ergodyczność występuje w szerokich warunkach w fizyce i matematyce. Wszystkie te ustawienia są ujednolicone przez wspólny opis matematyczny, opis systemu dynamicznego zachowującego miary. Poniżej znajduje się nieformalny opis tego zjawiska oraz definicja ergodyczności w jego odniesieniu. Po tym następuje opis ergodyczności w procesach stochastycznych. Są one jednym i tym samym, mimo że używają diametralnie odmiennej notacji i języka. Następuje przegląd ergodyczności w fizyce i geometrii. We wszystkich przypadkach pojęcie ergodyczności jest dokładnie takie samo jak w przypadku systemów dynamicznych; nie ma różnicy, z wyjątkiem perspektywy, notacji, stylu myślenia i czasopism, w których publikowane są wyniki.
miara-zachowanie dynamicznych systemówedit
matematyczna definicja ergodyczności ma na celu uchwycenie zwykłych codziennych pomysłów na przypadkowość. Obejmuje to pomysły na systemy, które poruszają się w taki sposób, aby (ostatecznie) wypełnić całą przestrzeń, takie jak dyfuzja i ruch Browna, a także zdroworozsądkowe pojęcia mieszania, takie jak mieszanie farb, napojów, składników do gotowania, mieszanie procesów przemysłowych, dym w pomieszczeniu wypełnionym dymem, pył w pierścieniach Saturna i tak dalej. Aby zapewnić solidne podstawy matematyczne, opisy systemów ergodycznych zaczynają się od definicji systemu dynamicznego zachowującego miarę. Zapisujemy to jako (X, a, μ, T). {\displaystyle (X, {\mathcal {a}}, \ mu, T).}
zestaw X {\displaystyle X}
oznacza całkowitą przestrzeń do wypełnienia: miskę mieszającą, pomieszczenie wypełnione dymem itp. Miara μ {\displaystyle \ mu}
jest rozumiana jako określenie naturalnej objętości przestrzeni X {\displaystyle X}
i jej podprzestrzeni. Zbiór podprzestrzeni jest oznaczony symbolem A {\displaystyle {\mathcal {A}}}
, a rozmiar dowolnego podanego podzbioru A ⊂ X {\displaystyle a\subset X}
to μ ( a ) {\displaystyle \mu (a)}
; rozmiar to jego objętość. Naiwnie można sobie wyobrazić {\displaystyle {\mathcal {A}}}
to jest zbiór potęg x {\displaystyle X}
; to nie do końca działa, ponieważ nie wszystkie podzbiory przestrzeni mają objętość (znany jest paradoks Banacha-Tarskiego). Tak więc, konwencjonalnie, A {\displaystyle {\mathcal {A}}}
składa się z mierzalnych podzbiorów—podzbiorów, które mają objętość. Zawsze przyjmuje się, że jest zbiorem Borela-zbiorem podzbiorów, które można skonstruować, przyjmując przecięcia, związki i dopełnienia zbioru; zawsze można je przyjąć jako mierzalne.
ewolucję czasową układu opisuje Mapa T: X → X {\displaystyle T:X\to X}
. Biorąc pod uwagę pewien podzbiór A ⊂ X {\displaystyle a\subset X}
, jego Mapa T ( A ) {\displaystyle T(A)}
będzie ogólnie zdeformowaną wersją {\displaystyle A}
– jest zgnieciony lub rozciągnięty, złożony lub pocięty na kawałki. Przykłady matematyczne obejmują mapę piekarza i mapę podkowy, obie inspirowane wypiekiem chleba. Zestaw T ( A ) {\displaystyle T(a)}
musi mieć taką samą objętość jak A {\displaystyle A}
; zgniatanie / rozciąganie nie zmienia objętości przestrzeni, tylko jej rozkład. Taki system to „miara-zachowanie” (area-zachowanie, volume-zachowanie).
