Tre dimensjonerrediger
Plasskurve I 3D. posisjonsvektoren r er parameterisert av en skalar t. Ved r = a den røde linjen er tangenten til kurven, og det blå planet er normalt for kurven.
i tre dimensjoner kan ethvert sett med tredimensjonale koordinater og deres tilsvarende basisvektorer brukes til å definere plasseringen av et punkt i rommet-det som er det enkleste for oppgaven ved hånden, kan brukes.
vanligvis bruker man det kjente Kartesiske koordinatsystemet, eller noen ganger sfæriske polarkoordinater eller sylindriske koordinater:
r ( t ) ≡ r ( x , y , z ) ≡ x ( t ) e ^ x + y ( t ) e ^ y + z ( t ) e ^ z ≡ r ( r , θ , ϕ ) ≡ r ( t ) e ^ r ( θ ( t ) , ϕ ( t ) ) ≡ r ( r , θ , z ) ≡ r ( t ) e ^ r ( θ ( t ) ) + z ( t ) e ^ z , {\displaystyle {\begin{justert}\mathbf {r} (t)&\ekv \mathbf {r} (x,y,z)\ekv x(t)\mathbf {\hat {e}} _{x}+y(t)\mathbf {\hat {e}} _{y}+z(t)\mathbf {\hat {e}} _{z}\\&\ekv \mathbf {r} (r,\theta ,\phi )\ekv r(t)\mathbf {\hat {e}} _{r}{\big (}\theta (t),\phi (t){\big )}\\&\ekv \mathbf {r} (r,\theta ,z)\ekv r(t)\mathbf {\hat {e}} _{r}{\big (}\theta (t t){\big )} +z(t)\mathbf {\hat {e}} _{z},\\ \ end{aligned}}}
hvor t er en parameter, på grunn av deres rektangulære eller sirkulære symmetri. Disse forskjellige koordinatene og tilsvarende basisvektorer representerer samme posisjonsvektor. Mer generelle krøllete koordinater kan brukes i stedet og er i sammenhenger som kontinuummekanikk og generell relativitet (i sistnevnte tilfelle trenger man en ekstra tidskoordinat).
n dimensjonerrediger
Lineær algebra tillater abstraksjon av en n-dimensjonal posisjonsvektor. En posisjonsvektor kan uttrykkes som en lineær kombinasjon av basisvektorer:
r = ∑ i = 1 n x i e i = x 1 e 1 + x 2 e 2 + ⋯ + x n e n . {\displaystyle \ mathbf {r} = \ sum _{i=1}^{n}x_ {i}\mathbf {e} _{i} = x_{1} \ mathbf {e} _{1} + x_ {2} \ mathbf {e} _{2} + \dotsb + x_{n} \ mathbf {e} _ {n}.}
settet av alle posisjonsvektorer danner posisjonsrom (et vektorrom hvis elementer er posisjonsvektorer), siden posisjoner kan legges til (vektortillegg) og skaleres i lengde (skalar multiplikasjon) for å oppnå en annen posisjonsvektor i rommet. Begrepet «plass» er intuitivt, siden hver xi (i = 1, 2,…, n) kan ha noen verdi, definerer samlingen av verdier et punkt i rommet.
dimensjonen til posisjonsområdet er n (også betegnet dim (R) = n). Koordinatene til vektoren r med hensyn til basisvektorene ei er xi. koordinatvektoren danner koordinatvektoren eller n-tuple (x1, x2, …, xn).
hver koordinat xi kan parameteriseres et antall parametere t. En parameter xi (t) vil beskrive en buet 1d-bane, to parametere xi(t1, t2) beskriver en buet 2d-overflate, tre xi (t1, t2, t3) beskriver et buet 3d-volum av plass og så videre.
det lineære spennet til et basissett B = {e1, e2,…, en} er lik posisjonsområdet R, betegnet spennet(B) = R.