1 부에서는 랜덤 변수가”지방 꼬리”분포를 갖는 것이 무엇을 의미하는지 논의합니다.
멀리? 지방?
지방 꼬리를 이해하기 위해,우리는 다음과 같은 두 가지 질문에 대답해야합니다.
1. 얼마나 멀리?
2. 얼마나 지방이 지방입니까?
꼬리에 대해 이야기하기 위해,우리는 그것을’꼬리’를 말할 수있을만큼 멀리 중간에서 얼마나 멀리 결정까지 얼마나 멀리 결정해야합니다. 즉,꼬리는 어디에서 시작됩니까? 그것은 달려 있습니다! 불행히도 단 하나의 대답은 없습니다.
정규 분포를 고려하십시오. 두 개의 꼬리가 있습니다:오른쪽과 왼쪽. 우리가 평균에서 1 개의 표준 편차에서 배급의’우측’꼬리를 기술하고 싶으면,예를 들면,그때 차광한 부분은 정규 분포의 우측 꼬리를 참조한다.
공식적으로 꼬리를 다음과 같이 설명 할 수 있습니다:
- 오른쪽 꼬리:피(엑스>엑스)
- 왼쪽 꼬리:피(엑스>엑스)
- 왼쪽 꼬리:피(엑스>엑스)
큰 값의 경우’엑스’. 이제 우리는’꼬리’의 개념을 알고 있습니다.
#For normal distribution with value 'x=a'
a=1
1-pnorm(a) #right tail
pnorm(-a) #left tail
모든 분포에 꼬리가 있습니까?
균일 한 분포에 대해 생각해보십시오. 그것은 꼬리가 있습니까? 이 블로그에서는 모든 배포판이 꼬리를 가지고있는 것은 아니라고 말합니다.”꼬리의 동작”이 커지면 경계 분포는 꼬리가 없습니다. 그럼에도 불구하고 꼬리의 일부 기능을 정량화 할 수 있습니다. 특히,한계와 점근 적 행동을 사용하여 무거운 꼬리의 개념을 정의 할 수 있습니다. 나는 아래의(기하 급수적으로)경계/경계되지 않은 분포를 설명 할 것이다. 당신이 거기에 도착하면 균일 한 분포의 자신을 생각 나게하십시오!
왜 우리는 분포의’꼬리’부분에 관심을 가져야합니까?
분포의 꼬리 부분은 위험 관리의 주요 관심사였다. 예를 들어,수익 또는 손실 분배에 가장 많이 사용되는 두 가지 위험 조치는 위험에 처한 가치와 예상 부족액입니다.
왜 손실이 반환되지 않습니까?
- 손실은 문자 그대로 마이너스(-)반환
- 제한을 음의 무한대로 가져 오는 것은 직관적이지 않습니다. 그래서 우리는 반환 값의 음수를 취합니다.
수량이 어떻게’꼬리’와 관련이 있는지 확인하십시오. 그들 뒤에 수학이나 의미를 이해할 필요가 없습니다.
“아래 그래프는 반환하지 손실의 분포임을 유의!”
그런 다음 다음과 같은 방법으로 변수를 계산할 수 있습니다:
두 번째 줄을 통해,우리는 쉽게 바르 지방 꼬리에 관련된 단지 양 것을 확인할 수 있습니다. 바르에 대한 자세한 내용은,책의 제 2 장을 확인”양적 위험 관리:개념,기술 및 도구”자신의 웹 사이트에 에릭 지봇의 강의 노트.
alpha = 0.95 #significant level
VaR.alpha = qnorm(alpha, mu, sigma)
VaR.alpha = mu + sigma*qnorm(alpha, 0, 1)
마찬가지로 예상 부족분은 분포의 꼬리 부분과 관련된 양임을 알 수 있습니다:
네 번째 줄에서”손실 분포의 상단”꼬리”에서 예상되는 손실입니다. 정규 분포의 경우 절단된 정규 분포의 평균일 뿐이므로 이 값을 계산하는 것이 편리합니다.
alpha = 0.95
q.alpha.z = qnorm(alpha)
ES.alpha = mu + sigma*(dnorm(q.alpha.z)/(1-alpha))
만약 우리가 왜 1—2 로 나누는지 궁금한 사람이라면,이것은 정규화 상수(또는 배율 계수)가 잘린 손실 분포의 통합이 1 임을 확인하는 것입니다.이 확률은 확률 분포가되기위한 요구 사항입니다.