formalna trudność pojawia się, gdy próbuje się pogodzić objętość zbiorów z koniecznością zachowania ich wielkości pod mapą. Problem pojawia się, ponieważ, ogólnie rzecz biorąc, kilka różnych punktów w domenie funkcji może odwzorować ten sam punkt w jej zakresie; oznacza to, że może być x ≠ y {\displaystyle x\neq y}
with T ( x ) = T ( y ) {\displaystyle T(x)=T (y)}
. Co gorsza, pojedynczy punkt x ∈ X {\displaystyle x\in x}
nie ma rozmiaru. Trudności te można uniknąć, pracując z odwrotną mapą T-1: A → A {\displaystyle T^{-1}: {\mathcal {a}}\to {\mathcal {A}}}
; odwzoruje dowolny podzbiór A ⊂ X {\displaystyle a\subset X}
na części, które zostały zmontowane, aby go utworzyć: te części to T − 1 ( A ) ∈ A {\displaystyle T^{-1} (A) \in {\mathcal {a}}}
. Ma ważną właściwość, aby nie tracić śladu, skąd rzeczy pochodzą. Silniej, ma ważną właściwość, że każda (zachowująca miarę) odwzorowuje A → A {\displaystyle {\mathcal {a}}\na {\mathcal {A}}}
jest odwrotnością pewnej mapy X → X {\displaystyle X\to X}
. Właściwa definicja mapy zachowującej objętość jest taka, dla której μ ( a) = μ ( T − 1 (A)) {\displaystyle \mu (a)=\mu (t^{-1} (A))}
ponieważ t − 1 ( A ) {\displaystyle T^{-1} (A)}
opisuje wszystkie elementy-części, z których pochodzi A {\displaystyle A}
.
teraz interesuje się badaniem ewolucji systemu w czasie. If a set a ∈ A {\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}
w końcu dochodzi do wypełnienia wszystkich X {\displaystyle X}
w długim okresie czasu (to znaczy, jeśli T n (A) {\displaystyle t^{n} (A)}
zbliża się do wszystkich X {\displaystyle X}
dla dużych n {\displaystyle n}
), mówi się, że system jest ergodyczny. Jeśli każdy zestaw A {\displaystyle A}
zachowuje się w ten sposób, system jest systemem zachowawczym, umieszczonym w przeciwieństwie do systemu rozpraszającego, gdzie niektóre podzbiory A {\displaystyle A}
oddalają się, nigdy nie zostaną do niego zwrócone. Przykładem może być woda spływająca w dół – kiedy już się zjedzie, już nigdy nie wróci. Jezioro, które tworzy się na dnie tej rzeki, może się jednak dobrze wymieszać. Twierdzenie rozkładu ergodycznego mówi, że każdy układ ergodyczny można podzielić na dwie części: część konserwatywną i część rozpraszającą.
mieszanie jest silniejszym stwierdzeniem niż ergodyczność. Mieszanie prosi o trzymanie tej własności ergodycznej pomiędzy dowolnymi dwoma zbiorami A, B {\displaystyle A, B}
i nie tylko między niektórymi ustawieniami A {\displaystyle A}
i X {\displaystyle X}
. Oznacza to, że biorąc pod uwagę dowolne dwa zbiory A , B ∈ A {\displaystyle A,B\in {\mathcal {a}}}
, mówi się, że układ jest (topologicznie) mieszany , jeśli istnieje liczba całkowita N {\displaystyle N}
taka,że dla wszystkich A,B {\displaystyle A , B}
I N > n {\displaystyle n>n}
, jeden ma T N ( A ) ∩ B ∅ ∅ {\displaystyle T^{N}(A)\Cap B\neq \varnothing }
. Tutaj ∩ {\displaystyle \cap }
oznacza przecięcie zestawu, A ∅ {\displaystyle\varnothing }
jest zestawem pustym. Inne pojęcia mieszania obejmują silne i słabe mieszanie, które opisują pogląd, że mieszane substancje mieszają się wszędzie, w równych proporcjach. Może to być nietrywialne, jak pokazuje praktyczne doświadczenie próby mieszania lepkich, lepkich substancji.
proces ergodyczny
powyższa dyskusja odwołuje się do fizycznego sensu tomu. Objętość nie musi być dosłownie jakąś częścią przestrzeni 3D; może to być jakaś abstrakcyjna objętość. Jest to na ogół przypadek w systemach statystycznych, gdzie objętość (miara) jest podana przez Prawdopodobieństwo. Całkowita objętość odpowiada prawdopodobieństwu 1. Ta korespondencja działa, ponieważ aksjomaty teorii prawdopodobieństwa są identyczne z aksjomatami teorii miary; są to aksjomaty Kołmogorowa.
