Ergodiciteit

Ergodiciteit komt voor in brede settings in de natuurkunde en wiskunde. Al deze instellingen worden verenigd door een gemeenschappelijke wiskundige beschrijving, die van het dynamisch systeem voor maatbehoud. Een informele beschrijving hiervan, en een definitie van ergodiciteit met betrekking tot het, wordt onmiddellijk hieronder gegeven. Dit wordt gevolgd door een beschrijving van ergodiciteit in stochastische processen. Ze zijn één en dezelfde, ondanks het gebruik van dramatisch verschillende notatie en taal. Een overzicht van ergodiciteit in de natuurkunde, en in de meetkunde volgt. In alle gevallen is de notie van ergodiciteit precies hetzelfde als die voor dynamische systemen; Er is geen verschil, behalve voor outlook, notatie, stijl van denken en de tijdschriften waar de resultaten worden gepubliceerd.

dynamisch systeembewerk

de wiskundige definitie van ergodiciteit heeft tot doel alledaagse ideeën over willekeur vast te leggen. Dit omvat ideeën over systemen die zich zodanig bewegen dat (uiteindelijk) alle ruimte wordt opgevuld, zoals diffusie en Brownse beweging, maar ook gezonde begrippen van mengen, zoals het mengen van verf, dranken, kookingrediënten, industrieel procesmengsel, rook in een met rook gevulde ruimte, het stof in de ringen van Saturnus en ga zo maar door. Om een solide wiskundige basis te bieden, beginnen de beschrijvingen van ergodische systemen met de definitie van een dynamisch systeem voor maatbehoud. Dit wordt geschreven als (X, A, μ, T). {\displaystyle (X, {\mathcal {A}}, \ mu, T).}

de verzameling x {\displaystyle X}

wordt verstaan de totale te vullen ruimte: de mengkom, de met rook gevulde ruimte, enz. De maat μ {\displaystyle \ mu }

definieert het natuurlijke volume van de ruimte X {\displaystyle X}

en van haar subruimtes. De collectie van deelruimten aangeduid met Een {\displaystyle {\mathcal {A}}}

, en de grootte van een deelverzameling A ⊂ X {\displaystyle A\subset X}

is μ ( A ) {\displaystyle \mu (A)}

; de grootte van het volume. Naïef, kan men zich een {\displaystyle {\mathcal {A}}}

wordt de machtsverzameling van X {\displaystyle X}

; dit werkt niet helemaal, omdat niet alle deelverzamelingen van een ruimte een volume hebben (de Banach-Tarski-paradox). Dus, conventioneel, A {\displaystyle {\mathcal {A}}}

bestaat uit de meetbare deelverzamelingen – de deelverzamelingen die wel een volume hebben. Het wordt altijd beschouwd als een Borel verzameling—de verzameling van deelverzamelingen die geconstrueerd kunnen worden door kruispunten, Unies en set complementen te nemen; deze kunnen altijd meetbaar worden geacht.

de tijd evolutie van het systeem wordt beschreven door een kaart T: X → X {\displaystyle T:X\to X}

. Gegeven een deelverzameling A ⊂ X {\displaystyle A\subset X}

, zal de afbeelding T ( A ) {\displaystyle T(A)}

in het algemeen een vervormde versie zijn van A {\displaystyle A}

– het wordt geplet of uitgerekt, gevouwen of in stukjes. Wiskundige voorbeelden zijn de bakkerskaart en de hoefijzerkaart, beide geïnspireerd door broodbereiding. De verzameling T(A ) {\displaystyle T (A)}

moet hetzelfde volume hebben als a {\displaystyle A}

; de squashing / stretching verandert niet het volume van de ruimte, alleen de verdeling ervan. Een dergelijk systeem is “maatregel-conservering” (oppervlakte-conservering, volume-conservering).

een formele moeilijkheid doet zich voor wanneer men probeert het volume van Verzamelingen te verzoenen met de noodzaak om hun grootte onder een kaart te behouden. Het probleem doet zich voor omdat, in het algemeen, verschillende punten in het domein van een functie kunnen toewijzen aan hetzelfde punt in zijn bereik; dat wil zeggen, Er kan x ≠ y zijn {\displaystyle x \ neq y}

met T ( x ) = T ( y ) {\displaystyle T(x)=T(y))}

. Erger nog, een enkel punt x ∈ x {\displaystyle x \ in X}

heeft geen grootte. Deze moeilijkheden kunnen worden vermeden door te werken met de omgekeerde kaart T-1: A → A {\displaystyle T^{-1}: {\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}}

