Her er noen grunnleggende definisjoner og egenskaper av linjer og vinkler i geometri. Disse konseptene er testet i mange konkurrerende opptaksprøver som GMAT, GRE, CAT.
Linjesegment: et linjesegment har to endepunkter med en bestemt lengde.
Stråle: en stråle har ett endepunkt og strekker seg uendelig i en retning.
Rett linje: En rett linje har verken start-eller sluttpunkt og er av uendelig lengde.
Spiss vinkel: vinkelen som er mellom 0° og 90° er en spiss vinkel, ∠A i figuren under.
stump vinkel: vinkelen som er mellom 90° og 180° er en stump vinkel, ∠B som vist nedenfor.
Rett vinkel: vinkelen som er 90° er En Rett vinkel, ∠C som vist nedenfor.
Rett vinkel: Vinkelen som er 180° er en rett vinkel, ∠AOB i figuren nedenfor.
Tilleggsvinkler:
i figuren over kalles ∠AOC + ∠COB = 180°
dersom summen av to vinkler er 180° kalles vinklene tilleggsvinkler.
To rette vinkler supplerer alltid hverandre.
paret av tilstøtende vinkler hvis sum er en rett vinkel kalles et lineært par.
komplementære vinkler:
∠COA + ∠AOB = 90°
hvis summen av to vinkler er 90° kalles de to vinklene komplementære vinkler.
Tilstøtende vinkler:
vinklene som har en felles arm og et felles toppunkt kalles tilstøtende vinkler.
i figuren ovenfor er ∠BOA og ∠tilstøtende vinkler. Deres felles arm ER OA og felles toppunkt er ‘O’.
Vertikalt motsatte vinkler:
når to linjer krysser, kalles vinklene som er dannet motsatt hverandre ved skjæringspunktet (vertex) vertikalt motsatte vinkler.
i figuren ovenfor er
x og y to kryssende linjer.
∠A og ∠c lag ett par vertikalt motsatte vinkler og
∠B og ∠D lag et annet par vertikalt motsatte vinkler.
Vinkelrette linjer: når det er en rett vinkel mellom to linjer, sies linjene å være vinkelrett på hverandre.
her sies linjene OA og OB å være vinkelrett på hverandre.
Parallelle linjer:
Her er A og B to parallelle linjer, krysset av en linje p.
linjen p kalles en transversal, det som krysser to eller flere linjer (ikke nødvendigvis parallelle linjer) på forskjellige punkter.
som vist i figuren ovenfor, når en transversal skjærer to linjer, dannes 8 vinkler.
la oss vurdere detaljene i en tabellform for enkel referanse.
| Types of Angles | Angles |
| Interior Angles | ∠3, ∠4, ∠5, ∠6 |
| Exterior Angles | ∠1, ∠2, ∠7, ∠8 |
| Vertically opposite Angles | (∠1, ∠3), (∠2, ∠4), (∠5, ∠7), (∠6, ∠8) |
| Corresponding Angles | (∠1, ∠5), (∠2, ∠6), (∠3, ∠7), (∠4, ∠8) |
| Interior Alternate Angles | (∠3, ∠5), (∠4, ∠6) |
| Exterior Alternate Angles | (∠1, ∠7), (∠2, ∠8) |
| Indre Vinkler på samme side av transversal | (∠3, ∠6), (∠4, ∠5) |
når en transversal krysser to parallelle linjer,
- de tilsvarende vinklene er like.
- de vertikalt motsatte vinklene er like.
- de alternative innvendige vinklene er like.
- de alternative utvendige vinklene er like.
- paret av indre vinkler på samme side av transversalen er supplerende.
vi kan si at linjene er parallelle hvis vi kan verifisere minst en av de nevnte forholdene.
La oss ta en titt på noen eksempler.
Løste eksempler
Eksempel 1. Hvis linjene m og n er parallelle med hverandre, bestemmer du vinklene ∠5 og ∠7.
Løsning:
Å Bestemme ett par kan gjøre det mulig å finne alle de andre vinklene. Følgende er en av de mange måtene å løse dette spørsmålet på.
∠2 = 125°
∠2 = ∠4 siden de er vertikalt motsatte vinkler.
Derfor, ∠4 = 125°
∠4 er en av de indre vinklene på samme side av transversalen.
Derfor, ∠4 + ∠5 = 180°
125 + ∠5 = 180 → ∠5 = 180 – 125 = 55°
∠5 = ∠7 siden vertikalt motsatte vinkler.
Derfor, ∠5 = ∠7 = 55°
Merk: noen ganger kan parallellegenskapen til linjene ikke nevnes i problemstillingen, og linjene kan synes å være parallelle med hverandre; men de kan ikke være. Det er viktig å avgjøre om to linjer er parallelle ved å verifisere vinklene og ikke av utseende.
Eksempel 2. Hvis ∠A = 120° Og ∠h = 60 hryvnias. Bestem om linjene er parallelle.
Løsning:
Gitt ∠A = 120° Og ∠H = 60°
siden tilstøtende vinkler er supplerende, ∠A + ∠= 180°
120 + ∠ B = 180 → ∠ B = 60°
det er gitt at ∠H = 60° Vi kan se at ∠B Og ∠H er utvendige alternative vinkler.
når utvendige alternative vinkler er like, er linjene parallelle.
derfor er linjene p og q parallelle.
vi kan bekrefte dette ved hjelp av andre vinkler.
Hvis ∠H = 60°, ∠E = 120° siden disse to er på en rett linje, er de supplerende.
Nå, ∠A = ∠E = 120° ∠A og ∠E er tilsvarende vinkler.
når tilsvarende vinkler er like, er linjene parallelle.
på Samme måte kan vi bevise å bruke andre vinkler også.
Eksempel 3. Hvis p og q er to linjer parallelle med hverandre og ∠E = 50°, finner du alle vinklene i figuren nedenfor.
Løsning:
det er gitt ∠E = 50°
de to linjene er parallelle
→ de tilsvarende vinklene er like.
Siden ∠E og ∠a er tilsvarende vinkler, ∠a = 50°
→ de vertikalt motsatte vinklene er like.
Siden ∠A Og ∠C er vertikalt motsatt til hverandre, ∠C = 50°
Siden ∠E Og ∠G er vertikalt motsatt til hverandre, ∠G = 50°
→ de indre vinklene på samme side av tverrsiden er supplerende.
∠E + ∠D = 180° → 50 + ∠ D = 180 ° → ∠ = 130°
→ ∠ d og ∠B er vertikalt motsatte vinkler. Så ∠B = 130°