Ergodicity

Ergodicity forekommer i brede innstillinger i fysikk og matematikk. Alle disse innstillingene er forenet av en felles matematisk beskrivelse, den for det målbevarende dynamiske systemet. En uformell beskrivelse av dette, og en definisjon av ergodicitet med hensyn til den, er gitt umiddelbart nedenfor. Dette følges av en beskrivelse av ergodicitet i stokastiske prosesser. De er en og samme, til tross for å bruke dramatisk forskjellig notasjon og språk. En gjennomgang av ergodicity i fysikk, og i geometri følger. I alle tilfeller er begrepet ergodicitet nøyaktig det samme som for dynamiske systemer; det er ingen forskjell, bortsett fra utsikter, notasjon, tankegang og tidsskrifter der resultatene publiseres.

Målbevarende dynamiske systemerrediger

den matematiske definisjonen av ergodicitet tar sikte på å fange opp vanlige daglige ideer om tilfeldighet. Dette inkluderer ideer om systemer som beveger seg på en slik måte at de (til slutt) fyller opp hele rommet, for eksempel diffusjon og Brunisk bevegelse, samt sunn fornuft forestillinger om blanding, for eksempel blanding av maling, drikkevarer, matlaging ingredienser, industriell prosessblanding, røyk i et røykfylt rom, støvet I Saturns ringer og så videre. For å gi et solid matematisk grunnlag, begynner beskrivelser av ergodiske systemer med definisjonen av et målbevarende dynamisk system. Dette er skrevet Som (X, A, μ, T). {\displaystyle (X, {\mathcal {A}}, \ mu, T).}

x {\displaystyle x {\displaystyle x}}

forstås å være den totale plassen som skal fylles: blandebollen, det røykfylte rommet, etc. Den målbare {\displaystyle \mu }

forstås å definere det naturlige volumet Av rommet X {\displaystyle X}

og dets underrom. Den totale mengden av subspaces er betegnet med a {\displaystyle {\mathcal {A}}}

, og størrelsen På et gitt delsett En ⊂ X {\displaystyle A\undergruppe X}

er μ ( a ) {\displaystyle \mu (A)}

; størrelsen er volumet. Naivt kan man forestille seg en {\displaystyle {\mathcal {A}}}

å være kraftsettet Til X {\displaystyle X}

; dette virker ikke helt, da ikke alle undergrupper av et rom har et volum (kjent Som Banach-Tarski-paradokset). Derfor, konvensjonelt, a {\displaystyle {\mathcal {A}}}

består av de målbare delsettene-delsettene som har et volum. Det er alltid tatt for å være En Borel sett—samlingen av undergrupper som kan bygges ved å ta kryss, fagforeninger og sett utfyller; disse kan alltid tas for å være målbare.

tidsutviklingen til systemet er beskrevet med et kart T : X → X {\displaystyle T:X\to X}

. Gitt en Delmengde En ④ X {\displaystyle A\undermengde X}

, vil dens kart T ( a ) {\displaystyle T(A)}

generelt være en deformert versjon av a {\displaystyle A}

– den er squashed Eller Strukket, brettet eller Kuttet I Stykker. Matematiske eksempler inkluderer baker ‘ s map og horseshoe map, begge inspirert av brødfremstilling. Settet T (A ) {\displaystyle T (A)}

må ha samme volum som a {\displaystyle A}

; squashing / stretching endrer ikke volumet av rommet, bare dets fordeling. Et slikt system er «målbevarende» (arealbevarende, volumbevarende).

en formell vanskelighet oppstår når man forsøker å forene volumet av sett med behovet for å bevare sin størrelse under et kart. Problemet oppstår fordi flere forskjellige punkter i domenet til en funksjon generelt kan kartlegge til samme punkt i området; det vil si at det kan være x ≠ y {\displaystyle x \ neq y}

med T ( x ) = t (y) {\displaystyle T (x)=t (y)}

. Verre, et enkelt punkt x ∈ x {\displaystyle x\i x}

har ingen størrelse. Disse vanskelighetene kan unngås ved å arbeide med det inverse kartet T − 1: En → a {\displaystyle t^{-1}: {\mathcal {a}}\til {\mathcal {A}}}