; het zal een gegeven deelverzameling a map X {\displaystyle A\subset X}

toewijzen aan de delen die werden geassembleerd om het te maken: deze delen zijn T − 1 ( A ) ∈ A {\displaystyle T^{-1}(A)\in {\mathcal {A}}}

. Het heeft de belangrijke eigenschap om niet uit het oog te verliezen waar dingen vandaan kwamen. Sterker nog, het heeft de belangrijke eigenschap dat elke (maat-bewarende) afbeelding A → A {\displaystyle {\mathcal {A}}\naar {\mathcal {A}}}

is de inverse van een bepaalde afbeelding x → X {\displaystyle X\to X}

. De juiste definitie van een volume-behoud van de kaart is dat waarbij μ ( A ) = μ ( T − 1 ( A ) ) {\displaystyle \mu (A)=\mu (T^{-1}(Een))}

omdat T − 1 ( A ) {\displaystyle T^{-1}(Een)}

beschrijft alle onderdelen-onderdelen die Een {\displaystyle A}

vandaan kwam.

men is nu geïnteresseerd in het bestuderen van de tijd evolutie van het systeem. Als een stel A ∈ A {\displaystyle Een\in {\mathcal {A}}}

uiteindelijk komt vult alle X {\displaystyle X}

over een lange periode van tijd (dat is, als T n ( A ) {\displaystyle T^{n}(Een)}

alle benaderingen van X {\displaystyle X}

voor grote n {\displaystyle n}

), het systeem wordt gezegd ergodic. Als elke verzameling a {\displaystyle A}

zich op deze manier gedraagt, is het systeem een conservatief systeem, geplaatst in tegenstelling tot een dissipatief systeem, waar sommige deelverzamelingen a {\displaystyle A}

afdwalen en nooit meer terug worden gegeven. Een voorbeeld is water dat bergafwaarts loopt — als het eenmaal is weggespoeld, zal het nooit meer omhoog komen. Het meer dat zich op de bodem van deze rivier vormt, kan echter goed gemengd worden. De ergodische decompositiestelling stelt dat elk ergodisch systeem in twee delen kan worden gesplitst: het conservatieve deel en het dissipatieve deel.

mengen is een sterker statement dan ergodiciteit. Mengen vraagt om deze ergodische eigenschap te houden tussen twee verzamelingen a , B {\displaystyle A, B}

, en niet alleen tussen een verzameling a {\displaystyle A}

en X {\displaystyle X}

. Dat is, gezien alle twee sets A , B ∈ A {\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}}

, een systeem wordt gezegd (topologically) mengen als er een geheel getal N {\displaystyle N}

zodanig dat, voor alle A , B {\displaystyle Een,B}

en n > N {\displaystyle n>N}

, heeft dat T n ( A ) ∩ B ≠ ∅ {\displaystyle T^{n}(A)\cap B\neq \varnothing }

. Hier staat ∩ {\displaystyle \cap }

voor het snijpunt van een verzameling en ∅ {\displaystyle \ varnothing }

is de lege verzameling. Andere begrippen van mengen zijn sterke en zwakke mengen, die de notie beschrijven dat de gemengde stoffen overal, in gelijke verhouding mengen. Dit kan niet-triviaal zijn, zoals blijkt uit de praktijkervaring van het proberen kleverige, kleverige stoffen te mengen.

Ergodische processedit

bovenstaande discussie doet een beroep op een fysiek gevoel van een volume. Het volume hoeft niet letterlijk een deel van de 3D-ruimte te zijn; het kan een abstract volume zijn. Dit is over het algemeen het geval in statistische systemen, waar het volume (de maat) wordt gegeven door de waarschijnlijkheid. Het totale volume komt overeen met kans één. Deze correspondentie werkt omdat de axioma ’s van de kansrekening identiek zijn aan die van de maattheorie; dit zijn de axioma’ s van Kolmogorov.

