inzicht in de Vetstaartverdeling

in deel 1 bespreken we wat het betekent voor een willekeurige variabele om een vetstaartverdeling te hebben.

Far? Dik?

om de vetstaart te begrijpen, moeten we de volgende twee vragen beantwoorden.

1. Hoe ver is ver?
2. Hoe vet is vet?

om over de staart te praten, moeten we bepalen hoe ver ver is om te beslissen hoe ver van het midden ver genoeg is om het een ‘staart’te zeggen. Met andere woorden, waar begint de staart? Dat hangt ervan af! Helaas is er geen enkel antwoord.

beschouw de normale verdeling. Merk op dat er twee staarten zijn: rechts en links. Als we bijvoorbeeld de ‘rechter’ staart van de verdeling willen beschrijven van de ene standaardafwijking van het gemiddelde, dan verwijst het gearceerde deel naar de rechter staart van de normale verdeling.

formeel kunnen we de staart als volgt beschrijven:

• rechterstaart: P (x>x)
• linkerstaart: P (x≤ – x)

voor een grote waarde van ‘x’. Nu kennen we het concept van de ‘staart’.

#For normal distribution with value 'x=a'
a=1
1-pnorm(a) #right tail
pnorm(-a) #left tail

heeft elke distributie een staart?

denk na over de uniforme verdeling . Heeft hij een staart? In deze blog staat dat niet elke distributie een staart heeft.

Als u wilt dat” het gedrag van de staart ” de kenmerken van de pdf beschrijft wanneer ‘x’ groot wordt, dan hebben begrensde distributies geen staarten. Toch kunnen sommige kenmerken van staarten worden gekwantificeerd. Met name door het gebruik van limieten en asymptotisch gedrag kunt u het begrip zware staarten definiëren. SAS blog

Ik zal de (exponentieel) Begrensd / niet Begrensd verdeling hieronder uitleggen. Herinner jezelf aan de uniform distributie als je er bent!

waarom zouden we ons zorgen maken over het ‘staart’ deel van distributie?

het staartgedeelte van de distributie was de belangrijkste zorg voor risicobeheer. De twee meest gebruikte risicomaten voor de verdeling van rendement of verlies zijn bijvoorbeeld Value at Risk (VaR) en Expected Defence (ES)

Waarom verlies niet rendement?

• verlies is letterlijk min (-) return
• het nemen van de limiet tot negatieve oneindigheid is niet-intuïtief. Dus nemen we de negatieve van de return waarden, dat wil zeggen, het draaien van de verdeling over de y-as.

zie alleen hoe de hoeveelheid VaR en ES gerelateerd zijn aan “staart”. Niet nodig om de wiskunde of betekenis achter hen te begrijpen.

” Houd er rekening mee dat de onderstaande grafiek een verdeling is van verlies, niet rendement!”

denk aan de verdeling van het verlies, L, equivalent (negatief) rendement, op een bepaald actief over een bepaalde aanhoudingsperiode. Omwille van begrijpen, nemen we aan dat de random variabele van verliezen op morgen volgt de normale verdeling:

Vervolgens kunnen we berekenen de VaR op de volgende manier:

via de tweede regel kunnen we eenvoudig controleren of de VaR gewoon een hoeveelheid is gerelateerd aan de vetstaart. Voor meer informatie over de VaR, zie hoofdstuk twee van het boek “Quantitative Risk Management: Concepts, Techniques and Tools” en Eric Zivot ‘ s lecture note op zijn website.

alpha = 0.95 #significant level
VaR.alpha = qnorm(alpha, mu, sigma)
VaR.alpha = mu + sigma*qnorm(alpha, 0, 1)

evenzo kunnen we zien dat het verwachte tekort een hoeveelheid is die gerelateerd is aan het staartgedeelte van de distributie:

in de vierde regel staat” ES is het verwachte verlies in de bovenste “staart” van de verliesverdeling. Vergelijkbaar met VaR, in het geval van normale distributie, is het handig om de ES te berekenen nu het gewoon een gemiddelde is van afgeknotte normale distributie.