pomysł na tom może być bardzo abstrakcyjny. Rozważmy na przykład zbiór wszystkich możliwych rzutów monetą: zbiór nieskończonych sekwencji orłów i reszek. Przypisując objętość 1 do tej przestrzeni, jasne jest, że połowa wszystkich takich sekwencji zaczyna się od Reszki, a połowa zaczyna od Reszki. Można wyciąć ten wolumin w inny sposób: można powiedzieć ” nie obchodzi mnie pierwsze n-1 {\displaystyle n-1}
-rzut monetą; ale chcę n {\displaystyle n}
’a potem nie obchodzi mnie, co będzie potem”. Można to zapisać jako zbiór ( ∗ ,⋯, h, h,∗,⋯) {\displaystyle (*, \ cdots,*, h,*,\cdots )}
gdzie ∗ {\displaystyle *}
is ” don 't care” and h {\displaystyle h}
to „głowy”. Objętość tej przestrzeni jest znowu (oczywiście!) poł.
powyższe wystarczy do zbudowania w całości systemu miarowo-dynamicznego. Zestawy H {\displaystyle h}
lub t {\displaystyle t}
występujące w n {\displaystyle n}
’TH miejsce nazywane są zestawy cylindrów. Zbiór wszystkich możliwych przecięć, związków i dopełnień zbiorów cylindrów tworzy zbiór Borela A {\displaystyle {\mathcal {A}}}
zdefiniowane powyżej. Pod względem formalnym zbiory cylindrów tworzą bazę topologii na przestrzeni X {\displaystyle X}
wszystkich możliwych nieskończonych rzutów monetą. Miara μ {\displaystyle\mu }
ma wszystkie zdroworozsądkowe właściwości, na które można mieć nadzieję: miara zbioru cylindrów z h {\displaystyle h}
w m {\displaystyle m}
’TH position, and t {\displaystyle t}
w K {\displaystyle k}
’TH pozycja jest oczywiście 1/4, i tak dalej. Te właściwości zdroworozsądkowe utrzymują się dla zestawu-dopełniacza i zestawu-związku: wszystko oprócz h {\displaystyle h}
i t {\displaystyle t}
w lokalizacjach m {\displaystyle m}
i k {\displaystyle k}
oczywiście ma objętość 3/4. Wszystko to razem tworzy aksjomaty miary addytywnej Sigmy; systemy dynamiczne zachowujące miary zawsze używają miar addytywnych Sigmy. W przypadku rzutów monetą miara ta nazywana jest miarą Bernoulliego.
dla procesu rzutu monetą, operator ewolucji czasu T {\displaystyle T}
jest operatorem zmiany, który mówi „wyrzuć pierwszy rzut monetą, a resztę zatrzymaj”. Formalnie, jeśli ( x 1 , x 2 , ⋯ ) {\displaystyle (x_{1},x_{2},\cdots )}
jest sekwencją rzutów monetą, to T ( x 1 , x 2 , ⋯ ) = ( x 2 , x 3 , ⋯ ) {\displaystyle T(x_{1},x_{2},\cdots )=(x_{2},x_{3},\cdots )}
. Miarą jest oczywiście niezmiennik przesunięcia: tak długo, jak mówimy o niektórych ustaw ∈ A {\displaystyle A\in {\mathcal {a}}}
gdzie pierwszy rzut monetą x 1 = ∗ {\displaystyle x_{1}=*}
jest wartością” don 't care”, wtedy objętość μ ( a ) {\displaystyle \mu (a)}
nie zmienia się: μ ( a ) = μ ( T ( A ) ) {\displaystyle \mu (a)=\mu (t(a))}
. Aby uniknąć mówienia o pierwszym rzucie monetą, łatwiej jest zdefiniować T-1 {\displaystyle T^{-1}}
jako wstawienie wartości ” don 't care” na pierwszej pozycji: T − 1 ( x 1 , x 2 , ⋯ ) = ( ∗ , x 1 , x 2 , ⋯ ) {\displaystyle T^{-1}(x_{1},x_{2},\cdots) = (*, x_{1}, x_{2},\cdots )}
. Z tą definicją mamy oczywiście μ (T-1 ( A ) ) = μ ( a ) {\displaystyle \mu (T^{-1}(A))=\mu (a)}
bez ograniczeń na {\displaystyle A}
. To jest znowu przykład dlaczego T-1 {\displaystyle T^{-1}}
jest używany w definicjach formalnych.