돌아 가기’꼬리’의 이야기에,난 그냥 꼬리 분포가 널리 위험 관리 도구로 사용되는 것을 강조하고 싶었다.
얼마나 지방이 지방입니까? 얼마나 무거운가?
우리는’꼬리’가 유통되고 어디에 사용되는지 알아 냈으므로 이제’뚱뚱한’부분에 대해 이야기 할 때입니다. 우리 모두는 정규 분포가 지방 꼬리를 가지고 있지 않다는 것을 알고 있습니다. 대신,우리는 계정에’지방 꼬리’속성을 취할 금융 반환 시리즈를 모델링 할 때 학생 티 분포를 사용하고 정규 분포를 기록하는 배웠다. 그러나 우리는 지방 꼬리의 정의를 알 필요가있다. 불행히도,용어 지방에 대한 보편적 인 정의는 없습니다.
나는 영어,그래프 및 수학의 언어로 뚱뚱한 꼬리를 설명하려고 노력할 것이다. 당신은 세 가지 중 적어도 하나를 즐기시기 바랍니다.
- 무거운 꼬리 분포는 지수 분포보다 무거운 꼬리가 있습니다(브라이슨,1974)
- 꼬리 부분이 지수 분포보다 더 천천히 붕괴 될 때 분포는 무거운 꼬리가 있다고합니다.
왜 지수?
지수 분포를 참조로 사용하는 것이 편리합니다. 기하 급수적 인 분포는 0 에’기하 급수적으로’빠르게 접근합니다. 즉,문서의 꼬리는 지수 분포와 같이 보입니다(그러나 지수 분포와 다르게 동작합니다).
그래프의 언어로,
나는 당신에게 아래와 같이 다른 분포의 집합의 맨 오른쪽 꼬리에서 무슨 일이 일어나는지 보여주는 4 가지 그래프를 보여줍니다:
- 또한,이 응용 프로그램을 사용하여,당신은 당신이 당신의 개인 정보 보호 정책,개인 정보 보호 정책,개인 정보 보호 정책,개인 정보 보호 정책,개인 정보 보호 정책,개인 정보 보호 정책,개인 정보 보호 정책,개인 정보 보호 정책,개인 정보 보호 정책,개인 정보 보호 정책,개인 정보 보호 정책,개인 정보 보호 정책,개인 정보 보호 정책,개인 정보 보호 정책,개인 정보 보호 정책,개인 정보 보호 정책,개인 정보 보호 정책,개인 정보 보호 정책,개인 정보 보호 정책,개인 정보 보호 정책,개인 정보 보호 정책,개인 정보 보호 정책,개인 정보 보호 정책,개인 정보 보호 정책,분포
나는이 분포의 각을 설명하지 않습니다. 대신,그냥 꼬리 부분에 무슨 일이 일어나고 있는지 느낄 이러한 분포의 그래프를 즐길 수 있습니다. 첫 번째 그래프는 전체 그래프의 일부를 보여줍니다.
의 끝에 제공되므로 꼬리가 어떻게 작동하는지 알 수 없습니다. 그러나 여기에 언급 할 가치가있는 몇 가지 사항이 있습니다
- 일반,학생-티 및 코시 분포는 양측 분포입니다. 다른 모든 것은 하나의 꼬리 분포
- 폴(2.5)과 폴(3.5)에 대해 교차점이 있습니다 엑스=1.7,이는 폴(2.5)이 더 두꺼운 꼬리를 가지고 있음을 나타냅니다.
‘엑스’가 있을 때 어떻게 보이는지 살펴보자. 의 값을 유의 와이-축 훨씬 작아집니다.
큐:이 그래프에서 무엇을 볼 수 있습니까?
:가장 상단 라인은 두꺼운 꼬리를해야합니다! (하지만 꽤!!!)그리고 당신은 왜 볼 것이다!
미리 위의 그림 6 의 중요한 사실을 살펴 보겠습니다.이 분포는 1196 에서 1204 로 변환됩니다. 정규 분포의 경우 표준 편차 5 는 0.000001486 입니다. 이것은 코시 분포보다 약 8000 배 작습니다. 즉,5 시그마 이벤트는 정규 분포보다 코시 분포에서 발생할 가능성이 8000 배 더 높습니다.