; det vil kartlegge en Gitt Undergruppe En ⊂ X {\displaystyle A\undergruppe X}

til delene som ble satt sammen for å lage den: disse delene Er T-1 (A ) ∈ a {\displaystyle T^{-1} (a)\in {\mathcal {A}}}

. Den har den viktige egenskapen å ikke miste oversikten over hvor ting kom fra. Sterkere har det den viktige egenskapen at noen (målbevarende) kartlegger En → a {\displaystyle {\mathcal {a}}\til {\mathcal {A}}}

Er den inverse av noen kart X {\displaystyle x \ Til X}

. Den riktige definisjonen av et volumbevarende kart er et for hvilket μ ( A ) = μ ( T-1 ( A ) ) {\displaystyle \mu (A)=\mu (T^{-1}(A))}

fordi T − 1 (A ) {\displaystyle T^{-1} (A)}

beskriver alle delene som a {\displaystyle A}

kom fra.

En er nå interessert i å studere tidsutviklingen av systemet. Hvis a angir En ∈ a {\displaystyle a \ in {\mathcal {A}}}

kommer til slutt til å fylle Hele x {\displaystyle X}

over en lang periode (det vil si Hvis T n (A ) {\displaystyle t^{n}(A)}

nærmer seg Hele x {\displaystyle X}

for stor n {\displaystyle n}

), systemet sies å være ergodisk. Hvis hvert sett a {\displaystyle A}

oppfører seg på denne måten, er systemet et konservativt system, plassert i kontrast til et dissipativt system, hvor noen undergrupper a {\displaystyle A}

vandrer bort og aldri blir returnert til. Et eksempel ville være vann kjører nedoverbakke – når det er kjørt ned, vil det aldri komme opp igjen. Innsjøen som danner på bunnen av denne elva kan imidlertid bli godt blandet. Den ergodiske dekomponeringsteoremet sier at hvert ergodisk system kan deles i to deler: den konservative delen og den dissipative delen.

Blanding er en sterkere uttalelse enn ergodicity. Blanding ber om at denne ergodiske egenskapen holder mellom to sett A, b {\displaystyle a, B}

, og ikke bare mellom noen sett a {\displaystyle A}

Og X {\displaystyle X}

. Det vil si, gitt to sett A , B ∈ a {\displaystyle A,B\i {\mathcal {A}}}

, et system sies å være (topologisk) blanding hvis det er et heltall N {\displaystyle N}

slik det, for Alle A , b {\displaystyle A,B}

Og N > n {\displaystyle N>n}

, har man Den T N ( A ) ∩ B ≠ ∅ {\Displaystyle T^{N}(a)\cap b\neq \varnothing }

. Her betegner ∩ {\displaystyle \cap }

angitt kryss og ∅ {\displaystyle \ varnothing }

er det tomme settet. Andre forestillinger om blanding inkluderer sterk og svak blanding, som beskriver forestillingen om at de blandede stoffene blander seg overalt, i like stor grad. Dette kan være ikke-trivielt, som praktisk erfaring med å prøve å blande klissete, gooey stoffer viser.

Ergodic processesEdit

ovennevnte diskusjon appellerer til en fysisk følelse av et volum. Volumet trenger ikke å bokstavelig talt være en del AV 3D-plass; det kan være noe abstrakt volum. Dette er vanligvis tilfellet i statistiske systemer, hvor volumet (tiltaket) er gitt av sannsynligheten. Det totale volumet tilsvarer sannsynlighet en. Denne korrespondansen fungerer fordi aksiomene til sannsynlighetsteorien er identiske med målteorien; Dette Er Kolmogorovaksiomene.

