de dragerdichtheid is belangrijk voor halfgeleiders, waar het een belangrijke hoeveelheid is voor het proces van chemische doping. Gebruikmakend van bandtheorie, de elektronendichtheid, n 0 {\displaystyle n_{0}}
is het aantal elektronen per volume-eenheid in de geleidingsband. Voor gaten, p 0 {\displaystyle p_{0}}
is het aantal gaten per volume-eenheid in de valentieband. Om dit aantal te berekenen voor elektronen, beginnen we met het idee dat de totale dichtheid van geleiding-band elektronen, n 0 {\displaystyle n_{0}}
, is gewoon het toevoegen van de conductie-elektronen dichtheid in de verschillende energieën in de band, vanaf de onderkant van de band E c {\displaystyle E_{c}}
naar de top van de band E t o p {\displaystyle E_{top}}
. n 0 = ∫ E c E t o p N ( E ) d E {\displaystyle n_{0}=\int \grenzen _{E_{c}}^{E_{top}}N(E)dE}
Omdat elektronen zijn fermionen, de dichtheid van de geleiding elektronen in een bepaalde energie, N ( E ) {\displaystyle N E)}
is het product van de dichtheid van de staten, g ( E ) {\displaystyle g(E)}
of hoe veel het uitvoeren van staten zijn mogelijk, met de Fermi–Dirac distributie, f ( E ) {\displaystyle f E)}
wat ons het deel van die toestanden vertelt die daadwerkelijk elektronen in “hen” zullen hebben N ( E ) = g ( E ) f(E ) {\displaystyle N(E)=g(E)f (E))}
om de berekening te vereenvoudigen, in plaats van de elektronen als fermionen te behandelen volgens de Fermi–Dirac-verdeling, behandelen we ze als een klassiek niet–interactief gas, dat wordt gegeven door de Maxwell-Boltzmann-verdeling. Deze benadering heeft verwaarloosbare effecten wanneer de magnitude / E − E f / ≫ k B T {\displaystyle / E-E_{f} / \GG k_{B}T}
, wat geldt voor halfgeleiders bij kamertemperatuur. Deze benadering is ongeldig bij zeer lage temperaturen of een extreem kleine band-kloof. f ( E ) = 1 1 + e − E- E f k T ≈ e − E − E f ) k B T {\displaystyle f(E)={\frac {1}{1+e^{\frac {E-E_{f}}{kT}}}}\ca e^{\frac {-(E-E_{f})}{k_{B}T}}}
De drie-dimensionale dichtheid van staten:
g ( E ) = 1 2 π 2 ( 2 m ∗ ℏ 2 ) 3 2 E − E 0 {\displaystyle g(E)={\frac {1}{2\pi ^{2}}}\left({\frac {2 m^{*}}{\hbar ^{2}}}\right)^{\frac {3}{2}}{\sqrt {E-E_{0}}}}
Na combinatie en vereenvoudiging, deze uitdrukkingen leiden tot:
n 0 = 2 ( m ∗ k B T 2 π ℏ 2 ) 3 / 2 {\displaystyle n_{0}=2\left({\frac {m^{*}k_{B}T}{2\pi \hbar ^{2}}}\right)^{3/2}}
e − E c − E f ) k B T {\displaystyle e^{\frac {-(E_{c}-E_{f})}{k_{B}T}}}
Een soortgelijke uitdrukking kan worden afgeleid voor gaten. De dragerconcentratie kan worden berekend door elektronen te behandelen die heen en weer bewegen over de bandkap, net als het evenwicht van een omkeerbare reactie uit de chemie, wat leidt tot een elektronische massaactiewet. De wet van de massaactie definieert een hoeveelheid n i {\displaystyle n_{i}}
de intrinsieke dragerconcentratie genoemd, die voor niet-gedoopte materialen: n i = n 0 = p 0 {\displaystyle n_{i}=n_{0}=p_{0}}
de volgende tabel geeft een overzicht van enkele waarden van de intrinsieke dragerconcentratie voor intrinsieke halfgeleiders.
| Materiaal | ladingsdragers (1/cm3) bij 300K |
|---|---|
| Silicium | 9.65×109 |
| Germanium | 2.33×1013 |
| Gallium Arsenide | 2.1×106 |
Deze vervoerder concentraties veranderen als deze materialen worden gedoteerd. Zo zal het dopen van zuiver silicium met een kleine hoeveelheid fosfor de draagstofdichtheid van elektronen verhogen, n. dan zal, aangezien n > p, het gedoteerde silicium een extrinsieke halfgeleider van het n-type zijn. Doping van zuiver silicium met een kleine hoeveelheid boor zal de dichtheid van de gaten verhogen, dus dan p > n, en het zal een P-type extrinsieke halfgeleider zijn.