alpha = 0.95
q.alpha.z = qnorm(alpha)
ES.alpha = mu + sigma*(dnorm(q.alpha.z)/(1-alpha))

Als iemand nieuwsgierig is naar waarom we delen door 1-α, is dit gewoon een normaliserende constante (of schaalfactor) om er zeker van te zijn dat de integratie van de afgeknotte verliesverdeling er één is, wat een vereiste is voor een kansverdeling.

terug naar het verhaal van ‘staart’, ik wilde alleen maar benadrukken dat de staart distributies worden veel gebruikt als risico management tool.

hoe vet is vet? Hoe zwaar is zwaar?

aangezien we hebben uitgezocht wat de ‘staart’ is in de distributie en waar het wordt gebruikt, is het nu tijd om te praten over het ‘vet’ gedeelte. We weten allemaal dat normale distributie geen vetstaart heeft. In plaats daarvan werd ons geleerd om de student-t distributie en log normale distributie te gebruiken bij het modelleren van de financial return serie om rekening te houden met de ‘fat-tail’ eigenschap. Maar we moeten de definitie van dikke staart weten. Helaas is er geen universele definitie voor de term vet.

Ik zal proberen de fat-tail uit te leggen in de taal Engels, Graph en Math. Ik hoop dat je geniet van ten minste een van de drie.

• een zware staartverdeling heeft staarten die zwaarder zijn dan een exponentiële verdeling (Bryson, 1974)
• er wordt gezegd dat de Staartverdeling een zware staart heeft wanneer het staartgedeelte langzamer vervalt dan de exponentiële verdeling.

waarom exponentieel?

Het is handig om de exponentiële verdeling als referentie te gebruiken. De pdf van de exponentiële distributie nadert snel nul ‘exponentieel’. Dat wil zeggen, staart van de pdf ziet eruit als (maar gedraagt zich anders dan) de exponentiële distributie.

In de taal van de grafiek,

ik zal u tonen 4 verschillende grafieken die laten zien wat er gebeurt in de verre rechtse staart van een set van verschillende distributies, zoals hieronder:

• Exponentiële verdeling (exp)
• machtsfunctie (PL)
• Normale verdeling (N)
• Log-Normale verdeling (LN)
• Student-t-verdeling
• Cauchy verdeling
• Levy-distributie
• Weibull-verdeling

ik zal niet uitleggen dat elk van deze uitkeringen. In plaats daarvan, laten we gewoon genieten van de grafiek van deze distributies om te voelen wat er gaande is in de staart deel. De eerste grafiek toont het deel van de hele grafiek waarvan de ‘ x ‘ ligt in

met de figuur 5 hierboven, We kunnen niet vertellen hoe de staart zich gedraagt. Maar, hier zijn een paar dingen die het vermelden waard zijn

• normaal, student-t en Cauchy distributies zijn twee-tailed distributies. Alle andere zijn eenstaartverdelingen
• voor PL (2.5) en PL(3.5) is er een kruispunt bij x=1.7, wat aangeeft dat PL (2.5) een dikkere staart heeft.

laten we eens kijken hoe het eruit ziet als ‘x’ erin ligt . Houd er rekening mee dat de waarden in de y-as veel kleiner worden.

V: Wat zie je in deze grafiek?

A: de bovenste lijn zou de dikste staart hebben! (Maar niet helemaal!!!) En je zult zien waarom!

laten we eerst de belangrijke feiten van Figuur 6 hierboven onderzoeken.

• normale en exp(2) distributies kruipen in de buurt van 0 wanneer x=5. Speciaal voor normale distributie is de pdf – waarde van 5 standaardafwijking 0,000001486 (=pnorm (5)). Dit is ongeveer 8000 keer kleiner dan dat van Cauchy distributie. Met andere woorden, 5 sigma gebeurtenissen zijn 8000 keer meer kans om te gebeuren onder Cauchy distributie dan normale distributie.
• in Figuur 6, Houd er rekening mee dat de distributie van exp(0.2) ver boven de normale verdeling van de logbestanden en de verdeling van de vermogenswet ligt. Controleer hoe het wordt omgekeerd in de volgende grafieken na het uitbreiden van het bereik van ‘x’ waarden.

laten we eens kijken hoe het eruit ziet als ‘x’ erin ligt . Nogmaals, wees ervan bewust dat de waarden in de y-as veel kleiner worden.