ideen om et volum kan være veldig abstrakt. Tenk for eksempel settet av alle mulige mynt-flips: settet av uendelige sekvenser av hoder og haler. Tilordne volumet av 1 til dette rommet, er det klart at halvparten av alle slike sekvenser starter med hoder, og halvparten starter med haler. Man kan skjære opp dette volumet på andre måter :man kan si » jeg bryr meg ikke om den første n – 1 {\displaystyle n-1}

mynt-flips; men jeg vil ha n {\displaystyle n}

‘th av dem å være hoder, og så bryr jeg meg ikke om hva som kommer etter det». Dette kan skrives som sett ( ③ ,⋯,∗, h,∗,⋯) {\displaystyle (*,\cdots ,*,h,*,\cdots) {\displaystyle ( * , \ cdots,*, h,*, \ cdots )}

hvor ∗ {\displaystyle *}

er «ikke bryr seg» og h {\displaystyle h}

er «hoder». Volumet av denne plassen er igjen (åpenbart !) halvparten.

ovennevnte er nok til å bygge opp et målbevarende dynamisk system, i sin helhet. Mengden av h {\displaystyle h {\displaystyle h}}

t {\displaystyle t {\displaystyle t}}

i n {\displaystyle n {\displaystyle n}}

‘stedet kalles sylinder sett. Mengden av alle mulige kryss, fagforeninger og komplementer av sylindersettene danner Deretter borelsettet a {\displaystyle {\mathcal {a}}}

definert ovenfor. I formelle termer danner sylindersettene grunnlaget For en topologi På rommet X {\displaystyle X}

av alle mulige mynt-flips med uendelig lengde. Måleuttrykket {\displaystyle \ mu }

har alle de fornuftige egenskapene man kan håpe på: mål på en sylinder satt med h {\displaystyle h}

i m {\displaystyle m {\displaystyle m}}

‘t {\displaystyle t {\displaystyle t}}

i k {\displaystyle k {\displaystyle k}}

‘th posisjon er åpenbart 1/4, og så videre. Disse sunn fornuft egenskaper vedvarer for sett-komplement og sett-union: alt unntatt h {\displaystyle h}

og t {\displaystyle t}

på steder m {\displaystyle m}

og k {\displaystyle k}

åpenbart har volumet av 3/4. Alt sammen danner disse aksiomene til et sigma-additiv mål; målbevarende dynamiske systemer bruker alltid sigma-additive tiltak. For myntflips kalles Dette tiltaket Bernoulli-tiltaket.

for mynt-flip-prosessen er tidsevolusjonsoperatøren t {\displaystyle T}

er skiftoperatøren som sier «kast den første myntflipen, og hold resten». Formelt, hvis ( x 1 , x 2 , ⋯ ) {\displaystyle (x_{1},x_{2},\cdots )}

Er en sekvens av mynt-flips, så Er T ( x 1 , x 2 , ⋯ ) = ( x 2 , x 3 , ⋯ ) {\displaystyle T(x_{1},x_{2},\cdots )=(x_{2},x_{3},\cdots )}

. Tiltaket er åpenbart skift-invariant: så lenge vi snakker om noen sett En ∈ a {\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}

hvor den første mynt-flip x 1 = ∗ {\displaystyle x_{1}=*}

er» bryr meg ikke » – verdien, så endres ikke volumet μ ( a ) {\displaystyle \mu (A)}

ikke: μ ( A ) = μ ( T ( A ) ) {\displaystyle \Mu (A)=\Mu (T(A)) {\displaystyle \ Mu (A) = \ Mu (T (A)))}

. For å unngå å snakke om den første myntflipen, er det lettere å definere T-1 {\displaystyle t^{-1}}

som å sette inn en» bryr seg ikke » – verdi i første posisjon: T-1 (x 1 , x 2,⋯) = ( ∗ , x 1 , x 2 , ⋯ ) {\displaystyle t^{-1} (x_{1}, x_{2},\cdots) =( * , x_{1}, x_{2},\cdots )}

