=\{0,1\}^{\オメガ}=2^{\オメガ}=2^{\mathbb{N}}。}

{\displaystyle\{h,t\}={\infty}=\{h,t\}omega{\omega}omegaとなります。}=\{0,1\}^{\オメガ}=2^{\オメガ}=2^{\mathbb{N}}。この集合はカントール集合であり、カントール関数C(x)=∑n=1∑x n3n{\displaystyle C(x)=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{x_{n}}{3^{n}}}との混同を避けるためにカントール空間と呼ばれることもある。}}}}

{\sum C（x）=\sum_{n=1}x{\infty}{\frac{x_{n}}{3^{n}}3は収束していますか？}}}}

結局のところ、これらはすべて「同じもの」です。

カントール集合は数学の多くの分野で重要な役割を果たしています。 数学では、周期二重フラクタルを支え、分析では、それは定理の広大な様々な中に表示されます。 確率過程の重要なものはウォルド分解であり、これは任意の定常過程を無相関過程のペアに分解することができ、一方は決定論的であり、他方は移動平均過程であると述べている。

Ornstein isomorphism theoremは、すべての定常確率過程はベルヌーイスキーム（N面（そしておそらく不公平な）ゲーミングダイを持つベルヌーイ過程）と等価であると述べている。 他の結果には、すべての非散逸エルゴードシステムはマルコフ走行距離計と同等であり、それは小学校の加算のように見えるので、時には”加算機”と呼ばれることがある、すなわち、base-N桁のシーケンスを取り、加算し、キャリービットを伝播することが含まれる。 等価性の証明は非常に抽象的です;結果を理解することはありません:各タイムステップで1つを加えることによって、走行距離計のすべての可能な状 同様に、エルゴードシステムは、それらがすべて訪問されるまで、それぞれの状態を一様に訪問し、次の状態に移動します。

n文字の（無限の）列を生成するシステムは、シンボリックダイナミクスによって研究されています。 重要な特殊な場合には、有限型の部分シフトとsoficシステムが含まれます。

物理学におけるエルゴディティ編集

物理システムは、有限個の可動部分を持つ機械を記述する古典力学、原子の構造を記述する量子力学、気体、液体、固体を記述する統計力学の三つのカテゴリに分けることができる。 古典力学の場合は、次のセクションで、幾何学におけるエルゴシティについて議論されています。 量子力学に関しては、量子カオスの概念があるが、エルゴドシティの明確な定義はなく、これが何であるかは熱く議論されている。 本項では、統計力学におけるエルゴディティについて述べる。

物理学におけるエルゴディシティの定義のための適切な設定として、上記の体積の抽象的な定義が必要である。 液体、気体、プラズマ、または原子や粒子の他のコレクションの容器を考えてみましょう。 各粒子x i{\displaystyle x_{i}}}}

x_{i}

は3次元位置と3次元速度を持ち、したがって六次元空間R6内の点である六つの数字で記述される。 {\displaystyle\mathbb{R}^{6}.}

{\displaystyle\mathbb{R}^{6}。}

系内にこれらの粒子のうちN{\displaystyle N}

N

が存在する場合、完全な記述には6N{\displaystyle6N}

6N

の数が必要である。 いずれかのシステムは、R6Nの単一点にすぎません。 {\displaystyle\mathbb{R}^{6N}}である。}

{\displaystyle\mathbb{R}^{6N}。}

物理システムはR6N{\displaystyle\mathbb{R}^{6N}のすべてではありません}}

{\もちろん、幅、高さ、長さW×H×L{\displaystyle W\times H\times L}

{\displaystyle W\times H\times L}

のボックスであれば、点は(W×H×L×R3)Nにある。 {\displaystyle(W\times H\times L\times\mathbb{R}3{3}).{N}}である。{\Displaystyle(W\times H\times L\times\mathbb{R}.{3}).{N}}

{\displaystyle(W\times H\times L\times\mathbb{R}.{3}).{N}}<div></div>速度も無限大にすることはできません: それらはある確率測度、例えばガスに対するボルツマン・ギブス測度によってスケーリングされる。 None-the-less,N{\displaystyle N}<div><img src=