• merk op dat de blauwe lijn exp(0.2) snel vervalt tijdens het oversteken van de andere twee die PL(2.5) en Cauchy zijn. Dit is wat het betekent met “verval langzamer dan exponentiële distributie”
• het is verrassend om te zien wat er gebeurt in de buurt van ‘x’ is gelijk aan 100. De pdf-waarde van PL (1.5) is 0,0005. Geen wonder dat het eerste en tweede moment (gemiddelde en variantie) oneindig zijn voor PL(1.5). Gedetailleerde informatie hierover zal worden behandeld in het volgende document. Blijf kijken!

laten we inzoomen op de y-as om te zien hoe het zich in detail gedraagt!

• verrassend genoeg neemt de blauwe lijn exp(0.2) af door de PL(3.5) en LN(0,1) te kruisen. Ook kunnen we zien dat LN(0,1) sneller vervalt dan PL(3.5) nu het de PL(3.5) kruist en eronder gaat.
• PL (1.5), PL(2.5) en Levy verdelingen worden niet eens weergegeven in deze grafiek.

in de taal van de wiskunde is de Vetstaartverdeling een subklasse van de zwaarstaartverdeling. Het betekent, hoewel elke fat-tailed distributie is zwaarstaart, het omgekeerde is niet waar (bijvoorbeeld Weibull). Volgens Jay Taylor ‘ s lecture notes, hij onderscheidde de zware en dikke op de volgende manier.

definitie van zware staart

• distributie zou een rechter zware staart hebben als staarten “niet” exponentieel Begrensd zijn

we kunnen het interpreteren als wanneer ‘ x ‘ groot wordt, de snelheid van exponentieel verhogen is sneller dan de snelheid van afnemende kans op zware rechter staart. Neem de tijd om erover na te denken!

zie hoe het verband houdt met de Engelse definitie.

• kansverdelingsfunctie die langzamer vervalt dan een exponentiële wordt right heavy-tail genoemd.

wanneer exponentieel Begrensd?

als de zware rechterstaart niet zwaar genoeg is, dat wil zeggen, het vervalt supersnel als ‘x’ naar oneindig gaat, dan convergeert vergelijking 1 naar nul. Het voor de hand liggende voorbeeld is uniforme verdeling over zoals we hierboven besproken. Zodra ‘ x ‘ groter is dan één, wordt de kans op X groter dan één nul, zodat het exponentieel Begrensd is. Een ander populair voorbeeld is de normale verdeling. Laat X een standaard normaal zijn. Teken een reeks grafieken voor de verschillende lambda waarden te krijgen

We kunnen zien dat het convergeert naar nul zodat de staarten van de normale verdeling exponentieel Begrensd zijn.

f_exp = function(x, lambda){return (exp(lambda*x))
cdf_normal = function(x) pnorm(x)
ccdf_normal = function(x) {1-cdf_normal(x)}xs = seq(1,10,length=10000)
plot(xs, f_exp(xs,0.1)*ccdf_normal(xs), type='l', xlab='',ylab='', col='blue', lwd=2)
abline(v=1, lty = 'dashed')
lines(xs,f_exp(xs,0.5)*ccdf_normal(xs), col='purple', lwd=2)
lines(xs,f_exp(xs,1)*ccdf_normal(xs), col='red', lwd=2)
lines(xs,f_exp(xs,1.5)*ccdf_normal(xs), col='orange', lwd=2)
lines(xs,f_exp(xs,2)*ccdf_normal(xs), col='darkred', lwd=2)
lines(xs,f_exp(xs,3)*ccdf_normal(xs), col='darkblue', lwd=2)
grid()
legend(8, 0.15, 
legend=c("0.1", "0.5","1","1.5","2","3"), title = "lambda",
col=c("blue",'purple', "red",'orange','darkred','darkblue'), lwd=2, cex=1)

definitie van vetstaart

• distributie zou een juiste vetstaart hebben als er een positieve exponent (alfa) is die de staartindex wordt genoemd, zodanig dat