. Med denne definisjonen har man åpenbart at μ ( T − 1 (A ) ) = μ (A) {\displaystyle \mu (T^{-1}(A))=\mu (A)}

uten begrensninger På a {\displaystyle A}

. Dette er igjen et eksempel på Hvorfor T-1 {\displaystyle t^{-1}}

brukes i de formelle definisjonene.

den ovennevnte utviklingen tar en tilfeldig prosess, Bernoulli-prosessen, og konverterer den til et målbevarende dynamisk system ( X , A , μ , T ) . {\displaystyle (X, {\mathcal {A}}, \ mu, T).}

den samme konverteringen (ekvivalens, isomorfisme) kan brukes på enhver stokastisk prosess. Derfor er en uformell definisjon av ergodisitet at en sekvens er ergodisk hvis Den besøker Hele X {\displaystyle X}

; slike sekvenser er «typiske»for prosessen . En annen er at dens statistiske egenskaper kan utledes fra et enkelt, tilstrekkelig langt, tilfeldig utvalg av prosessen (således ensartet prøvetaking Av Alle X {\displaystyle x}

), eller at enhver samling av tilfeldige prøver fra en prosess må representere de gjennomsnittlige statistiske egenskapene til hele prosessen (det vil si prøver trukket jevnt fra X {\displaystyle X}

er representative.av x {\displaystyle x}

Som En Helhet.) I det nåværende eksemplet er en sekvens av myntflips, hvor halvparten er hoder, og halvparten er haler, en «typisk» sekvens.

Det er flere viktige punkter som skal gjøres Om Bernoulli-prosessen. Hvis man skriver 0 for haler og 1 for hoder, får man settet med alle uendelige strenger av binære sifre. Disse tilsvarer base – to utvidelse av reelle tall. Eksplisitt, gitt en sekvens (x 1 , x 2 , ⋯ ) {\displaystyle (x_{1}, x_{2},\cdots )}

, er det korresponderende reelle tallet y = ∑ n = 1 hryvnias x n 2 n {\displaystyle y=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x_{n}}{2^{n}}}}

påstanden Om At Bernoulli-prosessen er ergodisk tilsvarer påstanden om at de reelle tallene er jevnt fordelt. Settet av alle slike strenger kan skrives på flere måter: { h, t } ∞ = { h, t } ω = {0, 1 } ω = 2 ω = 2 N . {\displaystyle\{h,t\}^{\infty} =\{h,t\}^{\omega }=\{0,1\}^{\omega }=2^{\omega } = 2^{\mathbb {N} }.}

Dette settet er Kantorsettet, noen ganger kalt Kantorrommet for å unngå forvirring Med Kantorfunksjonen C (x) = ∑ n = 1 ∞ x n 3 n {\displaystyle C (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x_{n}}{3^{n}}}}

til slutt er disse alle «det samme».

Kantorsettet spiller nøkkelroller i mange grener av matematikk. I rekreasjonsmatematikk støtter den periodedoblingsfraktaler; i analyse vises det i et stort utvalg av teoremer. En nøkkel for stokastiske prosesser er Wold-dekomponeringen, som sier at enhver stasjonær prosess kan dekomponeres i et par ukorrelerte prosesser, en deterministisk og den andre er en glidende gjennomsnittsprosess.

Ornstein isomorphism theorem sier at hver stasjonær stokastisk prosess er ekvivalent Med En Bernoulli-ordning(En Bernoulli-prosess med En N-sidig (og muligens urettferdig) spilldø). Andre resultater inkluderer at hvert ikke-dissipative ergodisk system tilsvarer Markov-kilometertelleren, noen ganger kalt En «adding machine» fordi det ser ut som grunnskole tillegg, det vil si å ta en base-n siffersekvens, legge til en Og forplante bærebitene. Beviset på ekvivalens er veldig abstrakt; forståelse av resultatet er ikke: ved å legge til ett trinn hver gang, blir alle mulige tilstander av kilometertelleren besøkt, til den ruller over og starter igjen. På samme måte besøker ergodiske systemer hver stat, jevnt, går videre til neste, til de alle har blitt besøkt.