powyższy rozwój przyjmuje proces losowy, proces Bernoulliego i przekształca go w układ dynamiczny zachowujący miary ( X, a , μ , T ) . {\displaystyle (X, {\mathcal {a}}, \ mu, T).}
tę samą konwersję (równoważność, izomorfizm) można zastosować do dowolnego procesu stochastycznego. Tak więc, nieformalna definicja ergodyczności jest taka, że sekwencja jest ergodyczna, jeśli odwiedza wszystkie x {\displaystyle X}
; takie sekwencje są „typowe” dla procesu. Innym jest to, że jego właściwości statystyczne można wywnioskować z pojedynczej, wystarczająco długiej, losowej próbki procesu (w ten sposób równomiernie pobiera wszystkie x {\displaystyle X}
) lub że dowolne zbieranie losowych próbek z procesu musi reprezentować średnie właściwości statystyczne całego procesu (to jest próbki pobrane równomiernie z X {\displaystyle X}
są reprezentatywne dla X {\displaystyle X}
jako całości.) W tym przykładzie Sekwencja rzutów monetą, gdzie połowa to orzeł, a połowa to reszka, jest” typową ” sekwencją.
na temat procesu Bernoulliego należy zwrócić uwagę na kilka ważnych kwestii. Jeśli piszemy 0 dla Reszki i 1 dla Reszki, otrzymujemy zbiór wszystkich nieskończonych ciągów cyfr binarnych. Odpowiadają one ekspansji liczby rzeczywistej o podstawie dwóch. Jawnie, dana Sekwencja (x 1, x 2,⋯) {\displaystyle (x_{1}, x_{2}, \ cdots )}
, odpowiadającą im liczbą rzeczywistą jest y = ∑ n = 1 ∞ x n 2 n {\displaystyle y = \ sum _{N = 1}^{\infty } {\frac {x_{N}} {2^{n}}}}
twierdzenie, że proces Bernoulliego jest ergodyczny, jest równoważne stwierdzeniu, że liczby rzeczywiste są równomiernie rozłożone. Zbiór wszystkich takich ciągów można zapisać na różne sposoby: { h, t } ∞ = { h, t } ω = {0, 1 } ω = 2 ω = 2 N. {\styl wyświetlania \ {h, t\}^{\infty } = \ {h, t\}^{\omega }=\{0,1\}^{\ omega }=2^{\omega } = 2^{\mathbb {N} }.}
ten zbiór jest zbiorem Cantora, czasami nazywanym przestrzenią Cantora, aby uniknąć pomyłki z funkcją Cantora C ( x ) = ∑ n = 1 ∞ x n 3 n {\displaystyle C(x)=\sum _{N=1}^{\infty }{\frac {x_{N}} {3^{n}}}}
w końcu to wszystko jest „to samo”.
zbiór Cantora odgrywa kluczową rolę w wielu gałęziach matematyki. W matematyce rekreacyjnej stanowi podstawę fraktali okresowych; w analizie pojawia się w wielu różnych twierdzeniach. Kluczowym dla procesów stochastycznych jest rozkład Wolda, który stwierdza, że każdy stacjonarny proces może zostać rozłożony na parę nieskorelowanych procesów, jeden deterministyczny, a drugi jest procesem średniej ruchomej.
twierdzenie o izomorfizmie Ornsteina mówi, że każdy stacjonarny proces stochastyczny jest równoważny schematowi Bernoulliego (proces Bernoulliego z N-stronną (i prawdopodobnie niesprawiedliwą) matrycą). Inne wyniki obejmują, że każdy nierozpuszczalny układ ergodyczny jest równoważny licznikowi Markowa, czasami nazywanemu „maszyną dodawania”, ponieważ wygląda jak dodawanie w szkole podstawowej, to znaczy pobranie sekwencji cyfr bazowych-N, dodanie jednej i propagacja bitów nośnych. Dowód równoważności jest bardzo abstrakcyjny; zrozumienie wyniku nie jest: dodając jeden na każdym kroku czasowym, każdy możliwy stan licznika jest odwiedzany, dopóki nie przewróci się i nie zacznie ponownie. Podobnie systemy ergodyczne odwiedzają każdy stan, jednolicie, przechodząc do następnego, aż wszystkie zostaną odwiedzone.
