når man bruker matematiske symboler for å beskrive Riemann zeta-funksjonen, representeres den som en uendelig rekke:
ζ = ∑ n = 1 ∞ 1 n s , R e ( s) > 1. {\displaystyle \ zeta (s)= \ sum _{n=1}^{\infty } {\frac {1}{n^{s}}},\quad \ mathrm {Re} (s)> 1.}
hvor R e (s ) {\displaystyle \mathrm {Re} (s))}
er den reelle delen av det komplekse tallet s {\displaystyle s}
. For eksempel, hvis s = a + i b {\displaystyle s=a+ib}
, Så Er r e ( s ) = a {\displaystyle \mathrm {Re} (S)=a}
(hvor i 2 = − 1 {\displaystyle i^{2}=-1}
).
dette gjør en sekvens. De første betingelsene i denne sekvensen vil være
1 1 s + 1 2 s + 1 3 s … {\displaystyle {\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}+{\frac {1} {3^{s}}\ldots}
og så videre
dette gjelder imidlertid ikke for tall hvor r e ( s ) < 1 {\displaystyle \mathrm {re} (s)<1}
, siden hvis vi tolker denne funksjonen som en uendelig sum, konvergerer summen ikke. I stedet divergerer det. Dette betyr at i stedet for å nærme seg en bestemt verdi, vil den bli uendelig stor. Riemann brukte analytisk fortsettelse, slik at han kunne gi en verdi til alle tall unntatt 1. ζ (1) {\displaystyle \ zeta (1)}
representerer den harmoniske serien, som divergerer, noe som betyr at summen ikke er nær et bestemt tall.
Leonhard Euler oppdaget de første resultatene om serien som denne funksjonen representerer i det attende århundre. Han viste At zeta-funksjonen kan skrives som et uendelig produkt av primtall. I matematisk notasjon:
ζ (s ) = ∏ p | prime 1 1 − p {\displaystyle \zeta (s)= \ prod _{p / {\text{prime}}} {\frac {1}{1-p^{- s}}}}