De ‘ ~ ‘ betekent hetzelfde tot constant. Of het staartdeel is evenredig aan de machtswet. Precies, het betekent het volgende.

sla gerust over als wiskunde voor u ‘zwaar/vet’ is.

daarom volgt het staartgedeelte van vetstaartdistributies een vermogenswet (die ” x ” is tot de macht van min Alfa). Voor degenen die niet bekend zijn met een machtswet, maak je nu geen zorgen. Denk aan de grafiek als Alfa gelijk is aan twee.

herinner jezelf eraan dat staart deel lijkt op macht-wet zoals we hebben gezien in de figuren 5-8 hierboven. Ik zal kracht wet in meer detail uit te leggen uit deze serie.

samenvatting

we hebben het begrip ‘fat-tail’ in dit document intuïtief, grafisch en wiskundig besproken. Om de ‘getemperde stabiele verdeling’ te begrijpen, is het noodzakelijk om een fundamenteel begrip van de vetstaart te hebben. Ik hoop dat dit document nuttig was om uw begrip te verbeteren. Gelieve hieronder commentaar te geven als u een vraag hebt. Ik hoop dat je nieuwsgierig bent naar wat er gaat komen. Volgende keer kom ik terug met “Journey to Tempered Stable Distribution”

f_exp = function(x, lambda, xmin) {lambda*exp(-lambda*(x-xmin))}
f_power = function (x, k, x_min) {
C = (k-1)*x_min^(k-1)
return (C*x^(-k))
}
f_cauchy = function(x) dcauchy(x)
f_levy = function(x) dlevy(x) # required package: 'rmulti'
f_weibul = function(x) dweibull(x,shape=1)
f_norm = function(x) dnorm(x)
f_lnorm = function(x) dlnorm(x)
f_t = function(x) dt(x,5)
xs = seq(0.1,100,length=1000)plot(xs, f_exp(xs,0.5,0.1),type='l',xlab='',ylab='', col='blue', lwd=2,
main='Distributions on ', cex.main=1,
xlim=c(0,5),
ylim=c(0,2.5))
lines(xs,f_exp(xs,1,0.1), col='purple', lwd=2)
lines(xs,f_exp(xs,2,0.1), col='bisque3', lwd=2)
lines(xs,f_power(xs,1.5, 1), col='red', lwd=2)
lines(xs,f_power(xs,2.5, 1), col='orange', lwd=2)
lines(xs,f_power(xs,3.5, 1), col='darkred', lwd=2)
lines(xs,f_norm(xs),col='black', lwd=2)
lines(xs,f_lnorm(xs), col='darkgreen', lwd=2)
lines(xs,f_t(xs), col='deeppink', lwd=2)
lines(xs, f_cauchy(xs), col='darkblue', lwd=2)
lines(xs, f_levy(xs), col='azure4', lwd=2)
lines(xs, f_weibul(xs), col='springgreen', lwd=2)
abline(v=2, lty = 'dashed')
abline(v=3, lty = 'dashed')
grid()
legend(3.5, 2.5, 
legend=c("exp(0.2)", "exp(1)", 'exp(2)', "PL(1.5)", 'PL(2.5)', 'PL(3.5)', 'N(0,1)','LN(0,1)','student-t(5)','Cauchy','Levy','Weibull'),
col=c("blue",'purple', 'bisque3',"red",'orange','darkred', 'black','darkgreen','deeppink','darkblue', 'azure4','springgreen'), lwd=2, cex=0.8)

Jay Taylor, Heavy-tailed distribution (2013), Lecture notes,

Eric Zivot, Risk Measures (2013), Lecture notes

Aaron Clauset, Inference, Models and Simulation for Complex Systems (2011), Lecture notes

https://blogs.sas.com/content/iml/2014/10/13/fat-tailed-and-long-tailed-distributions.html