Systemy generujące (nieskończone) sekwencje liter N są badane za pomocą dynamiki symbolicznej. Ważnymi szczególnymi przypadkami są podciągi typu skończonego i układy soficzne.
Ergodyczność w fizyceedytuj
układy fizyczne można podzielić na trzy kategorie: mechanikę klasyczną, która opisuje maszyny ze skończoną liczbą ruchomych części, mechanikę kwantową, która opisuje strukturę atomów, oraz mechanikę statystyczną, która opisuje gazy, ciecze, ciała stałe; obejmuje to fizykę materii skondensowanej. Przypadek mechaniki klasycznej omówiony jest w następnej części, dotyczącej ergodyczności w geometrii. Jeśli chodzi o mechanikę kwantową, chociaż istnieje koncepcja chaosu kwantowego, nie ma jasnej definicji ergodocity; to, co może być, jest gorąco dyskutowane. W tej sekcji omówiono ergodyczność w mechanice statystycznej.
powyższa abstrakcyjna definicja objętości jest wymagana jako odpowiednie ustawienie dla definicji ergodyczności w fizyce. Rozważmy Pojemnik cieczy, gazu, plazmy lub innego zbioru atomów lub cząstek. Każda cząstka x i {\displaystyle x_{i}}
ma pozycję 3D i prędkość 3D, a więc jest opisany przez sześć liczb: punkt w przestrzeni sześciowymiarowej R 6 . {\displaystyle \ mathbb {R} ^{6}.}
tych cząstek, pełny opis wymaga 6 n {\displaystyle 6N}
liczb. Każdy jeden układ jest tylko jednym punktem w R 6 N. {\displaystyle \ mathbb {R} ^{6N}.}
układ fizyczny to nie wszystko R 6 N {\displaystyle \mathbb {R} ^{6N}}
, oczywiście; jeśli jest to pole o szerokości, wysokości i długości W × H × L {\displaystyle W\times H\times L}
to punkt jest w ( W × H × L × R 3 ) N. {\displaystyle (W\times h\times L\times \mathbb {R} ^{3})^{N}.}
prędkości nie mogą być nieskończone: są one skalowane przez pewną miarę prawdopodobieństwa, na przykład miarę Boltzmanna–Gibbsa dla gazu. Niemniej jednak, dla n {\displaystyle N}
blisko liczby Avogadro, jest to oczywiście bardzo duża przestrzeń. Przestrzeń ta nazywana jest zespołem kanonicznym.
mówi się, że układ fizyczny jest ergodyczny, jeśli jakikolwiek reprezentatywny punkt układu w końcu odwiedzi całą objętość układu. W powyższym przykładzie oznacza to, że dany atom nie tylko odwiedza każdą część pola W × H × L {\displaystyle W \ times h \ times L}
z jednorodnym prawdopodobieństwem, ale robi to z każdą możliwą prędkością, z prawdopodobieństwem podanym przez rozkład Boltzmanna dla tej prędkości (więc jednorodny w odniesieniu do tej miary). Hipoteza ergodyczna stwierdza, że układy fizyczne są w rzeczywistości ergodyczne. Działa wiele skal czasowych: gazy i ciecze wydają się być ergodyczne w krótkich skalach czasowych. Ergodyczność w ciele stałym może być postrzegana w kategoriach trybów wibracyjnych lub fononów, ponieważ oczywiście Atomy w ciele stałym nie wymieniają lokalizacji. Okulary stanowią wyzwanie dla hipotezy ergodycznej; zakłada się, że skale czasowe sięgają milionów lat, ale wyniki są sporne. Okulary spinowe stwarzają szczególne trudności.
formalne matematyczne dowody ergodyczności w fizyce statystycznej są trudne do zdobycia; przyjmuje się, że większość wysokowymiarowych układów wielu ciał jest ergodyczna, bez dowodów matematycznych. Wyjątki obejmują dynamiczne bilard, który model bilard typu zderzenia atomów w gazie idealnym lub plazmy. Pierwsze twierdzenie ergodyczności o twardej kuli dotyczyło bilarda Sinai ’ a, który uważa dwie kulki, z których jedna jest nieruchoma, za początek. Gdy druga kula zderza się, oddala się; stosując okresowe warunki brzegowe, powraca, aby ponownie zderzyć się. Odwołując się do jednorodności, ten powrót „drugiej” kuli może być zamiast tego uznany za „tylko jakiś inny atom”, który wszedł w zakres i porusza się, aby zderzyć się z atomem w miejscu pochodzenia (co można uznać za „dowolny inny atom”.) Jest to jeden z niewielu formalnych dowodów, które istnieją; nie ma równoważnych stwierdzeń np. dla atomów w cieczy, oddziałujących za pomocą sił van der Waalsa, nawet jeśli rozsądnym byłoby wierzyć, że takie układy są ergodyczne (i mieszające się). Można jednak przedstawić bardziej precyzyjne argumenty fizyczne.