het idee van een volume kan zeer abstract zijn. Denk bijvoorbeeld aan de verzameling van alle mogelijke munt-flips: de verzameling van oneindige opeenvolgingen van kop en munt. Door het volume van 1 aan deze ruimte toe te wijzen, is het duidelijk dat de helft van al deze sequenties begint met koppen, en de helft begint met staarten. Men kan dit volume op een andere manier verdelen: men kan zeggen: “Ik geef niets om de eerste n − 1 {\displaystyle n-1}

munt-flips; maar ik wil de n {\displaystyle n}

’th van hen om hoofden te zijn, en dan geef ik niet om wat er daarna komt”. Dit kan worden geschreven als de verzameling ( ∗ , ⋯ , ∗ , h , ∗ , ⋯ ) {\displaystyle (*,\cdots ,*,h,*, \ cdots )}

waar ∗ {\displaystyle *}

is ” don ’t care” en h {\displaystyle h}

is “kop”. Het volume van deze ruimte is weer (uiteraard!) de helft.

het bovenstaande is voldoende om een dynamisch systeem voor maatvastheid in zijn geheel op te bouwen. De verzamelingen van h {\displaystyle h}

of t {\displaystyle t}

voorkomen in de n {\displaystyle n}

‘de plaats worden cilindersets genoemd. De verzameling van alle mogelijke kruispunten, Unies en complementen van de cilinderverzamelingen vormt dan de Borelverzameling a {\displaystyle {\mathcal {A}}}

hierboven gedefinieerd. Formeel gezien vormen de cilinderverzamelingen de basis voor een topologie op de ruimte X {\displaystyle X}

van alle mogelijke muntenomslagen met oneindige lengte. De maatregel μ {\displaystyle \mu }

heeft alle van de common-sense eigenschappen die men zou kunnen hopen: de maat van een cilinder set met h {\displaystyle h}

in de m {\displaystyle m}

’th positie, en t {\displaystyle t}

in de k {\displaystyle k}

’th positie is natuurlijk 1/4, enzovoort. Deze eigenschappen van gezond verstand blijven bestaan voor set-complement en set-union: alles behalve h {\displaystyle h}

en t {\displaystyle t}

op locaties m {\displaystyle m}

en k {\displaystyle k}

heeft duidelijk het volume van 3/4. Al met al vormen deze axioma ’s de axioma’ s van een sigma-additieve maat; dynamische systemen voor maatbehoud maken altijd gebruik van sigma-additieve maat. Voor muntomslagen wordt deze maat de Bernoulli maat genoemd.

voor het munt-flip proces, de tijd-evolutie operator T {\displaystyle T}

is de operator die zegt “gooi de eerste munt-flip weg, en houd de rest”. Formeel, als ( x 1 , x 2 , ⋯ ) {\displaystyle (x_{1},x_{2},\cdots )}

is een opeenvolging van munt-klapt, dan is T ( x 1 , x 2 , ⋯ ) = ( x 2 , x 3 , ⋯ ) {\displaystyle T(x_{1},x_{2},\cdots )=(x_{2},x_{3},\cdots )}

. De maat is duidelijk shift-invariant: zolang we praten over een stel A ∈ A {\displaystyle Een\in {\mathcal {A}}}

waar de eerste coin-flip x 1 = ∗ {\displaystyle x_{1}=*}

is de “don’ t care ‘ – waarde dan is het volume μ ( A ) {\displaystyle \mu (A)}

wijzigen niet: μ ( A ) = μ ( T ( A ) ) {\displaystyle \mu (A)=\mu (T(Een))}

. Om te voorkomen dat het praten over de eerste coin-flip, het is gemakkelijker te definiëren T − 1 {\displaystyle T^{-1}}

als u een “don’ t care” – waarde in de eerste positie: T − 1 ( x 1 , x 2 , ⋯ ) = ( ∗ , x 1 , x 2 , ⋯ ) {\displaystyle T^{-1}(x_{1},x_{2},\cdots )=(*,x_{1},x_{2},\cdots )}

. Met deze definitie heeft men duidelijk dat μ ( T − 1 ( A ) ) = μ (A ) {\displaystyle \mu(T^{-1} (A))=\mu (A))}

zonder beperkingen op A {\displaystyle A}

. Dit is weer een voorbeeld van waarom T-1 {\displaystyle T^{-1}}

wordt gebruikt in de formele definities.