다시 말하지만,값이 와이-축 훨씬 더 작아집니다.
- 파란색 선 경험치(0.2)는 폴(2.5)과 코시 인 다른 두 개를 가로 지르는 동안 빠르게 붕괴됩니다. 이것은”지수 분포보다 느린 붕괴”
- 에 의해 의미하는 것입니다. 1.5 는 0.0005 입니다. 첫 번째와 두 번째 순간(평균 및 분산)이 폴(1.5)에 대해 무한하다는 것은 놀라운 일이 아닙니다. 이에 대한 세부 정보는 다음 문서에서 다룰 것입니다. 계속 지켜봐 주시기 바랍니다!
어떻게 동작하는지 자세히 보기 위해 와이 축을 확대해 봅시다!
- 놀랍게도 블루 라인 경험치(0.2)는 폴(3.5)와 엔(0,1)을 교차하여 감소합니다. 또한,우리는 엘엔(0,1)이 폴(3.5)보다 빠르게 붕괴되어 폴(3.5)을 넘어 그 아래로 간다는 것을 알 수 있습니다.
- 5),폴(2.5)및 레비 분포도이 그래프에 표시되지 않습니다.
수학 언어에서
뚱뚱한 꼬리 분포는 무거운 꼬리 분포의 하위 클래스입니다. 그것은 모든 뚱뚱한 꼬리 분포가 무거운 꼬리이지만 그 반대는 사실이 아닙니다(예:웨이 불). 에 따르면 제이 테일러 강의 노트,그는 다음과 같은 방식으로 무겁고 뚱뚱한 것을 차별화했습니다.
무거운 꼬리의 정의
- 꼬리가 기하 급수적으로 제한되지 않으면 분포가 오른쪽 무거운 꼬리를 가지고 있다고합니다
우리는’엑스’가 커지면 기하 급수적으로 증가하는 속도가 무거운 오른쪽 꼬리의 확률 감소 속도보다 빠르다는 것을 해석 할 수 있습니다. 그것에 대해 생각하는 시간이 걸릴!
영어 정의에 어떻게 연결되는지 확인하십시오.
- 지수보다 느리게 붕괴 확률 분포 함수는 오른쪽 무거운 꼬리라고합니다.
기하 급수적으로 제한 될 때?
무거운 오른쪽 꼬리가 충분히 무겁지 않은 경우,즉’엑스’가 무한대로 이동함에 따라 매우 빠르게 붕괴되고 방정식 1 은 0 으로 수렴합니다. 명백한 보기는 우리가 위에서 토론한 대로 획일한 배급 넘어서 이다. 일단’엑스’가 1 을 초과하면 엑스 1 보다 큰 확률은 0 이되어 기하 급수적으로 제한됩니다. 또 다른 인기있는 예는 정규 분포입니다. 표준 정상이 될 수 있습니다. 얻을 다른 람다 값에 대한 일련의 그래프를 그립니다
우리는 정규 분포의 꼬리가 기하 급수적으로 경계되도록 0 으로 수렴하는 것을 볼 수 있습니다.
f_exp = function(x, lambda){return (exp(lambda*x))
cdf_normal = function(x) pnorm(x)
ccdf_normal = function(x) {1-cdf_normal(x)}xs = seq(1,10,length=10000)
plot(xs, f_exp(xs,0.1)*ccdf_normal(xs), type='l', xlab='',ylab='', col='blue', lwd=2)
abline(v=1, lty = 'dashed')
lines(xs,f_exp(xs,0.5)*ccdf_normal(xs), col='purple', lwd=2)
lines(xs,f_exp(xs,1)*ccdf_normal(xs), col='red', lwd=2)
lines(xs,f_exp(xs,1.5)*ccdf_normal(xs), col='orange', lwd=2)
lines(xs,f_exp(xs,2)*ccdf_normal(xs), col='darkred', lwd=2)
lines(xs,f_exp(xs,3)*ccdf_normal(xs), col='darkblue', lwd=2)
grid()
legend(8, 0.15,
legend=c("0.1", "0.5","1","1.5","2","3"), title = "lambda",
col=c("blue",'purple', "red",'orange','darkred','darkblue'), lwd=2, cex=1)
지방 꼬리의 정의
- 분포는 꼬리 지수라고 불리는 양의 지수(알파)가 있으면 오른쪽 지방 꼬리를 가지고 있다고합니다.
