5.1 Inleiding
Fluid mechanics in het algemeen en grenslagen in het bijzonder zijn wiskundig complex. Deze complexiteit bevordert soms niet alleen de studie en het begrip van vloeistoffen, maar ook de toegepaste wiskunde discipline. De wiskunde blijft het mogelijk maken om de broodnodige conclusies te trekken uit verschillende disciplines. Daartoe blijven vele wiskundigen belangrijke bijdragen leveren aan de discipline van de vloeistofdynamica.Grenslaagproblemen houden een snelle verandering in de waarde van een fysische variabele in een beperkt gebied van de ruimte in, en vormen een specifieke klasse van problemen met enkelvoudige verstoring. In dit opzicht hebben bijna alle grenslaagproblemen te maken met differentiaalvergelijkingen waarbij de hoogste afgeleide term wordt vermenigvuldigd met een kleine parameter. Ook wordt de grenslaag altijd beschouwd als semi-infiniet, de belangrijkste reden is de Vrijheid van het hebben van eindgrens effecten te overwegen waar alle imponderables en denkbaar kan worden verwacht. Het overwegen van een oneindig oppervlak zou zo moeilijk kunnen zijn, dat het in eerste instantie zou kunnen afleiden van het voornaamste belang van het onderzoek. Dat gezegd hebbende, is er niets dat de jongere generatie onderzoekers verbiedt dit probleem aan te pakken, gezien hun voordeel van blootstelling aan relatief grotere hoeveelheid kennis dan voorgaande generaties.
Hydro-of vloeistofdynamica wordt bepaald door niet-lineaire partiële differentiaalvergelijkingen (PDE ‘ s), die moeilijk analytisch op te lossen zijn. Voor zover wij weten bestaat er geen algemene oplossing in gesloten vorm voor deze vergelijkingen. De regerende vergelijkingen van de grenslaag zijn voornamelijk gebaseerd op een vereenvoudiging van het systeem van de tweede-orde niet–lineaire partiële differentiaalvergelijkingen (PDEs), die bekend staan als de Navier-Stokes (NS) vergelijkingen van beweging voor viskeuze stromen. De vereenvoudiging die Prandtl in 1908 aanbiedt, wordt over het algemeen aangeduid als Prandtl Grenslaagvergelijkingen (PBL). In tegenstelling tot de NS-vergelijkingen, die elliptisch zijn, zijn grenslaagvergelijkingen parabolisch van aard, en de technieken die worden gebruikt om ze op te lossen zijn gebaseerd op de wetten van gelijkenis in grenslaagstromen.
drie primaire methoden kunnen worden gebruikt om grenslaagproblemen op te lossen: de gelijkenis-of differentiële methode (meest gebruikelijke benadering), de integrale methode en de volledige numerieke oplossingsmethode . Veel speciale gevallen van niet-lineaire PDEs hebben geleid tot de juiste veranderingen in variabelen of rek transformaties, afhankelijk van de taak die ze bedoeld zijn te volbrengen. Sommige transformaties lineariseren het stelsel van vergelijkingen in kwestie, terwijl andere het systeem transformeren naar een systeem waarvoor een oplossing bestaat. De transformaties die een systeem van PDEs reduceren tot een systeem van gewone differentiaalvergelijkingen (ODEs) door gebruik te maken van een inherente symmetrie van het probleem worden vaak beschouwd als “gelijkvormigheidstransformaties.”De similarity method is de originele Blasius methode die werd ontwikkeld om grenslaagproblemen analytisch op te lossen. Blasius introduceerde en gebruikte een onafhankelijke variabele genaamd de similarity variabele om Prandtl ‘ s grenslaagvergelijkingen . Dit was gebaseerd op de veronderstelling dat de snelheid geometrisch gelijk is langs de stroomrichting, waar conservatie-PDEs worden omgezet in ODEs. De gelijkvormigheidstransformatie vangt de groei van de grenslaag en vereenvoudigt de analyse en oplossing van de regerende vergelijkingen aanzienlijk. Het vinden van een gelijkvormigheidsvariabele die geschikt is voor de transformatie is eerder een kunst dan een wetenschap, en vereist een goed inzicht in het probleem. De aantallen onafhankelijke variabelen in de PDEs worden zorgvuldig omgezet in een enkele onafhankelijke variabele (bekend als de similarity variabele). De oorspronkelijke initiële randvoorwaarden worden ook in de nieuwe gecombineerde variabele in passende randvoorwaarden omgezet.