de bovenstaande ontwikkeling neemt een willekeurig proces, het Bernoulli-proces , en zet het om in een dynamisch systeem met maatvastheid ( X , A , μ, T ) . {\displaystyle (X, {\mathcal {A}}, \ mu, T).}

dezelfde conversie (equivalentie, isomorfisme) kan worden toegepast op elk stochastisch proces. Een informele definitie van ergodiciteit is dus dat een sequentie ergodisch is als ze alle van X {\displaystyle X}

bezoekt ; dergelijke sequenties zijn “typisch” voor het proces. Een andere is dat de statistische eigenschappen kunnen worden afgeleid uit een enkele, voldoende lang, aselecte steekproef van het proces (dus uniforme sampling alle X {\displaystyle X}

), of dat het verzamelen van willekeurige samples van een proces moet staan voor het gemiddelde van de statistische eigenschappen van het gehele proces (dat is, monsters getrokken uniform van X {\displaystyle X}

de vertegenwoordiger van X {\displaystyle X}

als geheel. In het huidige voorbeeld is een volgorde van muntomslagen, waarbij de helft kop en de helft munt zijn, een “typische” volgorde.

over het Bernoulli-proces zijn een aantal belangrijke opmerkingen te maken. Als men schrijft 0 voor staarten en 1 Voor heads, krijgt men de verzameling van alle oneindige strings van binaire cijfers. Deze komen overeen met de basis-twee expansie van reële getallen. Expliciet, gegeven een sequentie ( x 1 , x 2 , ⋯ ) {\displaystyle (x_{1},x_{2},\cdots )}

, de bijbehorende werkelijke aantal is y = ∑ n = 1 ∞ x n 2 n {\displaystyle y=\som _{n=1}^{\infty }{\frac {x_{n}}{2^{n}}}}

De verklaring dat de Bernoulli-proces is ergodic is equivalent aan de bewering dat de reële getallen zijn gelijkmatig verdeeld. De set van al deze snaren kan op verschillende manieren worden geschreven: { h, t } ∞ = {h, t} ω = { 0, 1} ω = 2 ω = 2 N . {\displaystyle \{h, t\}^{\infty }=\{h, t\}^{\omega }=\{0,1\}^{\omega } = 2^{\omega }=2^{\mathbb {N} }.}

deze verzameling is de Cantorverzameling, soms de Cantorruimte genoemd om verwarring met de Cantorfunctie te voorkomen C (x ) = ∑ n = 1 ∞ x n 3 n {\displaystyle C(x)=\sum _{n=1}^{\infty } {\frac {x_{n}}{3^{n}}}}

uiteindelijk zijn deze allemaal “hetzelfde”.

de Cantorverzameling speelt een sleutelrol in vele takken van de wiskunde. In de recreatieve wiskunde ondersteunt het de periode-verdubbeling fractals; in de analyse komt het voor in een grote verscheidenheid aan stellingen. Een sleutel voor stochastische processen is de wold ontleding, die stelt dat elk stationaire proces kan worden ontbonden in een paar niet-gecorreleerde processen, een deterministisch, en de andere is een voortschrijdend gemiddelde proces.

de stelling van Ornstein stelt dat elk stilstaand stochastisch proces gelijkwaardig is aan een Bernoulli-schema (een Bernoulli-proces met een n-zijdige (en mogelijk oneerlijke) Gaming-die). Andere resultaten zijn dat elk niet-dissipatief ergodisch systeem gelijkwaardig is aan de Markov-kilometerteller, soms een “toevoeg-machine” genoemd omdat het eruit ziet als elementary-school toevoeging, dat wil zeggen, het nemen van een base-N-cijfersequentie, het toevoegen van een, en het propageren van de carry bits. Het bewijs van gelijkwaardigheid is zeer abstract; het resultaat is niet te begrijpen: door bij elke stap één toe te voegen, wordt elke mogelijke toestand van de kilometerteller bezocht, totdat hij omrolt en opnieuw begint. Op dezelfde manier bezoeken ergodische systemen elke staat, uniform, en gaan ze door naar de volgende, totdat ze allemaal bezocht zijn.

systemen die (oneindige) sequenties van N-letters genereren, worden bestudeerd door middel van symbolische dynamica. Belangrijke speciale gevallen zijn subshifts van eindige type en sofische systemen.

