bærertettheten er viktig for halvledere, hvor det er en viktig mengde for prosessen med kjemisk doping. Ved hjelp av båndteori, elektrontettheten, n 0 {\displaystyle n_{0}}
er antall elektroner per volumenhet i ledningsbåndet. For hull, p 0 {\displaystyle p_{0}}
er antall hull per volumenhet i valensbåndet. For å beregne dette tallet for elektroner, starter vi med ideen om at den totale tettheten av ledning-bånd elektroner, n 0 {\displaystyle n_{0}}
, er bare å legge opp ledningselektrontettheten over de forskjellige energiene i bandet, fra bunnen Av bandet e c {\displaystyle e_{c}}
Til toppen Av bandet e t o p {\displaystyle E_{top}}
. n 0 = hryvnias e c e t o p n(E ) d e {\displaystyle n_{0}=\int \grenser _{E_{c}}^{E_{top}}n (e)de}
fordi elektroner er fermioner, tettheten av ledningselektroner ved en bestemt energi, n (E) {\displaystyle N (E)}
er produktet av tilstandenes tetthet, g (E ) {\displaystyle g(E)}
eller hvor mange ledende tilstander som er mulige, med Fermi–Dirac-fordelingen, f ( E ) {\displaystyle f(E))}
som forteller oss delen av de tilstandene som faktisk vil ha elektroner i «dem» N ( E ) = g (E) f(E ) {\displaystyle N(E)=g(E)f (E) {\displaystyle N (E) = g (E) f (E))}
for å forenkle beregningen, i stedet for å behandle elektronene som fermioner, i Henhold Til Fermi–Dirac-fordelingen, behandler vi dem i stedet som en klassisk ikke-samvirkende gass, som er gitt Av Maxwell-Boltzmann-fordelingen. Denne tilnærmingen har ubetydelige effekter når størrelsen | e-e f / ≫ k b t {\displaystyle / E-e_{f} / \gg k_{B}T}
, som er sant for halvledere nær romtemperatur. Denne tiln rmingen er ugyldig ved sv rt lave temperaturer eller et ekstremt lite bandgap. f ( E ) = 1 1 + e E − e f k t ≈ e − (E − e f ) k b t {\displaystyle f (E)={\frac {1}{1 + e^{\frac {E-e_{f}} {kT}}} \ ca e^{\frac {- (E-e_{f})}{k_{b}T}}}
den tredimensjonale tettheten av stater er:
g ( E ) = 1 2 π 2 ( 2 m ∗ ℏ 2) 3 2 e-E 0 {\displaystyle G (e)={\frac {1} {2 \ pi ^ {2}}}\venstre ({\frac {2m ^ {*}} {\hbar ^{2}}\høyre)^{\frac {3} {2}} {\sqrt {e-E_{0}}}}
etter kombinasjon og forenkling fører disse uttrykkene til:
n 0 = 2 (m ∗ k B t 2 π ℏ 2) 3 / 2 {\displaystyle n_{0}=2\venstre ({\frac {m ^ {*} k_ {b} T} {2\pi \ hbar ^ {2}}}\høyre)^{3/2}}
e – (e c-e f) k b t {\displaystyle e^{\frac {- (E_ {c} – E_{f})} {k_{B}T}}}
et lignende uttrykk kan utledes for hull. Bærerkonsentrasjonen kan beregnes ved å behandle elektroner som beveger seg frem og tilbake over bandgapet, akkurat som likevekten av en reversibel reaksjon fra kjemi, som fører til en elektronisk massehandlingslov. Massehandlingsloven definerer en mengde n i {\displaystyle n_{i}}
kalt den indre bærerkonsentrasjonen, som for undoped materialer: n i = n 0 = p 0 {\displaystyle n_ {i}=n_{0} = p_{0}}
tabellen nedenfor viser noen verdier av intrinsic carrier konsentrasjon for intrinsic halvledere.
| Materiale | Bærertetthet (1 / cm3) VED 300K |
|---|---|
| Silisium | 9.65×109 |
| Germanium | 2.33×1013 |
| Galliumarsenid | 2.1×106 |
disse bærerkonsentrasjonene vil endres hvis disse materialene er dopet. For eksempel vil doping rent silisium med en liten mengde fosfor øke bærertettheten av elektroner, n. da, siden n > p, vil det dopede silisium være en n-type ekstrinsisk halvleder. Doping rent silisium med en liten mengde bor vil øke bærertettheten til hull, så da p > n, og det vil være en p-type ekstrinsisk halvleder.