がアボガドロの数に近い場合、これは明らかに非常に大きな空間である。 この空間は標準的なアンサンブルと呼ばれています。

物理的なシステムは、システムの代表的な点が最終的にシステムの全体を訪れるようになるとエルゴード的であると言われます。 上の例では、これは任意の与えられた原子が箱W×h×l{\displaystyle W\times H\times L}のすべての部分を訪れるだけではないことを意味する。}

{\w\times H\times L}

は一様確率であるが、すべての可能な速度でそうするが、その速度のボルツマン分布によって与えられる確率（その測度に関して一様）である。 エルゴード仮説は、物理システムが実際にエルゴードであると述べている。 多数の時間スケールは仕事にあります:ガスおよび液体は短い時間スケールにergodicようである。 固体中のエルゴディシティは、明らかに固体中の原子が位置を交換しないので、振動モードまたはフォノンの観点から見ることができる。 時間スケールは数百万年であると仮定されているが、結果は議論の余地がある。 スピングラスは、特定の困難を提示します。

統計物理学におけるエルゴード性の正式な数学的証明は困難であり、ほとんどの高次元多体系は数学的証明なしにエルゴード性であると仮定されている。 例外としては、理想気体またはプラズマ中の原子のビリヤードボール型の衝突をモデル化する力学的ビリヤードが挙げられる。 最初の硬球エルゴディティの定理はシナイのビリヤードに対するものであり、二つの球のうちの一つを原点に静止していると考える。 第二のボールが衝突すると、それは離れて移動し、周期的な境界条件を適用し、それは再び衝突するために戻ります。 均質性へのアピールによって、この”第二の”ボールの復帰は、代わりに範囲に入ってきた”ちょうど他の原子”であり、原点の原子と衝突するように動いている（”他の原子”であるとみなすことができる。 このような系がエルゴード（および混合）であると信じるのが常識であっても、ファンデルワールス力を介して相互作用する液体中の原子についての等価な文は存在しない。 しかし、より正確な物理的な議論を行うことができます。

幾何学におけるエルゴディシティ編集

エルゴディシティはリーマン多様体の研究において広く普及している現象である。 単純なものから複雑なものまで、例の簡単なシーケンスは、この点を示しています。 以下に述べるすべての系は厳密な形式的証明によってエルゴード的であることが証明されている。 円の非合理的な回転はエルゴードである：点の軌道は、最終的には、円の他のすべての点が訪問されるようなものである。 このような回転は区間交換写像の特別な場合である。 数のベータ展開はエルゴードである: 実数のベータ展開はbase-Nではなくbase-β{\displaystyle\beta}で行われる。}

\β

{\displaystyle\beta.}

\beta.

ベータ展開の反映されたバージョンはテントマップであり、単位間隔の他の様々なエルゴードマップがあります。 二次元に移動すると、非合理的な角度を持つ算術演算はエルゴード的である。 一つはまた、平らな長方形を取ることができます,それをスカッシュ,それをカットし、それを再構築;これは、前述のベイカーのマップです. その点は、2文字の双無限の文字列の集合、つまり左右の両方に拡張することによって記述することができます。 スクワッシング中に横に変形すると、アーノルドの猫マップが得られます。 ほとんどの点で、catマップは他の同様の変換の原型です。

非平面に対しては、任意の負に湾曲したコンパクトリーマン面の測地線流がエルゴードであることがある。 曲面は有限の表面積を持つという意味で「コンパクト」である。 測地線の流れは、曲面上の”直線”で移動するという考えの一般化であり、そのような直線は測地線である。 研究された最も初期の例の一つはアダマールのビリヤードであり、これはボルツァ表面の測地線を記述し、位相的には二つの穴を持つドーナツと等価である。 Ergodicityは、sharpieと2穴のドーナツの合理的な例がある場合、非公式に実証することができます：どこからでも、任意の方向に開始し、直線を描こうとします。 出発点に戻ってこないことを発見するのにそれほど時間はかかりません。 （もちろん、曲がった図面もこれを説明することができます。)