Ergodyczność w geometrii
Ergodyczność jest zjawiskiem szeroko rozpowszechnionym w badaniach Rozmaitości Riemanniańskiej. Szybki ciąg przykładów, od prostych do skomplikowanych, ilustruje ten punkt. Wszystkie systemy wymienione poniżej zostały udowodnione jako ergodyczne poprzez rygorystyczne dowody formalne. Irracjonalny obrót okręgu jest ergodyczny: Orbita punktu jest taka, że w końcu każdy inny punkt w okręgu jest odwiedzany. Takie obroty są szczególnym przypadkiem mapy wymiany interwałów. Rozszerzenia beta liczby są ergodyczne: Beta rozszerzeń liczby rzeczywistej nie dokonuje się w base-N, lecz w base-β {\displaystyle \beta }
dla niektórych β . {\displaystyle \ beta .
wersją rozszerzenia beta jest mapa namiotowa; istnieje wiele innych map ergodycznych interwału jednostki. Przechodząc do dwóch wymiarów, bilard arytmetyczny o kątach irracjonalnych jest ergodyczny. Można też wziąć płaski prostokąt, zmiażdżyć go, przeciąć i złożyć; jest to wspomniana wcześniej Mapa Bakera. Jego punkty można opisać za pomocą zbioru dwuliterowych ciągów nieskończonych w dwóch literach, to znaczy rozciągających się zarówno na lewo, jak i prawo; jako taki wygląda jak dwie kopie procesu Bernoulliego. Jeśli jeden deformuje się bokiem podczas zgniatania, otrzymuje mapę kota Arnolda. W większości przypadków Mapa kota jest prototypem każdej innej podobnej transformacji.
dla powierzchni nie płaskich przyjmuje się, że przepływ geodezyjny dowolnej ujemnie zakrzywionej zwartej powierzchni Riemanna jest ergodyczny. Powierzchnia jest „zwarta”w tym sensie, że ma skończoną powierzchnię. Przepływ geodezyjny jest uogólnieniem idei poruszania się po” linii prostej ” po zakrzywionej powierzchni: takie linie proste są geodezyjne. Jednym z najwcześniejszych badanych przypadków jest bilard Hadamarda, który opisuje geodezję na powierzchni Bolza, topologicznie równoważną pączkowi z dwoma otworami. Ergodyczność można wykazać nieformalnie, jeśli ma się ostrze i jakiś rozsądny przykład dwugłowego pączka: zaczynając w dowolnym miejscu, w dowolnym kierunku, próbuje się narysować linię prostą; przydają się do tego linijki. Nie trzeba tyle czasu, aby odkryć, że nie wraca się do punktu wyjścia. (Oczywiście, Krzywy rysunek również może to wyjaśnić; dlatego mamy dowody.)
te wyniki rozciągają się na wyższe wymiary. Przepływ geodezyjny dla negatywnie zakrzywionych kompaktowych kolektorów Riemanniańskich jest ergodyczny. Klasycznym przykładem jest przepływ Anosowa, który jest przepływem horocyklicznym na kolektorze hiperbolicznym. Jest to rodzaj fibracji Hopf. Przepływy takie występują powszechnie w mechanice klasycznej, która jest nauką z fizyki skończonych maszyn ruchomych, np. podwójne wahadło i tak dalej. Mechanika klasyczna zbudowana jest na kolektorach symplektycznych. Przepływy w takich układach mogą być przekształcone w stabilne i niestabilne kolektory; z reguły, gdy jest to możliwe, następuje chaotyczny ruch. Że jest to ogólne można zauważyć, zauważając, że wiązka cotangent kolektora Riemanniana jest (zawsze) kolektorem symplektycznym; przepływ geodezyjny jest dany przez rozwiązanie równań Hamiltona–Jacobiego dla tego kolektora. Pod względem współrzędnych kanonicznych (q , p ) {\displaystyle (q, p)}
na kolektorze cotangentowym Hamiltonian lub energia jest dana przez H = 1 2 ∑ i j G i j ( q ) p i P J {\displaystyle H={\tfrac {1}{2}}\sum _{ij}g^{ij}(q)p_{i}p_{j}}
with g I j {\displaystyle g^{ij}}
(odwrotność) tensora metrycznego i p i {\displaystyle p_{i}}
pędu. Podobieństwo do energii kinetycznej E = 1 2 M v 2 {\displaystyle E = {\tfrac {1}{2}} mv^{2}}
cząstka punktowa nie jest przypadkowa; to jest cały sens nazywania takich rzeczy „energią”. W tym sensie chaotyczne zachowanie z orbitami ergodycznymi jest mniej lub bardziej ogólnym zjawiskiem w dużych połaciach geometrii.
