oto kilka podstawowych definicji i właściwości linii i kątów w geometrii. Koncepcje te są testowane w wielu konkurencyjnych egzaminach wstępnych, takich jak GMAT, GRE, CAT.
segment linii: segment linii ma dwa punkty końcowe o określonej długości.
promień: promień ma jeden punkt końcowy i nieskończenie rozciąga się w jednym kierunku.
linia prosta: Linia prosta nie ma ani punktu początkowego, ani końcowego i ma nieskończoną długość.
kąt ostry: kąt, który znajduje się między 0° a 90°, jest kątem ostrym, ∠A na poniższym rysunku.
kąt rozwarty: kąt, który znajduje się między 90° a 180°, jest kątem rozwartym, ∠B, jak pokazano poniżej.
kąt prosty: kąt, który wynosi 90°, jest kątem prostym, ∠C, jak pokazano poniżej.
kąt prosty: Kąt, który wynosi 180°, jest kątem prostym, ∠AOB na rysunku poniżej.
Kąty uzupełniające:
na powyższym rysunku, ∠AOC + ∠COB = ∠AOB = 180°
jeśli suma dwóch kątów wynosi 180°, to kąty nazywa się kątami dodatkowymi.
Dwa kąty proste zawsze się uzupełniają.
para sąsiednich kątów, których suma jest kątem prostym, nazywana jest parą liniową.
Kąty uzupełniające:
∠COA + ∠AOB = 90°
jeśli suma dwóch kątów wynosi 90°, to dwa kąty nazywa się kątami komplementarnymi.
Kąty przyległe:
kąty, które mają wspólne ramię i wspólny wierzchołek, nazywane są kątami przyległymi.
na powyższym rysunku, ∠BOA i ∠AOC są sąsiadującymi kątami. Ich wspólne ramię to OA, a wspólny wierzchołek to „O”.
pionowo przeciwległe kąty:
gdy dwie linie przecinają się, kąty utworzone przeciwstawnie do siebie w punkcie przecięcia (wierzchołek) nazywa się kątami przeciwstawnymi pionowo.
na powyższym rysunku
x i y to dwie przecinające się linie.
∠a i ∠C tworzą jedną parę pionowo przeciwnych kątów, a
∠B i ∠D tworzą kolejną parę pionowo przeciwnych kątów.
linie prostopadłe: gdy między dwiema liniami znajduje się kąt prosty, mówi się, że linie są prostopadłe do siebie.
tutaj mówi się, że linie OA i OB są prostopadłe do siebie.
linie równoległe:
tutaj A i B są dwiema równoległymi liniami, przeciętymi linią P.
linia p nazywa się poprzeczną, która przecina dwie lub więcej linii (niekoniecznie równoległych) w różnych punktach.
jak widać na powyższym rysunku, gdy Przekrój poprzeczny przecina dwie linie, powstaje 8 kątów.
rozważmy szczegóły w formie tabelarycznej dla łatwego odniesienia.
| Types of Angles | Angles |
| Interior Angles | ∠3, ∠4, ∠5, ∠6 |
| Exterior Angles | ∠1, ∠2, ∠7, ∠8 |
| Vertically opposite Angles | (∠1, ∠3), (∠2, ∠4), (∠5, ∠7), (∠6, ∠8) |
| Corresponding Angles | (∠1, ∠5), (∠2, ∠6), (∠3, ∠7), (∠4, ∠8) |
| Interior Alternate Angles | (∠3, ∠5), (∠4, ∠6) |
| Exterior Alternate Kąty | (∠1, ∠7), (∠2, ∠8) |
| kąty wewnętrzne po tej samej stronie poprzecznej | (∠3, ∠6), (∠4, ∠5) |
gdy Przekrój poprzeczny przecina dwie równoległe linie,
- odpowiednie kąty są równe.
- kąty przeciwległe w pionie są równe.
- alternatywne kąty wewnętrzne są równe.
- alternatywne kąty zewnętrzne są równe.
- para kątów wewnętrznych po tej samej stronie poprzecznej jest uzupełniająca.
możemy powiedzieć, że linie są równoległe, jeśli możemy zweryfikować co najmniej jeden z wyżej wymienionych warunków.
przyjrzyjmy się kilku przykładom.
rozwiązane przykłady
przykład 1. Jeśli linie m i n są równoległe do siebie, określ kąty ∠5 i ∠7.
rozwiązanie:
określenie jednej pary może umożliwić znalezienie wszystkich pozostałych kątów. Oto jeden z wielu sposobów rozwiązania tego pytania.
∠2 = 125°
∠2 = ∠4 ponieważ są one pionowo przeciwległe kąty.
, ∠4 = 125°
∠4 jest jednym z kątów wewnętrznych po tej samej stronie poprzecznej.
, ∠4 + ∠5 = 180°
125 + ∠5 = 180 → ∠5 = 180 – 125 = 55°
∠5 = ∠7 ponieważ pionowo przeciwległe kąty.
, ∠5 = ∠7 = 55°
Uwaga: czasami właściwość parallel linii może nie być wymieniona w instrukcji problem i linie mogą wydawać się równoległe do siebie; ale mogą nie być. Ważne jest, aby określić, czy dwie linie są równoległe, sprawdzając kąty, a nie patrząc.
przykład 2. Jeśli ∠A = 120° i ∠H = 60°. Określ, czy linie są równoległe.
rozwiązanie:
podane ∠A = 120° i ∠H = 60°.
ponieważ kąty przyległe są dodatnie, ∠A + ∠B = 180°
120 + ∠B = 180 → ∠B = 60°.
podaje się, że ∠H = 60°. Widzimy, że ∠B I ∠H są zewnętrznymi kątami alternatywnymi.
gdy zewnętrzne kąty naprzemienne są równe, linie są równoległe.
stąd linie p i q są równoległe.
możemy to sprawdzić za pomocą innych kątów.
jeśli ∠H = 60°, ∠E = 120°, ponieważ te dwa są na linii prostej, są dodatkowe.
Teraz, ∠A = ∠E = 120°. ∠A i ∠E są odpowiednimi kątami.
gdy odpowiednie kąty są równe, linie są równoległe.
Podobnie możemy udowodnić za pomocą innych kątów.
przykład 3. Jeśli p i q są dwiema liniami równoległymi do siebie i ∠E = 50°, Znajdź wszystkie kąty na rysunku poniżej.
rozwiązanie:
podano ∠E = 50°.
dwie linie są równoległe
→ odpowiednie kąty są równe.
ponieważ ∠E i ∠A są odpowiednimi kątami, ∠a = 50° .
→ kąty przeciwległe w pionie są równe.
Ponieważ ∠a i ∠C są pionowo naprzeciwko siebie, ∠C = 50°.
ponieważ ∠E i ∠G są pionowo naprzeciwko siebie, ∠G = 50°.
→ kąty wewnętrzne po tej samej stronie poprzecznej są dodatkowe.
∠E + ∠D = 180 ° → 50 + ∠D = 180° → ∠D = 130°
→ ∠D i ∠B są pionowo przeciwległymi kątami. Więc ∠B = 130°.