wanneer wiskundige symbolen worden gebruikt om de Riemann-zèta-functie te beschrijven, wordt deze weergegeven als een oneindige reeks:
ζ ( s ) = ∑ N = 1 ∞ 1 N S , R e ( s ) > 1. {\displaystyle \ zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{N^{s}}},\quad \mathrm {Re} (s)>1.}
waar R e (s ) {\displaystyle \mathrm {Re} (s)}
is het reële deel van het complexe getal s {\displaystyle S}
. Bijvoorbeeld, als s = a + i b {\displaystyle S=A+ib}
, dan R E ( s ) = a {\displaystyle \mathrm {Re} (s)=a}
(waarbij i 2 = − 1 {\displaystyle I^{2}=-1}
).
dit maakt een reeks. De eerste paar termen van deze reeks zou worden,
1 1 n + 1 2 n + 1 3 s … {\displaystyle {\frac {1}{1^{en}}}+{\frac {1}{2^{en}}}+{\frac {1}{3^{s}}}\ldots }
en zo op
Echter, dit geldt niet voor de nummers waar R e ( s ) < 1 {\displaystyle \mathrm {Re} (s)<1}
, want als we interpreteren deze functie als een oneindige som, de som niet convergeren. In plaats daarvan verschilt het. Dit betekent dat in plaats van een specifieke waarde te benaderen, het oneindig groot zal worden. Riemann gebruikte analytische voortzetting, zodat hij een waarde kon geven aan alle getallen behalve 1. ζ (1) {\displaystyle \ zeta (1)}
vertegenwoordigt de harmonische reeks, die divergeert, wat betekent dat de som niet in de buurt van een specifiek getal. Leonhard Euler ontdekte de eerste resultaten over de reeks die deze functie vertegenwoordigt in de achttiende eeuw. Hij bewees dat de Zeta-functie kan worden geschreven als een oneindig product van priemgetallen. In wiskundige notatie:
ζ (s)= ∏ p | priemgetal 1 1 − p − s {\displaystyle \zeta (s) = \prod _{p / {\text{priemgetal}}} {\frac {1}{1-p^{- s}}}}
