gęstość nośnika jest ważna dla półprzewodników, gdzie jest ważną ilością w procesie dopingu chemicznego. Używając teorii pasma, gęstość elektronów, n 0 {\displaystyle n_{0}}
to liczba elektronów na jednostkę objętości w paśmie przewodnictwa. Dla otworów, p 0 {\displaystyle p_{0}}
to liczba otworów na jednostkę objętości w paśmie walencyjnym. Aby obliczyć tę liczbę dla elektronów, zaczynamy od pomysłu, że całkowita gęstość elektronów w paśmie przewodnictwa, n 0 {\displaystyle n_{0}}
, jest po prostu sumowaniem gęstości elektronów przewodzenia w różnych energiach w paśmie, od dołu pasma E C {\displaystyle E_{c}}
do góry pasma E T o P {\displaystyle e_{top}}
. n 0 = ∫ E c E t O p N (E)d E {\displaystyle n_{0}=\int \limits _{e_{c}}^{e_{top}}n(e) dE}
ponieważ elektrony są fermionami, gęstość elektronów przewodzenia przy dowolnej konkretnej energii, N (E) {\displaystyle N (E)}
jest iloczynem gęstości Stanów, g(E ) {\displaystyle g(e)}
lub ile Stanów przewodzących jest możliwych, z rozkładem Fermiego-Diraca, f (E) {\displaystyle f(E)}
co mówi nam o części tych stanów, które faktycznie będą miały elektrony w „nich” N ( E ) = g ( E ) f ( E ) {\displaystyle N(E)=g(E)f(E)}
aby uprościć obliczenia, zamiast traktować elektrony jako fermiony, zgodnie z rozkładem Fermiego–Diraca, traktujemy je jako klasyczny Gaz nie oddziałujący, który jest podany przez rozkład Maxwella-Boltzmanna. Przybliżenie to ma znikomy wpływ, gdy wielkość / E-E f / ≫ k B t {\displaystyle / e-e_{f} / \gg k_{B} T}
, co dotyczy półprzewodników w temperaturze pokojowej. Przybliżenie to jest nieprawidłowe W bardzo niskich temperaturach lub w bardzo małej szczelinie pasmowej. f ( E ) = 1 1 + E E-E f K T ≈ E – (E − E f ) k B t {\displaystyle f(E)={\frac {1}{1 + e^{\frac{E-E_{f}} {kt}}}\approx e^{\frac {- (e-e_{f})} {k_{B} T}}}
trójwymiarowa gęstość Stanów wynosi:
G ( E ) = 1 2 π 2 ( 2 m ∗ ℏ 2) 3 2 E-E 0 {\displaystyle g(e)={\frac {1}{2\pi ^ {2}}}\Left({\frac {2m^{*}} {\hbar ^{2}}}\right)^{\frac {3} {2}} {\sqrt {e-E_{0}}}}
po połączeniu i uproszczeniu wyrażenia te prowadzą do:
n 0 = 2 (m ∗ k B T 2 π ℏ 2) 3 / 2 {\displaystyle n_{0} = 2\left ({\frac {m^{*} k_{B} T}{2 \ pi \hbar ^{2}}} \ right)^{3/2}}
e − ( E c-E f) k B t {\displaystyle e^{\frac {- (E_{c}-e_{f})}{k_{B} T}}}
podobne wyrażenie można wyprowadzić dla dziur. Stężenie nośnika można obliczyć, traktując elektrony poruszające się tam iz powrotem w pasmie, tak jak równowaga odwracalnej reakcji chemii, prowadząca do elektronicznego prawa działania masy. Prawo akcji masowej definiuje ilość n i {\displaystyle n_{i}}
nazywa się wewnętrznym stężeniem nośnika, które dla materiałów niedomkniętych: n i = N 0 = p 0 {\displaystyle n_{i} = n_{0} = p_{0}}
w poniższej tabeli wymieniono kilka wartości wewnętrznego stężenia nośnika dla półprzewodników wewnętrznych.
| Materiał | gęstość nośnika (1 / cm3) przy 300K |
|---|---|
| krzem | 9.65×109 |
| German | 2.33×1013 |
| arsenek galu | 2.1×106 |
te stężenia nośników ulegną zmianie, jeśli materiały te zostaną domieszkowane. Na przykład domieszkowanie czystego krzemu z niewielką ilością fosforu zwiększy gęstość nośnika elektronów, n. Następnie, ponieważ n > P, domieszkowany krzem będzie półprzewodnikiem zewnętrznym typu N. Domieszkowanie czystego krzemu z niewielką ilością boru zwiększy gęstość nośną otworów, a więc p > n i będzie to półprzewodnik zewnętrzny typu P.