trzy wymiaryedytuj
Krzywa przestrzeni w 3D. wektor położenia r jest parametryzowany przez Skalar T. W r = a czerwona linia jest styczna do krzywej, a niebieska płaszczyzna jest normalna do krzywej.
w trzech wymiarach można użyć dowolnego zbioru współrzędnych trójwymiarowych i odpowiadających im wektorów bazowych do określenia położenia punktu w przestrzeni-w zależności od tego, co jest najprostsze dla danego zadania.
powszechnie używa się znanego układu współrzędnych kartezjańskich, czasami sferycznych współrzędnych biegunowych lub współrzędnych cylindrycznych:
p ( t ) ≡ p ( x , y , Z ) ≡ X ( t ) e ^ x + g ( t ) e ^ g + h ( t ) e ^ h ≡ p ( r , θ , ϕ ) ≡ p ( t ) e ^ r ( θ ( T) i ϕ ( t ) ) ≡ p ( r , θ i Z ) ≡ p ( t ) e ^ r ( θ ( t ) ) + h ( t ) e ^ h {\właściwości styl wyświetlania wartości {\zaczynają się{wyrównane}\mathbf {p} (t)&\odpowiednik \mathbf {p} (x,y,Z)\equiv X(T)\mathbf {\hat {f}} _{x}+g(t)\mathbf {\hat {F}} _{G}+H(T)\mathbf {\hat {f}} _{h}\\&\odpowiednik \mathbf {p} (r,\theta ,\phi )\equiv p(t)\mathbf {\hat {F}} _{P}{\big (}\theta (T),\phi (t){\big )}\\&\odpowiednik \mathbf {p} (r,\theta ,h)\equiv p(t)\mathbf {\hat {F}} _{P}{\large (}\theta (T){\ogromny )} +z(t)\mathbf {\hat {e}} _{z},\\\end{aligned}}}
gdzie T jest parametrem, ze względu na ich prostokątną lub okrągłą symetrię. Te różne współrzędne i odpowiadające im wektory bazowe reprezentują ten sam wektor położenia. Zamiast tego można użyć bardziej ogólnych współrzędnych krzywoliniowych i znajdują się w takich kontekstach jak mechanika kontinuum i ogólna teoria względności (w tym drugim przypadku potrzebna jest dodatkowa współrzędna czasowa).
n wymiarów
algebra liniowa pozwala na abstrakcję n-wymiarowego wektora położenia. Wektor położenia można wyrazić jako liniową kombinację wektorów bazowych:
r = ∑ i = 1 N x i E i = x 1 E 1 + x 2 e 2 + ⋯ + x n e n. {\displaystyle\mathbf{r} =\sum _{i=1}^{n}x_ {i}\mathbf{e} _{i}=x_ {1}\mathbf{e} _{1}+x_ {2}\mathbf{e} _{2}+\dotsb +x_ {n} \ mathbf{e} _{n}.}
zbiór wszystkich wektorów położenia tworzy przestrzeń położenia (przestrzeń wektorowa, której elementy są wektorami położenia), ponieważ pozycje można dodawać (dodawanie wektorów) i skalować w długości (mnożenie skalarne), aby uzyskać inny wektor położenia w przestrzeni. Pojęcie „przestrzeni” jest intuicyjne, ponieważ każdy xi (i = 1, 2,…, n) może mieć dowolną wartość, zbiór wartości definiuje punkt w przestrzeni.
wymiar przestrzeni pozycyjnej to N (oznaczany również dim (R) = n). Współrzędne wektora r względem wektorów bazowych ei to xi. wektor współrzędnych tworzy wektor współrzędnych lub N-krotność (x1, x2,…, xn).
każda współrzędna xi może być parametryzowana kilkoma parametrami t. Jeden parametr xi(t) opisuje zakrzywioną ścieżkę 1D, dwa parametry xi(t1, t2) opisuje zakrzywioną powierzchnię 2D, trzy xi (t1, t2, t3) opisuje zakrzywioną objętość przestrzeni 3D i tak dalej.
rozpiętość liniowa zbioru bazowego B = {E1, E2,…, en} równa się przestrzeni pozycyjnej R, oznaczonej span (B) = R.