drie dimensionsEdit
Ruimtekromme in 3D. de positievector r wordt geparametreerd door een scalaire t. bij r = a is de rode lijn de raaklijn aan de kromme, en het blauwe vlak is normaal aan de kromme.
In drie dimensies kan elke verzameling van driedimensionale coördinaten en hun overeenkomstige basisvectoren worden gebruikt om de locatie van een punt in de ruimte te bepalen-de eenvoudigste voor de taak bij de hand kan worden gebruikt.
gewoonlijk gebruikt men het bekende Cartesiaanse coördinatenstelsel, of soms bolvormige polaire coördinaten, of cilindrische coördinaten.:
r ( t ) ≡ r ( x , y , z ) ≡ x ( t ) e ^ x + y ( t ) e ^ y + z ( t ) e ^ z ≡ r ( r , θ , ϕ ) ≡ r ( t ) e ^ r ( θ ( t ) , ϕ ( t ) ) ≡ r ( r , θ , z ) ≡ r ( t ) e ^ r ( θ ( t ) ) + z ( t ) e ^ z , {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} (t)&\equiv \mathbf {r} (x,y,z)\equiv = ” x(t)\mathbf {\hat {e}} _{x}+y(t)\mathbf {\hat {e}} _{y}+z(t)\mathbf {\hat {e}} _{z}\\&\equiv \mathbf {r} (r,\theta ,\phi )\equiv = r(t)\mathbf {\hat {e}} _{r}{\big (}\theta (t),\phi (t){\big )}\\&\equiv \mathbf {r} (r,\theta ,z)\equiv = r(t)\mathbf {\hat {e}} _{r}{\big (}\theta (t){\big )} +z (t)\mathbf {\hat {e}} _{z},\\\end{aligned}}}
waarbij t een parameter is, vanwege hun rechthoekige of cirkelvormige symmetrie. Deze verschillende coördinaten en overeenkomstige basisvectoren vertegenwoordigen dezelfde positievector. Meer algemene kromlijnige coördinaten kunnen in plaats daarvan worden gebruikt en bevinden zich in contexten zoals continuümmechanica en algemene relativiteit (in het laatste geval heeft men een extra tijdcoördinaat nodig).
n dimensionsEdit
lineaire algebra maakt de abstractie van een N-dimensionale positievector mogelijk. Een positievector kan worden uitgedrukt als een lineaire combinatie van basisvectoren:
r = ∑ i = 1 n X i e i = x 1 e 1 + x 2 e 2 + ⋯ + x n e n . {\displaystyle \ mathbf {r} = \ sum _{i = 1}^{n}x_{i}\mathbf {e} _{i} = x_{1}\mathbf {e} _{1}+x_{2}\mathbf {e} _{2}+\dotsb +x_{n}\mathbf {e} _{n}.}
de verzameling van alle positievectoren vormt positieruimte (een vectorruimte waarvan de elementen de positievectoren zijn), aangezien posities kunnen worden toegevoegd (Vector optelling) en geschaald in lengte (scalaire vermenigvuldiging) om een andere positievector in de ruimte te verkrijgen. De notie van “ruimte” is intuïtief, aangezien elke xi (i = 1, 2, …, n) elke waarde kan hebben, definieert de verzameling van waarden een punt in de ruimte.
de dimensie van de positieruimte is n (ook aangeduid als dim(R) = n). De coördinaten van de vector r ten opzichte van de basisvectoren ei zijn xi. de vector van coördinaten vormt de coördinaatvector of n-tupel (x1, x2, …, xn).
elke coördinaat xi kan worden geparametreerd een aantal parameters t. Een parameter xi(t) beschrijft een gebogen 1D-pad, twee parameters xi(T1, t2) beschrijft een gebogen 2D-oppervlak, drie xi (t1, t2, t3) beschrijft een gebogen 3D-volume van de ruimte, enzovoort.
de lineaire overspanning van een basisverzameling B = {e1, e2,…, en} is gelijk aan de positieruimte R, aangegeven overspanning (B) = R.