5.1 wprowadzenie
Mechanika płynów w ogóle, a w szczególności warstwy graniczne, są matematycznie złożone. Taka złożoność czasami nie tylko przyspiesza badanie i zrozumienie płynów, ale także rozwija dyscyplinę Matematyki Stosowanej. Matematyka nadal pozwala na wyciągnięcie bardzo potrzebnych wniosków z kilku dyscyplin. W tym celu wielu matematyków nadal wnosi znaczący wkład w dyscyplinę dynamiki płynów.
problemy warstwy granicznej obejmują szybką zmianę wartości zmiennej fizycznej w ograniczonym obszarze przestrzeni i stanowią szczególną klasę pojedynczych problemów perturbacyjnych. W związku z tym prawie wszystkie problemy warstwy granicznej obejmują Równania różniczkowe, w których najwyższa pochodna jest mnożona przez mały parametr. Ponadto warstwa graniczna jest zawsze uważana za semiinfinite, główną przyczyną jest wolność od konieczności rozważania efektów granicznych, w których można oczekiwać wszystkich imponderables i imaginable. Rozważenie nieskończonej powierzchni może być tak trudne, że odwróci uwagę od głównego interesu badania w pierwszej kolejności. To powiedziawszy, nie ma nic, co zabrania młodszemu pokoleniu badaczy konfrontacji z tym problemem, biorąc pod uwagę ich przewagę ekspozycji na relatywnie większy zasób wiedzy niż poprzednie pokolenia.
dynamika Hydro – lub płynów jest regulowana przez nieliniowe Równania różniczkowe cząstkowe (PDES), które są bardzo trudne do rozwiązania analitycznego. Zgodnie z naszą najlepszą wiedzą, nie istnieje ogólne rozwiązanie tych równań w formie zamkniętej. Równania rządzące warstwą graniczną opierają się przede wszystkim na uproszczeniu układu nieliniowych równań różniczkowych cząstkowych drugiego rzędu (PDEs), które są znane jako równania Naviera-Stokesa (NS) ruchu dla przepływów lepkich. Uproszczenie zaproponowane przez Prandtla w 1908 jest ogólnie określane jako równania warstwy granicznej Prandtla (PBL). W przeciwieństwie do równań NS, które są eliptyczne, równania warstwy granicznej mają charakter paraboliczny, a techniki używane do ich rozwiązania opierają się na prawach podobieństwa w przepływach warstwy granicznej.
trzy podstawowe metody mogą być używane do rozwiązywania problemów warstwy granicznej: metoda podobieństwa lub różniczkowa (najczęstsze podejście), metoda Całkowa i metoda pełnego rozwiązania numerycznego . Wiele szczególnych przypadków nieliniowych PDE doprowadziło do odpowiednich zmian w zmiennych lub przekształceń rozciągania, w zależności od zadania, które mają być wykonane. Niektóre przekształcenia linearyzują układ rozważanych równań, podczas gdy inne przekształcają układ w taki, dla którego istnieje rozwiązanie. Transformacje, które redukują układ PDEs do układu równań różniczkowych zwyczajnych (ODEs) poprzez wykorzystanie wewnętrznej symetrii problemu, są często uważane za ” transformacje podobieństwa.”Metoda podobieństwa jest oryginalną metodą Blasiusa, opracowaną w celu analitycznego rozwiązywania problemów warstwy granicznej. Blasius wprowadził i zastosował zmienną niezależną zwaną zmienną podobieństwa do równań warstwy granicznej Prandtla . Opierało się to na założeniu, że prędkość jest geometrycznie podobna wzdłuż kierunku przepływu, gdzie PDE konserwacyjne są przekształcane w ODEs. Transformacja podobieństwa przechwytuje wzrost warstwy granicznej i znacznie upraszcza analizę i rozwiązanie równań rządzących. Znalezienie zmiennej podobieństwa, która nadaje się do transformacji, która ma nastąpić, jest sztuką, a nie nauką i wymaga dobrego wglądu w problem. Liczby zmiennych niezależnych w PDEs są starannie przekształcane w jedną zmienną niezależną (znaną jako zmienna podobieństwa). Pierwotne początkowe warunki brzegowe są również w równym stopniu przekształcane w odpowiednie warunki brzegowe w nowej zmiennej zespolonej.