Systemer som genererer (uendelige) sekvenser Av n bokstaver, studeres ved hjelp av symbolsk dynamikk. Viktige spesielle tilfeller inkluderer subshifts av finite type og sofic-systemer.

Ergodicitet i fysikkrediger

Fysiske systemer kan deles inn i tre kategorier: klassisk mekanikk, som beskriver maskiner med et begrenset antall bevegelige deler, kvantemekanikk, som beskriver strukturen av atomer, og statistisk mekanikk, som beskriver gasser, væsker, faste stoffer; dette inkluderer kondensert materiefysikk. Saken om klassisk mekanikk er diskutert i neste avsnitt, på ergodicitet i geometri. Når det gjelder kvantemekanikk, selv om det er en oppfatning av kvantekaos, er det ingen klar definisjon av ergodocity; hva dette kan være, diskuteres varmt. Denne delen vurderer ergodicity i statistisk mekanikk.

ovennevnte abstrakte definisjon av et volum er nødvendig som riktig innstilling for definisjoner av ergodicitet i fysikk. Vurder en beholder med væske, eller gass, eller plasma, eller annen samling av atomer eller partikler. Hver partikkel x i {\displaystyle x_{i}}

har EN 3d-posisjon og en 3d-hastighet, og er dermed beskrevet av seks tall: et punkt I seksdimensjonalt rom r 6 . {\displaystyle \ mathbb {r} ^{6}.}

hvis Det Er n {\displaystyle N}

av disse partiklene i systemet, krever en fullstendig beskrivelse 6 n {\displaystyle 6N}

tall. Ethvert system er bare et enkelt punkt I R 6 N . {\displaystyle \ mathbb {R} ^{6N}.}

det fysiske systemet er ikke alle av R 6 n {\displaystyle \ mathbb {R} ^{6N}}

, selvfølgelig; hvis det er en boks med bredde, høyde Og lengde W × H × L {\displaystyle w\times h \ times l}

så er et Poeng i ( W × H × L 3 ) N . {\displaystyle (w\ganger H\ganger L \ganger \ mathbb {R} ^{3})^{N}.}

hastighetene Kan Heller ikke være uendelige: de skaleres med noen sannsynlighetsmål, for eksempel Boltzmann–Gibbs-tiltaket for en gass. For N {\displaystyle N}

nær Avogadros tall er dette åpenbart en veldig stor plass. Denne plassen kalles det kanoniske ensemblet.

et fysisk system sies å være ergodisk hvis et representativt punkt i systemet til slutt kommer til å besøke hele volumet av systemet. For eksemplet ovenfor innebærer dette at et gitt atom ikke bare besøker alle deler Av boksen W × H × l {\displaystyle w\times H\times l}

med jevn sannsynlighet, men det gjør det med alle mulige hastigheter, med sannsynlighet gitt Av Boltzmann-fordelingen for den hastigheten (så jevn med hensyn til det målet). Den ergodiske hypotesen sier at fysiske systemer faktisk er ergodiske. Flere tidsskalaer er på jobb: gasser og væsker ser ut til å være ergodiske over korte tidsskalaer. Ergodicity i et fast stoff kan sees i form av vibrasjonsmoduser eller fononer, som åpenbart atomene i et fast stoff ikke utveksle steder. Briller utgjør en utfordring for den ergodiske hypotesen; tidsskalaer antas å være i millioner av år, men resultatene er omstridte. Spin briller presentere spesielle vanskeligheter.