Ergodiciteit in de fysicedit

fysische systemen kunnen in drie categorieën worden onderverdeeld: klassieke mechanica, die machines beschrijft met een eindig aantal bewegende delen, kwantummechanica, die de structuur van atomen beschrijft, en statistische mechanica, die gassen, vloeistoffen en vaste stoffen beschrijft; dit omvat de fysica van de gecondenseerde materie. Het geval van de klassieke mechanica wordt besproken in het volgende hoofdstuk, over ergodiciteit in de meetkunde. Wat de kwantummechanica betreft, hoewel er een concept van kwantumchaos bestaat, is er geen duidelijke definitie van ergodocity; wat dit zou kunnen zijn, wordt heftig besproken. In deze sectie wordt een overzicht gegeven van de ergodiciteit in de statistische mechanica.

de bovenstaande abstracte definitie van een volume is vereist als de geschikte instelling voor definities van ergodiciteit in de fysica. Denk aan een container van vloeistof, of gas, of plasma, of een andere verzameling van atomen of deeltjes. Elk deeltje x i {\displaystyle x_{i}}

heeft een 3D-positie en een 3D-snelheid, en wordt dus beschreven door zes getallen: een punt in de zesdimensionale ruimte R 6 . {\displaystyle \ mathbb {R} ^{6}.}

als er N {\displaystyle N}

van deze deeltjes in het systeem zijn, heeft een volledige beschrijving 6 n {\displaystyle 6N}

getallen nodig. Elk systeem is slechts één punt in R 6 N . {\displaystyle \ mathbb {R} ^{6N}.}

het fysieke systeem is niet alles van R 6 n {\displaystyle \ mathbb {R} ^{6N}}

, natuurlijk; als het een doos is van breedte, hoogte en lengte W × H × L {\displaystyle W \ times H \ times L}

dan is een punt in (W × H × L × R 3 )N. {\displaystyle (W \ times H \ times L \ times \ mathbb {R} ^{3})^{N}.}

noch kunnen snelheden oneindig zijn: ze worden geschaald door een of andere waarschijnlijkheidsmaat, bijvoorbeeld de Boltzmann-Gibbs-maat voor een gas. Niettemin is dit voor N {\displaystyle N}

dicht bij het getal van Avogadro duidelijk een zeer grote ruimte. Deze ruimte wordt het canonieke ensemble genoemd.

van een fysiek systeem wordt gezegd dat het ergodisch is als een representatief punt van het systeem uiteindelijk het gehele volume van het systeem bezoekt. Voor het bovenstaande voorbeeld betekent dit dat een bepaald atoom niet alleen elk deel van de doos W × H × L bezoekt {\displaystyle W \ times H \ times L}

met uniforme waarschijnlijkheid, maar dit doet het met elke mogelijke snelheid, met waarschijnlijkheid gegeven door de Boltzmann-verdeling voor die snelheid (dus, uniform met betrekking tot die maat). De ergodische hypothese stelt dat fysieke systemen eigenlijk ergodisch zijn. Er zijn meerdere tijdschalen aan het werk: gassen en vloeistoffen lijken ergodisch over korte tijdschalen. Ergodiciteit in een vaste stof kan worden gezien in termen van de trillingsmodi of fononen, omdat de atomen in een vaste stof duidelijk geen locaties uitwisselen. Glazen vormen een uitdaging voor de ergodische hypothese; tijdschalen worden verondersteld te zijn in de miljoenen jaren, maar de resultaten zijn omstreden. Spinglazen leveren bijzondere problemen op.

formele wiskundige bewijzen van ergodiciteit in de statistische fysica zijn moeilijk te verkrijgen; de meeste hoogdimensionale veellichaamssystemen worden verondersteld ergodisch te zijn, zonder mathematisch bewijs. Uitzonderingen zijn de dynamische biljart, die model biljart bal-type botsingen van atomen in een ideaal gas of plasma. De eerste hard-sphere ergodicity stelling was voor Sinaï ‘ s biljart, die twee ballen beschouwt, waarvan één als stationaire, aan de oorsprong. Als de tweede bal botst, beweegt het weg; het toepassen van periodieke randvoorwaarden, keert het dan terug om opnieuw te botsen. Door een beroep te doen op homogeniteit, kan deze terugkeer van de “tweede” bal in plaats daarvan worden genomen als “gewoon een ander atoom” dat in het bereik is gekomen, en beweegt om te botsen met het atoom aan de oorsprong (die kan worden genomen als gewoon “elk ander atoom”. Dit is een van de weinige formele bewijzen die bestaan; er zijn geen gelijkwaardige verklaringen voor bijvoorbeeld atomen in een vloeistof, die interageren via Van der Waals krachten, zelfs als het gezond verstand zou zijn om te geloven dat dergelijke systemen ergodisch (en mengen) zijn. Er kunnen echter preciezere fysieke argumenten worden aangevoerd.