wyniki Ergodyczności przedstawiono w powierzchniach translacji, grupach hiperbolicznych i geometrii skurczowej. Techniki obejmują badania przepływów ergodycznych, rozkładu Hopfa i twierdzenia Ambrose ’ a–Kakutaniego–Krengela–Kubo. Ważną klasą systemów są systemy aksjomatu A.
Tutaj również stosuje się twierdzenie o izomorfizmie Ornsteina; ponownie stwierdza, że większość z tych układów jest izomorficzna dla jakiegoś schematu Bernoulliego. To raczej starannie wiąże te systemy z powrotem do definicji ergodyczności podanej dla procesu stochastycznego, w poprzedniej sekcji. Wyniki anty-klasyfikacji stwierdzają, że istnieje więcej niż nieskończona liczba nierównomiernych ergodycznych miar zachowujących dynamiczne układy. Być może nie jest to do końca zaskoczeniem, ponieważ można użyć punktów w zbiorze Cantora do budowy podobnych, ale różnych systemów. Zobacz miary-preserving dynamical system dla krótkiego przeglądu niektórych wyników anty-klasyfikacji.
rozwój Historycznyedytuj
idea ergodyczności zrodziła się w dziedzinie termodynamiki, gdzie konieczne było powiązanie poszczególnych stanów cząsteczek gazu z temperaturą gazu jako całości i jego ewolucją czasową. Aby to zrobić, konieczne było określenie, co dokładnie oznacza, że gazy dobrze się mieszają, aby można było zdefiniować równowagę termodynamiczną za pomocą matematycznego rygoru. Kiedy teoria została dobrze rozwinięta w fizyce, została szybko sformalizowana i rozszerzona, tak że teoria ergodyczna od dawna była samodzielną dziedziną matematyki samą w sobie. W ramach tego postępu współistnieje więcej niż jedna nieco inna definicja ergodyczności i mnogość interpretacji pojęcia w różnych dziedzinach.
na przykład w fizyce klasycznej termin ten oznacza, że układ spełnia ergodyczną hipotezę termodynamiki, przy czym odpowiednią przestrzenią stanu jest pozycja i przestrzeń pędu. W teorii układów dynamicznych przestrzeń Stanów jest zwykle traktowana jako bardziej ogólna przestrzeń fazowa. Z drugiej strony w teorii kodowania przestrzeń Stanów jest często Dyskretna zarówno w czasie, jak i stanie, o mniej współistniejącej strukturze. We wszystkich tych dziedzinach idee średniej czasu i średniej zespołu mogą również przenosić dodatkowy bagaż-jak to ma miejsce w przypadku wielu możliwych funkcji partycji istotnych termodynamicznie używanych do definiowania średnich zespołu w fizyce, z powrotem. Jako taka teoretyczna formalizacja miary pojęcia służy również jako dyscyplina jednocząca.
Etymologiaedit
termin ergodyczny jest powszechnie uważany za pochodzący od greckich słów ἔργον (ergon: „praca”) iδδός (hodos: „ścieżka”, „Droga”), wybranych przez Ludwiga Boltzmanna podczas pracy nad problemem w mechanice statystycznej. Jednocześnie twierdzi się, że jest to pochodna ergomonode, ukuta przez Boltzmanna w stosunkowo niejasnym dokumencie z 1884 roku. Etymologia wydaje się być kwestionowana również na inne sposoby.