これらの結果はより高い次元に拡張されます。 負に湾曲したコンパクトなリーマン多様体の測地線流はエルゴードである。 この古典的な例は、双曲線多様体上のホロサイクル流であるアノソフ流である。 これはホップフィブレーションの一種であると見ることができます。 このような流れは、一般的に、例えば、有限次元移動機械の物理学の研究である古典力学で発生します。 二重振り子など。 古典力学はシンプレクティック多様体上に構成される。 このような系上の流れは安定多様体と不安定多様体に分解することができ、一般的なルールとして、これが可能なとき、カオス的な運動が生じる。 これが一般的であることは、リーマン多様体の余接束が（常に）シンプレクティック多様体であることに注目することによって見ることができ、測地線流はこの多様体に対するハミルトン–ヤコビ方程式の解によって与えられる。 正準座標(q,p){\displaystyle(q,p)}に関して)}

(余接多様体上で、ハミルトニアンまたはエネルギーはH=1 2π i j g i j(q)p i p j{\displaystyle H={\tfrac{1}{2}}\sum_{ij}g^{ij}(q)p_{i}p_{j}p_{j}p_{j}p_{j}p_{j}p_{j}p_{j}p_{j}p_{j}p_{j}p_{j}p_{j}p_{j}p_{j}p_{j}p_{j}p_{j}p_{j}p_{j}p_{j}p_{j}p_{j}p_{j}}}

{\displaystyle sum_{ij}g^{ij}(q)p_{i}p_{j}gはH p_{ij}gを意味します。}}

g i j{\displaystyle g^{ij}}と}}

g^{ij}

は（逆の）計量テンソルであり、p i{\displaystyle p_{i}}

p_{i}

は運動量である。 運動エネルギー E=1 2m v2{\displaystyle E={\tfrac{1}{2}}mvとの類似性^{2}}

{\e={\tfrac{1}{2}}mv^{2}}

これは、そのようなものを”エネルギー”と呼ぶことの全体のポイントです。 この意味で、エルゴード軌道を持つカオス的挙動は、幾何学の大部分において多かれ少なかれ一般的な現象である。

エルゴディシティの結果は、平行移動曲面、双曲線群および収縮期幾何学において提供されている。 技術にはエルゴード流の研究、ホップ分解、Ambrose–Kakutani–Krengel–Kuboの定理などがあります。 システムの重要なクラスは、公理Aシステムです。

多くの分類と”反分類”の結果が得られています。 ここでもまた、これらの系のほとんどはあるベルヌーイスキームと同型であると述べている。 これは、これらのシステムを、前のセクションで確率的プロセスに対して与えられたエルゴシティの定義にかなりきれいに結び付けています。 反分類の結果は、無限に多くの不等式エルゴード測度保存力学系が存在することを示している。 Cantorセットのポイントを使用して、類似しているが異なるシステムを構築できるため、これはおそらく完全には驚きではありません。 反分類の結果のいくつかの簡単な調査については、measure-preserving dynamical systemを参照してください。

歴史的発展編集

エルゴディシティのアイデアは、ガス分子の個々の状態をガス全体の温度とその時間発展に関連付ける必要があった熱力学の分野で生まれた。 これを行うためには、熱力学的平衡を数学的厳密さで定義できるように、ガスがうまく混合することが正確に何を意味するのかを述べる必要があ 理論は物理学でよく開発された後、それは急速に形式化され、拡張されたので、エルゴード理論は長い間、それ自体が数学の独立した領域であった。 その進行の一環として、エルゴディシティの2つ以上のわずかに異なる定義と、異なる分野における概念の多数の解釈が共存しています。

例えば、古典物理学では、この用語は、システムが熱力学のエルゴード仮説を満たすことを意味し、関連する状態空間は位置と運動量空間である。 力学系の理論では、状態空間は通常より一般的な位相空間とみなされます。 一方、符号化理論では、状態空間は時間と状態の両方においてしばしば離散的であり、付随する構造は少ない。 これらのすべての分野で、時間平均とアンサンブル平均のアイデアは、物理学でアンサンブル平均を定義するために使用される多くの可能な熱力学的に関連する分割関数の場合と同様に、余分な荷物を運ぶこともできます。 このように、概念の尺度理論的形式化は、統一的な規律としても役立つ。

語源編集

エルゴードという用語は、統計力学の問題に取り組んでいる間にludwig boltzmannによって選ばれたギリシャ語の単語σ（ergon：”仕事”）とσ δ σ（hodos：”path”、”way”）に由来すると一般的に考えられている。 同時に、それはまた、1884年からの比較的あいまいな論文でボルツマンによって造語ergomonodeの派生であると主張されています。 語源は他の方法でも争われているようです。

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