Formelle matematiske bevis på ergodicitet i statistisk fysikk er vanskelig å komme med; de fleste høydimensjonale mange kroppssystemer antas å være ergodiske, uten matematisk bevis. Unntak inkluderer dynamisk biljard, som modell billiard ball-type kollisjoner av atomer i en ideell gass eller plasma. Den første hard-sfære ergodicity teorem var for sinai biljard, som vurderer to baller, en av dem tatt som stasjonær, ved opprinnelsen. Når den andre ballen kolliderer, beveger den seg bort; ved å bruke periodiske grenseforhold, går den tilbake for å kollidere igjen. Ved å appellere til homogenitet, kan denne retur av den» andre «ballen i stedet bli tatt for å være» bare et annet atom » som har kommet inn i rekkevidde ,og beveger seg for å kollidere med atomet ved opprinnelsen (som kan tas for å være bare «noe annet atom».) Dette er en av de få formelle bevis som eksisterer; det er ingen tilsvarende uttalelser f. eks for atomer i en væske, samspill via van Der Waals krefter, selv om det ville være sunn fornuft å tro at slike systemer er ergodic (og blanding). Mer presise fysiske argumenter kan imidlertid gjøres.

Ergodicitet i geometryEdit

Ergodicitet er et utbredt fenomen i studiet Av Riemannske manifolder. En rask sekvens av eksempler, fra enkle til kompliserte, illustrerer dette punktet. Alle systemene nevnt nedenfor har vist seg å være ergodic via strenge formelle bevis. Den irrasjonelle rotasjonen av en sirkel er ergodisk: bane av et punkt er slik at til slutt blir hvert annet punkt i sirkelen besøkt. Slike rotasjoner er et spesielt tilfelle av intervallutvekslingskartet. Beta utvidelser av et tall er ergodic: beta-utvidelser av et reelt tall gjøres ikke i base-N, men i base – β {\displaystyle \ beta }

for noen β . {\displaystyle \ beta .}

den reflekterte versjonen av beta-utvidelsen er teltkart; det finnes en rekke andre ergodiske kart over enhetens intervall. Flytte til to dimensjoner, aritmetiske biljard med irrasjonelle vinkler er ergodic. Man kan også ta et flatt rektangel, squash det, kutte det og reassemble det; dette er den tidligere nevnte bakerens kart. Dens punkter kan beskrives av settet av bi-uendelige strenger i to bokstaver, det vil si strekker seg til både venstre og høyre; som sådan ser det ut som to kopier Av Bernoulli-prosessen. Hvis man deformerer sidelengs under squashing, får Man Arnolds kattkart. På de fleste måter er kattekartet prototypisk av enhver annen lignende transformasjon.

for ikke-flate overflater har man at den geodetiske strømmen av en negativt buet kompakt Riemann-overflate er ergodisk. En overflate er «kompakt» i den forstand at den har begrenset overflateareal. Den geodetiske strømmen er en generalisering av ideen om å bevege seg i en «rett linje» på en buet overflate: slike rette linjer er geodesikk. Et av De tidligste tilfellene som studeres er hadamards biljard, som beskriver geodesi på Bolza-overflaten, topologisk ekvivalent med en doughnut med to hull. Ergodicity kan demonstreres uformelt, hvis man har en sharpie og et rimelig eksempel på en tohullet doughnut: starter hvor som helst, i hvilken som helst retning, forsøker man å tegne en rett linje; linjaler er nyttige for dette. Det tar ikke så lang tid å oppdage at man ikke kommer tilbake til utgangspunktet. (Selvfølgelig kan skrå tegning også utgjøre dette; det er derfor vi har bevis.)

disse resultatene strekker seg til høyere dimensjoner. Den geodetiske strømmen for negativt buede kompakte Riemannian manifolder er ergodisk. Et klassisk eksempel på Dette Er Anosov-strømmen, som er horocyklestrømmen på en hyperbolisk manifold. Dette kan sees å være En Slags Hopf fibrering. Slike strømmer forekommer ofte i klassisk mekanikk, som er studiet i fysikk av endelig dimensjonale bevegelige maskiner, f. eks. dobbel pendel og så videre. Klassisk mekanikk er konstruert på symplektiske manifolder. Strømmen på slike systemer kan dekonstrueres til stabile og ustabile manifolder; som en generell regel, når dette er mulig, resulterer kaotisk bevegelse. At dette er generisk kan ses ved å merke seg at cotangent-bunten av En Riemannian manifold er (alltid) en symplektisk manifold; den geodetiske strømmen er gitt ved en løsning På Hamilton–Jacobi-ligningene for denne manifolden. I forhold til de kanoniske koordinatene ( q , p) {\displaystyle (q, p)}

