hier zijn enkele basisdefinities en eigenschappen van lijnen en hoeken in de geometrie. Deze concepten worden getest in vele competitieve toelatingsexamens zoals GMAT, GRE, CAT.
lijnsegment: een lijnsegment heeft twee eindpunten met een bepaalde lengte.
straal: een straal heeft één eindpunt en strekt zich oneindig uit in één richting.
rechte lijn: Een rechte lijn heeft geen begin – of eindpunt en is van oneindige lengte.
scherpe hoek: de hoek die tussen 0° en 90° ligt is een scherpe hoek, ∠A in de onderstaande figuur.
stompe hoek: de hoek tussen 90° en 180° is een stompe hoek, ∠B zoals hieronder getoond.
rechte hoek: de hoek die 90° is is een rechte hoek, ∠C zoals hieronder getoond.
rechte hoek: De hoek die 180° is is een rechte hoek, ∠AOB in de figuur hieronder.
aanvullende hoeken:
in de bovenstaande figuur wordt ∠AOC + Co COB = ∠AOB = 180°
als de som van twee hoeken 180° is, worden de hoeken aanvullende hoeken genoemd.
twee rechte hoeken vullen elkaar altijd aan.
het paar aangrenzende hoeken waarvan de som een rechte hoek is, wordt een lineair paar genoemd.
aanvullende hoeken:
∠COA + a AOB = 90°
als de som van twee hoeken 90° is, worden beide hoeken complementaire hoeken genoemd.
aangrenzende hoeken:
de hoeken die een gemeenschappelijke arm en een gemeenschappelijke top hebben, worden aangrenzende hoeken genoemd.
in de bovenstaande figuur zijn ∠BOA en ∠AOC aangrenzende hoeken. Hun gemeenschappelijke arm is OA en gemeenschappelijke vertex is ‘O’.
verticaal tegenovergestelde hoeken:
wanneer twee lijnen elkaar snijden, worden de tegenover elkaar gevormde hoeken op het snijpunt (vertex) verticaal tegenover elkaar staande hoeken genoemd.
in de bovenstaande figuur zijn
x en y twee snijlijnen.
∠A en ∠C maken een paar verticaal tegenovergestelde hoeken en
B B en∠D maken een ander paar verticaal tegenovergestelde hoeken.
loodrechte lijnen: Wanneer er een rechte hoek tussen twee lijnen is, staan de lijnen loodrecht op elkaar.
hier zouden de lijnen OA en OB loodrecht op elkaar staan.
parallelle lijnen:
hier zijn A en B twee evenwijdige lijnen, doorsneden door een lijn p.
de lijn p wordt een transversale lijn genoemd, die twee of meer lijnen snijdt (niet noodzakelijk evenwijdige lijnen) op verschillende punten.
zoals te zien is in de figuur hierboven, worden als een transversaal twee lijnen snijdt, 8 hoeken gevormd.
laten we de details in een tabelvorm bekijken voor een eenvoudige referentie.
| Types of Angles | Angles |
| Interior Angles | ∠3, ∠4, ∠5, ∠6 |
| Exterior Angles | ∠1, ∠2, ∠7, ∠8 |
| Vertically opposite Angles | (∠1, ∠3), (∠2, ∠4), (∠5, ∠7), (∠6, ∠8) |
| Corresponding Angles | (∠1, ∠5), (∠2, ∠6), (∠3, ∠7), (∠4, ∠8) |
| Interior Alternate Angles | (∠3, ∠5), (∠4, ∠6) |
| Exterior Alternate Hoeken | (∠1, ∠7), (∠2, ∠8) |
| binnenhoeken aan dezelfde zijde van transversaal | (∠3, ∠6), (∠4, ∠5) |
wanneer een transversaal twee parallelle lijnen snijdt,
- de overeenkomstige hoeken zijn gelijk.
- de verticaal tegenovergestelde hoeken zijn gelijk.
- de verschillende binnenhoeken zijn gelijk.
- de alternatieve buitenhoeken zijn gelijk.
- het paar inwendige hoeken aan dezelfde zijde van de transversale is aanvullend.
we kunnen zeggen dat de lijnen parallel zijn als we ten minste één van de bovengenoemde voorwaarden kunnen verifiëren.
laten we enkele voorbeelden bekijken.
opgeloste voorbeelden
Voorbeeld 1. Als de lijnen m en n evenwijdig aan elkaar zijn, bepaal dan de hoeken ∠5 en 7 7.
oplossing:
het bepalen van een paar kan het mogelijk maken om alle andere hoeken te vinden. Het volgende is een van de vele manieren om deze vraag op te lossen.
∠2 = 125°
∠2 = ∠4 omdat ze verticaal tegenovergestelde hoeken.
daarom, ∠4 = 125°
∠4 is een van de inwendige hoeken aan dezelfde kant van de transversale.
daarom, ∠4 + ∠5 = 180°
125 + ∠5 = 180 → ∠5 = 180 – 125 = 55°
∠5 = ∠7 aangezien verticaal tegenovergestelde hoeken.
daarom, ∠5 = ∠7 = 55°
opmerking: soms wordt de parallelle eigenschap van de lijnen niet vermeld in de probleemstelling en lijken de lijnen evenwijdig aan elkaar te zijn; maar ze kunnen dat niet zijn. Het is belangrijk om te bepalen of twee lijnen evenwijdig zijn door de hoeken te controleren en niet door het uiterlijk.
Voorbeeld 2. Indien ∠A = 120° en ∠H = 60°. Bepaal of de lijnen evenwijdig zijn.
oplossing:
gegeven ∠A = 120° en ∠H = 60°.
omdat aangrenzende hoeken aanvullend zijn, ∠A + B B = 180°
120 + ∠B = 180 → ∠B = 60°.
gegeven wordt dat ∠H = 60°. We kunnen zien dat ∠B en H H externe alternatieve hoeken zijn.
wanneer de buitenhoeken gelijk zijn, zijn de lijnen evenwijdig.
vandaar dat de lijnen p en q evenwijdig zijn.
we kunnen dit verifiëren met andere hoeken.
als ∠H = 60°, ∠E = 120 ° omdat deze twee op een rechte lijn liggen, zijn ze aanvullend.
Nu, ∠A = ∠E = 120°. ∠A en ∠E zijn overeenkomstige hoeken.
wanneer de corresponderende hoeken gelijk zijn, zijn de lijnen evenwijdig.
op dezelfde manier kunnen we ook met andere hoeken bewijzen.
Voorbeeld 3. Als p en q twee lijnen evenwijdig aan elkaar zijn en ∠E = 50°, vind dan alle hoeken in de onderstaande figuur.
oplossing:
het wordt gegeven ∠E = 50°.
de twee lijnen zijn parallel
→ de corresponderende hoeken zijn gelijk.
aangezien ∠E en ∠A corresponderende hoeken zijn, ∠A = 50° .
→ de verticaal tegenovergestelde hoeken zijn gelijk.
aangezien ∠A en ∠C verticaal tegenover elkaar staan, ∠C = 50°.
aangezien ∠E en ∠G verticaal tegenover elkaar staan, ∠G = 50°.
→ de binnenhoeken aan dezelfde zijde van de transversale zijn aanvullend.
∠E + ∠D = 180° → 50 + ∠D = 180° → D D = 130°
→ ∠D en ∠B zijn verticaal tegenovergestelde hoeken. Dus ∠B = 130°.