‘~’는 상수까지 동일 함을 의미합니다. 또는 꼬리 부분은 힘 법칙에 비례합니다. 정확하게,그것은 다음을 의미합니다.
수학이’무겁거나 뚱뚱한’경우 건너 뛰십시오.
따라서 뚱뚱한 꼬리 분포의 꼬리 부분은 힘 법칙을 따릅니다. 권력의 법칙에 익숙하지 않은 사람들을 위해,지금 걱정하지 마십시오. 알파가 2 와 같을 때 그래프를 생각해보십시오.
꼬리 부분은 위의 그림 5-8 에서 보았 듯이 힘 법칙과 비슷하다는 것을 상기하십시오. 나는 이 시리즈에서 힘 법률을 더 자세히 설명할 것이다.
요약
우리는이 문서에서’뚱뚱한 꼬리’개념을 직관적으로,그래픽으로,수학적으로 살펴 보았습니다. ‘부드럽게 한 안정되어 있는 배급’를 이해하기 위하여는,뚱뚱한 꼬리의 기본적인 이해가 있는 것이 필요하다. 이 문서가 이해를 향상시키는 데 도움이 되었기를 바랍니다. 당신은 질문이있는 경우 아래에 의견을 주시기 바랍니다. 나는 당신이 다음에 올 것에 대해 궁금하기를 바랍니다. 다음에,나는”강화 된 안정적인 유통 여행”으로 돌아올 것입니다”
f_exp = function(x, lambda, xmin) {lambda*exp(-lambda*(x-xmin))}
f_power = function (x, k, x_min) {
C = (k-1)*x_min^(k-1)
return (C*x^(-k))
}
f_cauchy = function(x) dcauchy(x)
f_levy = function(x) dlevy(x) # required package: 'rmulti'
f_weibul = function(x) dweibull(x,shape=1)
f_norm = function(x) dnorm(x)
f_lnorm = function(x) dlnorm(x)
f_t = function(x) dt(x,5)
xs = seq(0.1,100,length=1000)plot(xs, f_exp(xs,0.5,0.1),type='l',xlab='',ylab='', col='blue', lwd=2,
main='Distributions on ', cex.main=1,
xlim=c(0,5),
ylim=c(0,2.5))
lines(xs,f_exp(xs,1,0.1), col='purple', lwd=2)
lines(xs,f_exp(xs,2,0.1), col='bisque3', lwd=2)
lines(xs,f_power(xs,1.5, 1), col='red', lwd=2)
lines(xs,f_power(xs,2.5, 1), col='orange', lwd=2)
lines(xs,f_power(xs,3.5, 1), col='darkred', lwd=2)
lines(xs,f_norm(xs),col='black', lwd=2)
lines(xs,f_lnorm(xs), col='darkgreen', lwd=2)
lines(xs,f_t(xs), col='deeppink', lwd=2)
lines(xs, f_cauchy(xs), col='darkblue', lwd=2)
lines(xs, f_levy(xs), col='azure4', lwd=2)
lines(xs, f_weibul(xs), col='springgreen', lwd=2)
abline(v=2, lty = 'dashed')
abline(v=3, lty = 'dashed')
grid()
legend(3.5, 2.5,
legend=c("exp(0.2)", "exp(1)", 'exp(2)', "PL(1.5)", 'PL(2.5)', 'PL(3.5)', 'N(0,1)','LN(0,1)','student-t(5)','Cauchy','Levy','Weibull'),
col=c("blue",'purple', 'bisque3',"red",'orange','darkred', 'black','darkgreen','deeppink','darkblue', 'azure4','springgreen'), lwd=2, cex=0.8)
제이 테일러,무거운 꼬리 분포(2013),강의 노트,
에릭 지봇,위험 측정(2013),강의 노트
아론 조항,복잡한 시스템에 대한 추론,모델 및 시뮬레이션(2011),강의 노트
https://blogs.sas.com/content/iml/2014/10/13/fat-tailed-and-long-tailed-distributions.html