På cotangentmanifolden er Hamiltonian eller energien gitt Ved h = 1 2 ∑ i j g i j ( q ) p i p j {\displaystyle h={\tfrac {1}{2}}\sum _{ij}g^{ij}(q)p_{i}p_{j}}

med g i j {\displaystyle g^{ij}}

den (inverse av den) metriske tensor og p i {\displaystyle p_{i}}

momentumet. Likheten Med den kinetiske energien E = 1 2 m v 2 {\displaystyle E={\tfrac {1}{2}} mv^{2}}

av en punktpartikkel er neppe tilfeldig; dette er hele poenget med å kalle slike ting «energi». I denne forstand er kaotisk oppførsel med ergodiske baner et mer eller mindre generisk fenomen i store områder av geometri.

Ergodicitetsresultater er gitt i oversettelsesflater, hyperbolske grupper og systolisk geometri. Teknikker inkluderer studiet av ergodiske strømmer, Hopf-dekomponeringen og Ambrose–Kakutani–Krengel–Kubo-setningen. En viktig klasse av systemer er Aksiom a-systemene.

en rekke både klassifisering og «anti-klassifisering» resultater er oppnådd. Ornstein isomorphism theorem gjelder også her; igjen sier det at de fleste av disse systemene er isomorfe til Noen Bernoulli-ordninger. Dette knytter ganske pent disse systemene tilbake til definisjonen av ergodicitet gitt for en stokastisk prosess, i forrige avsnitt. Anti-klassifiseringsresultatene sier at det er mer enn et utallige uendelig antall inequivalente ergodiske målbevarende dynamiske systemer. Dette er kanskje ikke helt en overraskelse, da man kan bruke poeng i Cantor-settet til å konstruere lignende, men forskjellige systemer. Se måle-bevare dynamisk system for en kort undersøkelse av noen av anti-klassifisering resultater.

Historisk utviklingrediger

ideen om ergodicitet ble født innen termodynamikk, hvor det var nødvendig å forholde de enkelte tilstandene av gassmolekyler til temperaturen til en gass som helhet og dens tidsutvikling derav. For å gjøre dette var det nødvendig å angi hva det betyr for gasser å blande seg godt sammen, slik at termodynamisk likevekt kunne defineres med matematisk strenghet. Når teorien var godt utviklet i fysikk, ble den raskt formalisert og utvidet, slik at ergodisk teori lenge har vært et selvstendig område av matematikk i seg selv. Som en del av denne progresjonen eksisterer mer enn en litt annen definisjon av ergodicitet og mengder av tolkninger av konseptet i ulike felt.

for eksempel innebærer begrepet i klassisk fysikk at et system tilfredsstiller den ergodiske hypotesen om termodynamikk, det relevante tilstandsrommet er posisjon og momentumrom. I dynamisk systemteori er tilstandsrommet vanligvis tatt for å være et mer generelt faserom. På den annen side i kodeteori er statens rom ofte diskret i både tid og stat, med mindre samtidig struktur. På alle disse feltene kan ideene om tids gjennomsnitt og ensemble gjennomsnitt også bære ekstra bagasje også—som det er tilfelle med de mange mulige termodynamisk relevante partisjonsfunksjonene som brukes til å definere ensemble gjennomsnitt i fysikk, tilbake igjen. Som sådan tjener målteoretisk formalisering av konseptet også som en samlende disiplin.

EtymologyEdit

begrepet ergodisk er vanligvis antatt å stamme fra de greske ordene ἔργον (ergon: «arbeid») og ὁδός (hodos: «sti», «vei»), som valgt av ludwig boltzmann mens han Jobbet Med et problem i statistisk mekanikk. Samtidig hevdes det også å være en avledning av ergomonode, laget Av Boltzmann i et relativt uklart papir fra 1884. Etymologien synes å være omstridt på andre måter også.