technika transformacji podobieństwa jest niezbędnym narzędziem do analizy mechanicznego zachowania płynów w ogólnych, a zwłaszcza w procesach warstwy granicznej. Techniki asymptotyczne pozwalają nam na stworzenie prostego złożonego systemu, który następnie przewiduje oświeconą formę empiryzmu, którą nazywamy podobieństwem. Opracowano kilka metod i podejść do znajdowania zmiennych podobieństwa, na przykład twierdzenie Vaschy–Buckinghama Pi . Najbardziej rygorystyczne i systematyczne podejście do znajdowania zmiennych podobieństwa opiera się na grupie przekształceń Lie . Założeniem podejścia grupy Lie jest to, że każda zmienna w równaniu początkowym podlega przekształceniu infinitezymalnemu. Żądanie, aby równanie było niezmiennicze w ramach tych przekształceń, prowadzi do wyznaczenia potencjalnej lub możliwej symetrii. To podejście było rutynowo stosowane do równań warstwy granicznej. Apropos teorii warstwy granicznej, autorzy dostarczyli kompleksowego opisu metod klasycznych, w tym kilka możliwych wyników w zależności od perspektywy problemu do rozwiązania. Metoda Clarksona-Krustala direct, która służy do znajdowania redukcji podobieństwa, została zastosowana w równaniach warstwy brzegowej. Ważne jest, aby pamiętać, że znaleziona zmienna podobieństwa nie jest unikalna ani osobliwa tylko dla jednego problemu; może być stosowana do innych podobnych problemów, gdzie jest to właściwe. Ponadto Hansen omówił metodę „stretching variable” stosowaną do znajdowania przekształceń podobieństwa. Ogólnie rzecz biorąc, problemy podobieństwa redukują oryginalne równania PBL do postaci niezmienniczej w odniesieniu do przekształceń afinicznych. Lokalne pole przepływu jest następnie rozwiązywane za pomocą analitycznych / numerycznych rozwiązań PDEs rządzących warstwą graniczną. Charakterystyczne jest, że profile prędkości przepływów warstwy granicznej dają zestaw krzywych i wykresów homotetycznych. Dlaczego są typowo homotyczne? Jeśli chodzi o profil prędkości, na przykład, normalizujemy przez uu∞ i to zmierza do jedności lub zbliża się do niej. Podobnie, jeśli chodzi o profil temperaturowy, normalizujemy przez temperaturę swobodną, czyli T-T∞, A to zmierza do zera lub zbliża się do zera. Metody całkowe, w innym względzie, dają roztwory w postaci zamkniętej, przyjmując profil prędkości, temperatury i transferu masy stężenia. Polega na integracji równań ze ściany do swobodnego strumienia, dając w ten sposób ogólną wydajność, która obejmuje wzrost warstwy granicznej. Wreszcie, pełna metoda numeryczna wykorzystuje dobrze sprawdzone Schematy numeryczne i praktyczne kody symulacji z szybkimi komputerami, aby rozwiązać kilka problemów z warstwą graniczną.
należy zauważyć, że niektóre badania w literaturze omawiają ich wyniki jako dokładne rozwiązania. Ostrożność w tym zakresie jest ważna. Ogólnie rzecz biorąc, kiedy mówimy o „dokładnych rozwiązaniach” podstawowych równań, takich jak równania NS, a to może być pełne równania NS lub dowolna z ich przybliżonych form, o ile uzyskane rozwiązania uzyskane dowolną techniką są rzeczywiście tak dokładne, jak pochodzą, to znaczy, nie ma lepszego rozwiązania. Dokładność odnosi się do rozwiązania samego równania. Jeżeli dane równanie było przybliżeniem równania bardziej wytrzymałego, to twierdzenie o dokładności rozwiązania powinno być tylko przybliżeniem rozwiązania.