5.1 Innledning
Fluidmekanikk generelt og grenselag spesielt er matematisk komplekse. Slik kompleksitet til tider ikke bare fremskritt studiet og forståelse av væsker, men også fremskritt anvendt matematikk disiplin. Matematikk fortsetter å gi rom for sårt tiltrengte konklusjoner trekkes fra flere disipliner. For dette formål fortsetter mange matematikere å gi betydelige bidrag til disiplinen av væskedynamikk.
Grenselag problemer innebærer en rask endring i verdien av en fysisk variabel over et begrenset område av plass, og de utgjør en bestemt klasse av entall perturbasjon problemer. I denne forbindelse involverer nesten alle grenselagsproblemer differensialligninger der den høyeste derivative termen multipliseres med en liten parameter. Grenselaget er også alltid betraktet som semiinfinite, den viktigste grunnen er frihet fra å måtte vurdere sluttgrenseeffekter der alle imponderables og tenkelige kan forventes. Vurderer en uendelig overflate kan være så vanskelig som å distrahere fra hovedinteressen av henvendelsen i første omgang. Når det er sagt, er det ingenting som forbyder den yngre generasjonen av forskere å konfrontere dette problemet, med tanke på deres fordel av eksponering for relativt større kunnskap enn tidligere generasjoner.
Hydro – eller fluiddynamikk styres av ikke-lineære partielle differensialligninger (Pde), som er svært vanskelig å løse analytisk. Så vidt vi vet finnes det ingen generell lukket løsning på disse ligningene. De styrende ligningene i grenselaget er primært basert på en forenkling av systemet av andreordens ikke-lineære partielle differensialligninger (PDEs), som er kjent Som Navier–Stokes (NS) bevegelsesligninger for viskøse strømmer. Forenkling tilbys Av Prandtl i 1908 er generelt referert Til Som Prandtl Grense Lag (PBL) ligninger. I motsetning TIL ns-ligningene, som er elliptiske, er grenselagsligninger parabolske i naturen, og teknikkene som brukes til å løse dem, er basert på likhetsloven i grenselagsstrømmer.
Tre primære metoder kan brukes til å løse grenselags problemer: likheten eller differensialmetoden (mest vanlig tilnærming), integralmetoden og full numerisk løsningsmetode. Mange spesielle tilfeller av ikke-lineære Pdeer har ført til passende endringer i variabler eller strekktransformasjoner, avhengig av oppgaven de er ment å oppnå. Noen transformasjoner lineariserer systemet med ligninger under vurdering, mens andre forvandler systemet til en som en løsning eksisterer for. Transformasjoner som reduserer Et System Av Pde til et system av ordinære differensialligninger (Oder) ved å utnytte en iboende symmetri av problemet blir ofte betraktet som » likhet transformasjoner.»Likhetsmetoden er den opprinnelige Blasius-metoden som ble utviklet for å løse grenselagsproblemer analytisk. Blasius introduserte og benyttet en uavhengig variabel kalt likhetsvariabelen Til Prandtls grenselagsligninger . Dette var basert på premisset om at hastigheten er geometrisk lik langs strømningsretningen, hvor bevaringspdes omdannes til Oder. Likhetstransformasjonen fanger opp grenselagets vekst og forenkler analysen og løsningen av de styrende ligningene betydelig. Funnet av en likhetsvariabel som er egnet for transformasjonen å finne sted er en kunst snarere enn en vitenskap, og det krever å ha god innsikt i problemet. Antallet uavhengige variabler i Pde-Ene konverteres nøye til en enkelt uavhengig variabel (kjent som likhetsvariabelen). De opprinnelige innledende grensebetingelsene blir også like omdannet til passende grensebetingelser i den nye kombinerte variabelen.
likhetstransformasjonsteknikken er et uunnværlig verktøy for analyse av væskemekanisk oppførsel generelt og spesielt grenselagsprosesser. Asymptotiske teknikker tillater oss å lage enkle et komplekst system, som da gir en opplyst form for empirisme som vi refererer til som likhet. Flere metoder og tilnærminger har blitt utviklet for å finne likhetsvariabler, for eksempel Vaschy–Buckingham Pi-teoremet . Den strengeste og systematiske tilnærmingen til å finne likhetsvariabler er basert På Lie – gruppen av transformasjoner . Forutsetningen For Lie-group-tilnærmingen er at hver variabel i den første ligningen blir utsatt for en uendelig transformasjon. Kravet om at ligningen er invariant under disse transformasjonene fører til bestemmelse av potensielle eller mulige symmetrier. Denne tilnærmingen har blitt rutinemessig brukt på grenselagsligninger. Apropos boundary layer theory, forfatterne av gitt en omfattende redegjørelse for klassiske metoder, inkludert flere mulige utfall avhengig av perspektivet på problemet som skal løses. Clarkson-Krustal direkte metode, som brukes til å finne likhet reduksjoner, ble anvendt i å ustø grense lag ligninger. Det er viktig å merke seg at likheten variabelen funnet er ikke unik eller særegen for ett problem bare; det kan brukes til andre lignende problemer der det er hensiktsmessig. Videre diskuterte Hansen» strekkvariabel » – metoden som brukes til å finne likhetstransformasjoner. Likhetsproblemer reduserer de opprinnelige pbl-ligningene til en form som er invariant med hensyn til affintransformasjoner. Det lokale strømningsfeltet løses deretter gjennom analytiske / numeriske løsninger av Pdene som styrer grenselaget. Karakteristisk gir hastighetsprofilene til grenselagstrømmer en serie homotiske kurver og tomter. Hvorfor er de vanligvis homotiske? Når det gjelder hastighetsprofilen, normaliserer vi for eksempel ved uU∞, og dette har en tendens til eller nærmer seg enhet. Tilsvarende, når det gjelder temperaturprofilen, normaliserer vi med freestream temperatur, Eller t−T∞, og dette har en tendens til eller nærmer seg null. Integrerte metoder, i en annen henseende, gir lukkede løsninger ved å anta en profil av hastighet, temperatur og konsentrasjonsmasseoverføring. Det innebærer integrering av ligningene fra veggen til fri strøm, og gir dermed en samlet ytelse som inkluderer veksten av grenselaget. Til slutt bruker den fulle numeriske metoden velprøvde numeriske ordninger og praktiske simuleringskoder med høyhastighets datamaskiner for å løse flere grenselagsproblemer.
det bør bemerkes at noen studier i litteraturen diskuterer resultatene som eksakte løsninger. Forsiktig i denne forbindelse er viktig. Generelt, når vi snakker om «eksakte løsninger» av grunnleggende ligninger, som NS-ligningene, og dette kan være de fulle ns-ligningene eller noen av deres tilnærmede former, så lenge de oppnådde løsningene som er oppnådd ved en hvilken som helst teknikk, er faktisk så nøyaktige som de kommer, det vil si, det er ingen bedre løsning funnet. Nøyaktigheten refererer til løsningen av ligningen selv. Hvis ligningen i spørsmålet har vært en tilnærming til en mer robust ligning, bør kravet om nøyaktighet av løsningen bare være den omtrentlige løsningen.