używając symboli matematycznych do opisu funkcji Riemanna Zeta, jest ona reprezentowana jako nieskończony szereg:
ζ ( S ) = ∑ N = 1 ∞ 1 N s , R e ( S ) > 1. {\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}},\quad \mathrm {Re} (S)>1.}
gdzie R e (S) {\displaystyle \mathrm {Re} (S)}
jest częścią rzeczywistą liczby zespolonej s {\displaystyle S}
. Na przykład, Jeśli s = a + i B {\displaystyle s=a+ib}
, to R e ( S ) = A {\displaystyle \mathrm {Re} (S)=A}
(gdzie i 2 = − 1 {\displaystyle i^{2}=-1}
).
to tworzy sekwencję. Pierwsze wyrazy tego ciągu To:
1 1 s + 1 2 s + 1 3 s … {\displaystyle {\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}\ldots }
i tak dalej
jednak nie dotyczy to liczb, gdzie R E ( S ) < 1 {\displaystyle \mathrm {re} (s)<1}
, ponieważ jeśli interpretujemy tę funkcję jako sumę nieskończoną, to suma nie jest zbieżna. Zamiast tego, różni się. Oznacza to, że zamiast zbliżać się do określonej wartości, będzie ona nieskończenie duża. Riemann używał ciągłości analitycznej, dzięki czemu mógł nadać wartość wszystkim liczbom z wyjątkiem 1. ζ (1) {\displaystyle \zeta (1)}
reprezentuje szereg harmoniczny, który jest rozbieżny, co oznacza, że suma nie jest zbliżona do żadnej określonej liczby.
Leonhard Euler odkrył pierwsze wyniki dotyczące szeregu, który Ta funkcja reprezentuje w XVIII wieku. Udowodnił, że funkcję Zeta można zapisać jako nieskończony iloczyn liczb pierwszych. W notacji matematycznej:
ζ (S)= ∏ P | prime 1 1 − p − s {\displaystyle \zeta (s) = \prod _{p|{\text{prime}}}{\frac {1}{1-p^{- s}}}}