de gelijkvormigheidstransformatietechniek is een onmisbaar instrument voor de analyse van vloeistofmechanisch gedrag in het algemeen en in het bijzonder grenslaagprocessen. Asymptotische technieken stellen ons in staat om eenvoudig een complex systeem te maken, dat dan voorziet in een verlichte vorm van empirisme die we gelijkenis noemen. Verschillende methoden en benaderingen zijn ontwikkeld om gelijkvormigheidsvariabelen te vinden, bijvoorbeeld de stelling van Vaschy–Buckingham Pi . De meest rigoureuze en systematische benadering van het vinden van gelijkvormigheidsvariabelen is gebaseerd op de Lie-groep van transformaties . Het uitgangspunt van de Lie-groep benadering is dat elke variabele in de beginvergelijking onderworpen is aan een infinitesimale transformatie. De eis dat de vergelijking invariant is onder deze transformaties leidt tot de bepaling van de potentiële of mogelijke symmetrieën. Deze benadering is routinematig toegepast op grenslaagvergelijkingen. Apropos grenslaag theorie, de auteurs van een uitgebreid verslag van klassieke methoden, met inbegrip van verschillende mogelijke uitkomsten, afhankelijk van het perspectief van het probleem op te lossen. De Clarkson-Krustal directe methode, die wordt gebruikt om gelijkvormigheidsreducties te vinden, werd gebruikt in onvaste grenslaagvergelijkingen. Het is belangrijk op te merken dat de gevonden gelijkvormigheidsvariabele niet uniek of specifiek is voor slechts één probleem; het kan waar nodig op andere soortgelijke problemen worden toegepast. Verder besprak Hansen de” stretching variable ” methode die wordt gebruikt om gelijkvormigheidstransformaties te vinden. Over het geheel genomen, similarity problems reduceren de oorspronkelijke PBL vergelijkingen tot een vorm die invariant is met betrekking tot affiene transformaties. Het lokale stroomveld wordt dan opgelost door analytische / numerieke oplossingen van de PDEs die de grenslaag regelen. Kenmerkend is dat de snelheidsprofielen van grenslaagstromen een reeks homothetische krommen en plots opleveren. Waarom zijn ze typisch homothetisch? Wat betreft het snelheidsprofiel, bijvoorbeeld, normaliseren we met uu∞ en dit neigt naar of benadert eenheid. Evenzo, wat het temperatuurprofiel betreft, normaliseren we door middel van freestream temperatuur, of T−T∞, en dit neigt naar of nadert nul. Integrale methoden leveren in een ander opzicht oplossingen in gesloten vorm op door een profiel van snelheid, temperatuur en concentratiemassaoverdracht aan te nemen. Het gaat om de integratie van de vergelijkingen van de wand naar vrije stroom, waardoor een algemene prestatie die de groei van de grenslaag omvat. Ten slotte maakt de volledige numerieke methode gebruik van bewezen numerieke schema ‘ s en praktische simulatiecodes met hoge snelheid computers om verschillende grenslaagproblemen op te lossen.Er zij op gewezen dat in sommige studies in de literatuur de resultaten ervan als exacte oplossingen worden besproken. Voorzichtigheid is in dit opzicht belangrijk. In het algemeen, als we spreken van “exacte oplossingen” van fundamentele vergelijkingen, zoals de NS vergelijkingen, en dit kunnen de volledige NS vergelijkingen of een van hun benaderde vormen, zolang de verkregen oplossingen verkregen door een techniek zijn inderdaad zo exact als ze komen, dat wil zeggen, Er is geen betere oplossing gevonden. De exactheid verwijst naar de oplossing van de vergelijking zelf. Als de vergelijking in kwestie een benadering van een meer robuuste vergelijking is geweest, dan moet de claim van exactheid van de oplossing alleen de benaderende oplossing zijn.