ergodiciteit in meetkundedit

Ergodiciteit is een wijdverspreid fenomeen in de studie van Riemann-variëteiten. Een snelle opeenvolging van voorbeelden, van eenvoudig tot ingewikkeld, illustreert dit punt. Alle hieronder genoemde systemen zijn ergodisch gebleken door middel van rigoureuze formele bewijzen. De irrationele rotatie van een cirkel is ergodisch: de baan van een punt is zodanig dat uiteindelijk elk ander punt in de cirkel wordt bezocht. Dergelijke rotaties zijn een speciaal geval van de interval uitwisseling kaart. De beta uitbreidingen van een nummer zijn ergodisch: bètauitbreidingen van een reëel getal worden niet in base-n gedaan, maar in base – β {\displaystyle \ beta }

voor sommige β . {\displaystyle \ beta .}

de gereflecteerde versie van de beta-uitbreiding is een tentkaart; er zijn verschillende andere ergodische kaarten van het eenheidsinterval. Het rekenkundig biljart met irrationele hoeken is ergodisch. Men kan ook een vlakke rechthoek nemen, pletten, snijden en weer in elkaar zetten; dit is de eerder genoemde baker ‘ s map. Zijn punten kunnen worden beschreven door de verzameling van bi-oneindige snaren in twee letters, dat wil zeggen, zich uitstrekkend naar zowel links als rechts; als zodanig lijkt het op twee kopieën van het Bernoulli-proces. Als men tijdens het verpletteren zijdelings vervormt, verkrijgt men Arnold ‘ s cat map. In de meeste opzichten is de cat map prototypisch van elke andere soortgelijke transformatie.

voor niet-vlakke oppervlakken is de geodetische stroom van elk negatief gebogen compact Riemann-oppervlak ergodisch. Een oppervlak is “compact” in de zin dat het een eindige oppervlakte heeft. De geodetische stroming is een veralgemening van het idee van het bewegen in een “rechte lijn” op een gebogen oppervlak: dergelijke rechte lijnen zijn geodesics. Een van de vroegste bestudeerde gevallen is Hadamard ‘ s biljart, dat geodesics beschrijft op het Bolza-oppervlak, topologisch equivalent aan een donut met twee gaten. Ergodiciteit kan informeel worden aangetoond, als men een puntenslijper en een redelijk voorbeeld van een donut met twee gaten heeft: vanaf elke plek, in elke richting, probeert men een rechte lijn te trekken; linialen zijn hiervoor nuttig. Het duurt niet zo lang om te ontdekken dat men niet terug komt naar het beginpunt. (Natuurlijk kan ook kromme tekening dit verklaren; daarom hebben we bewijzen.)

deze resultaten strekken zich uit tot hogere dimensies. De geodetische stroom voor negatief gebogen compacte Riemann-variëteiten is ergodisch. Een klassiek voorbeeld hiervan is de Anosov-stroom, de horocycle-stroom op een hyperbolische variëteit. Dit kan gezien worden als een soort Hopf fibratie. Dergelijke stromen komen vaak voor in de klassieke mechanica, dat is de studie in de fysica van eindig-dimensionale bewegende machines, bijv. de dubbele slinger enzovoort. De klassieke mechanica is opgebouwd op symplectische variëteiten. De stromen op dergelijke systemen kunnen worden gedeconstrueerd in stabiele en onstabiele variëteiten; als algemene regel, wanneer dit mogelijk is, resulteert chaotische beweging. Dat dit generiek is kan worden gezien door op te merken dat de cotangent–bundel van een Riemann-variëteit (altijd) een symplectische variëteit is; de geodetische stroom wordt gegeven door een oplossing voor de Hamilton-Jacobi-vergelijkingen voor deze variëteit. In termen van de canonieke coördinaten ( q , p ) {\displaystyle (q,p)}

op de cotangens spruitstuk, de Hamiltonian of energie is gegeven door H = 1 2 ∑ i j g i j ( q ) p i p p i j {\displaystyle H={\tfrac {1}{2}}\som _{ij}g^{ij}(q)p_{i}p_{j}}

met g i j {\displaystyle g^{ij}}

de (inverse) metrische tensor en p i {\displaystyle p_{i}}

het momentum. De gelijkenis met de kinetische energie E = 1 2 m v 2 {\displaystyle E={\tfrac {1}{2}}mv^{2}}

van een puntdeeltje is nauwelijks toevallig; dit is het hele punt om zulke dingen “energie”te noemen. In deze zin is chaotisch gedrag met ergodische banen een min of meer generiek fenomeen in grote delen van de meetkunde.

Ergodiciteitsresultaten zijn verstrekt in vertaaloppervlakken, hyperbolische groepen en systolische geometrie. Technieken omvatten de studie van ergodische stromen, de Hopf–decompositie en de stelling van Ambrose–Kakutani–Krengel-Kubo. Een belangrijke klasse van systemen zijn de axioma a-systemen.

een aantal resultaten van zowel classificatie als anti-classificatie zijn verkregen. De stelling van Ornstein isomorfisme is hier ook van toepassing; nogmaals, het stelt dat de meeste van deze systemen isomorf zijn aan een Bernoulli-schema. Dit verbindt deze systemen vrij netjes terug in de definitie van ergodiciteit gegeven voor een stochastisch proces, in de vorige paragraaf. De anti-classificatieresultaten geven aan dat er meer dan een aftelbaar oneindig aantal ongelijksoortige ergodische maatbehoudende dynamische systemen zijn. Dit is misschien niet helemaal een verrassing, omdat men punten in de Cantor set kan gebruiken om vergelijkbare-maar-verschillende systemen te construeren. Zie dynamisch systeem voor het bewaren van metingen voor een kort overzicht van enkele anti-classificatieresultaten.

historische ontwikkeling edit

het idee van ergodiciteit ontstond op het gebied van de thermodynamica, waar het noodzakelijk was om de afzonderlijke toestanden van gasmoleculen te relateren aan de temperatuur van een gas als geheel en zijn tijdsevolutie. Om dit te doen, was het nodig om aan te geven wat het precies betekent voor gassen om goed samen te mengen, zodat thermodynamisch evenwicht kon worden gedefinieerd met wiskundige strengheid. Zodra de theorie goed ontwikkeld was in de natuurkunde, werd ze snel geformaliseerd en uitgebreid, zodat de ergodische theorie al lang een onafhankelijk deelgebied van de wiskunde is. Als onderdeel van die progressie bestaan er meer dan één enigszins verschillende definitie van ergodiciteit en vele interpretaties van het concept op verschillende gebieden naast elkaar.In de klassieke fysica impliceert de term bijvoorbeeld dat een systeem voldoet aan de ergodische hypothese van de thermodynamica, waarbij de relevante toestandsruimte positie-en momentumruimte is. In de dynamische systeemtheorie wordt de toestandsruimte meestal gezien als een meer algemene faseruimte. Aan de andere kant is in de codeertheorie de toestandsruimte vaak discreet in zowel tijd als toestand, met minder gelijktijdige structuur. Op al die gebieden kunnen de ideeën van tijdgemiddelde en ensemblegemiddelde ook extra bagage meedragen—zoals het geval is met de vele mogelijke thermodynamisch relevante partitiefuncties die gebruikt worden om ensemblegemiddelden in de fysica te definiëren, back again. Als zodanig dient de maattheoretische formalisering van het concept ook als een verenigende discipline.Etymologiedit

de term ergodisch is vaak afgeleid van de Griekse woorden ἔργον (Ergon: “werk”) enδδός (hodos: “pad”, “weg”), zoals gekozen door Ludwig Boltzmann toen hij werkte aan een probleem in de statistische mechanica. Tegelijkertijd wordt ook beweerd dat het een afleiding van ergomonode is, bedacht door Boltzmann in een relatief obscuur artikel uit 1884. De etymologie lijkt ook op andere manieren betwist te worden.